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1、2019/5/20,1,2.1 逻辑代数基础,2.1.1逻辑代数的基本运算,2.1.2 复合逻辑运算,2019/5/20,2,复习,（255）10= （ ）2 =（ ）8 =（ ）16 =（ ）8421BCD,0010 0101 0101,10000000-1 = 1111111,111 1111 = 7F,1 111 111 = 177,2019/5/20,3,内容提要,1.3 逻辑代数中的逻辑运算,基本逻辑运算（与、或、非）； 复合逻辑函数运算；,2019/5/20,4,1.3.1 基本逻辑运算,逻辑：一定的因果关系。 逻辑代数是描述客观事物逻辑关系的数学方法，是进行逻辑分析与综合的数学工
2、具。因为它是英国数学家乔治布尔(George Boole)于1847年提出的,所以又称为布尔代数。 逻辑代数有其自身独立的规律和运算法则，不同于普通代数。 相同点：都用字母A、B、C表示变量； 不同点：逻辑代数变量的取值范围仅为“0”和“1”，且无大小、正负之分。逻辑代数中的变量称为逻辑变量。,“0”和“1”表示两种不同的逻辑状态：是和非、真和假、高电位和低电位、有和无、开和关等等。,2019/5/20,5,1. 三种基本逻辑运算,（1）与运算,当决定某一事件的全部条件都具备时，该事件才会发生，这样的因果关系称为与逻辑关系，简称与逻辑。,表1-6 与逻辑的真值表,A、B全1，Y才为1。,串联开
3、关电路功能表,图1-1 (a)串联开关电路,设定逻辑变量并状态赋值： 逻辑变量：A和B，对应两个开关的状态； 1闭合，0断开； 逻辑函数：Y，对应灯的状态， 1灯亮，0灯灭。,2019/5/20,6,图1-1(b) 与逻辑的逻辑符号,逻辑表达式： YA BAB 符号“”读作“与”（或读作“逻辑乘”）； 在不致引起混淆的前提下，“”常被省略。,实现与逻辑的电路称作与门，与逻辑和与门的逻辑符号如图1-1(b)所示，符号“&”表示与逻辑运算。,2019/5/20,7,若开关数量增加，则逻辑变量增加。,A、B、C全1，Y才为1。,YA B CABC,2019/5/20,8,（2）或运算,当决定某一事件
4、的所有条件中，只要有一个具备，该事件就会发生，这样的因果关系叫做或逻辑关系 ，简称或逻辑 。,表1-7 或逻辑的真值表,A、B有1，Y就为1。,并联开关电路功能表,图1-2 (a)并联开关电路,2019/5/20,9,图1-2(b) 或逻辑的逻辑符号,逻辑表达式： YAB 符号“”读作“或”（或读作“逻辑加”）。,实现或逻辑的电路称作或门，或逻辑和或门的逻辑符号如图1-2(b)所示，符号“1”表示或逻辑运算。,2019/5/20,10,（3）非运算,当某一条件具备了，事情不会发生；而此条件不具备时，事情反而发生。这种逻辑关系称为非逻辑关系，简称非逻辑。,表1-8 非逻辑的真值表,A与Y相反,开
5、关与灯并联电路功能表,图1-3 (a)开关与灯并联电路,2019/5/20,11,图1-3(b) 非逻辑的逻辑符号,实现非逻辑的电路称作非门，非逻辑和非门的逻辑符号如图1-3(b)所示。 逻辑符号中用小圆圈“ 。”表示非运算，符号中的“1”表示缓冲。,2019/5/20,12,2. 复合逻辑运算,在数字系统中，除应用与、或、非三种基本逻辑运算之外，还广泛应用与、或、非的不同组合，最常见的复合逻辑运算有与非、或非、与或非、异或和同或等。,（1） 与非运算 “与”和“非”的复合运算称为与非运算。,表1-9 与非逻辑的真值表,图1-4 与非逻辑的逻辑符号,“有0必1，全1才0”,2019/5/20,
6、13,（2） 或非运算 “或”和“非”的复合运算称为或非运算。,表1-10 或非逻辑的真值表,“有1必0，全0才1”,图1-5 或非逻辑的逻辑符号,2019/5/20,14,（3） 与或非运算 “与”、“或”和“非”的复合运算称为与或非运算。,图1-6 与或非逻辑的逻辑符号,2019/5/20,15,（4） 异或运算 所谓异或运算，是指两个输入变量取值相同时输出为0，取值不相同时输出为1。,表1-11 异或逻辑的真值表,“相同为0，相异为1”,图1-7 异或逻辑的逻辑符号,2019/5/20,16,2.1 逻辑代数基础,2.1.3 逻辑代数的公式和运算规则,2019/5/20,17,一 逻辑代
7、数的基本定律,逻辑函数的相等： 已知 Y = F1 (A、B、C、D) W= F2 (A、B、C、D) 问： Y = W 的条件？,仅当A、B、C、D的任一组取值所对应的Y和W都相同，具体表现为二者的真值表完全相同时， Y = W 。 等号“”不表示两边数值相等，仅表示一种等价、等效的逻辑关系。因为逻辑变量和逻辑函数的取值0和1是不能比较大小的，仅表示一种状态。 结论：可用真值表验证逻辑函数是否相等。,2019/5/20,18,1. 基本公式,（1）常量之间的关系,这些常量之间的关系，同时也体现了逻辑代数中的基本运算规则，也叫做公理，它是人为规定的，这样规定，既与逻辑思维的推理一致，又与人们已
8、经习惯了的普通代数的运算规则相似。,请特别注意与普通代数不同之处,与,或,2019/5/20,19,（2）常量与变量之间的关系,普通代数结果如何？,（3）与普通代数相似的定理,2019/5/20,20,（4）特殊的定理,De morgen定理,表1-16 反演律(摩根定理)真值表,2019/5/20,21,表1-15 逻辑代数的基本公式,2019/5/20,22,2. 常用公式,B：互补,A：公因子,A是AB的因子,2019/5/20,23,A的反函数是因子,与互补变量A相与的B、C是第三项,添加项,2019/5/20,24,常用公式,需记忆,2019/5/20,25,在任何一个逻辑等式（如
9、FW ）中，如果将等式两端的某个变量（如B）都以一个逻辑函数（如Y=BC）代入，则等式仍然成立。这个规则就叫代入规则。,二. 逻辑代数的基本规则,（1）代入规则,推广,利用代入规则可以扩大公式的应用范围。,理论依据：任何一个逻辑函数也和任何一个逻辑变量一样，只有逻辑0和逻辑1两种取值。因此，可将逻辑函数作为一个逻辑变量对待。,2019/5/20,26,（2）反演规则,运用反演规则时，要注意运算的优先顺序（先括号、再相与，最后或） ，必要时可加或减扩号。,反演变换： “”“” “”“” “0” “1” “1” “0”， 原变量反变量 反变量原变量,2019/5/20,27,对任何一个逻辑表达式Y
10、 作对偶变换，可Y的对偶式Y。,（3）对偶规则,运用对偶规则时，同样应注意运算的优先顺序，必要时可加或减扩号。,对偶变换： “”“” “”“” “0” “1” “1” “0”,2019/5/20,28,利用对偶定理，可以使要证明和记忆的公式数目减少一半。,互为对偶式,对偶定理： 若等式Y=W成立，则等式Y =W也成立。,2019/5/20,29,作业题,P32 1、2.1（1）、（2）、（3） 2、2.3（1）、（3） 3、2.4（1）、（3）,2019/5/20,30,（5） 同或运算 所谓同或运算，是指两个输入变量取值相同时输出为1，取值不相同时输出为0。,表1-12 同或逻辑的真值表,“
11、相同为1，相异为0”,图1-8 同或逻辑的逻辑符号,2019/5/20,31,2.2 逻辑函数的表示方法,一 逻辑函数,二 逻辑函数的描述,2019/5/20,32,1. 逻辑函数,输入逻辑变量和输出逻辑变量之间的函数关系称为逻辑函数，写作 Y = F(A、B、C、D) A、B、C、D为有限个输入逻辑变量； F为有限次逻辑运算（与、或、非）的组合。 表示逻辑函数的方法有：真值表、逻辑函数表达式、逻辑图和卡诺图。,2019/5/20,33,真值表是将输入逻辑变量的所有可能取值与相应的输出变量函数值排列在一起而组成的表格。 1个输入变量有0和1两种取值， n个输入变量就有2n个不同的取值组合。 例
12、：逻辑函数 Y=AB+BC+AC,表1-11 逻辑函数的真值表,三个输入变量，八种取值组合,2. 真值表,AB,BC,AC,2019/5/20,34,真值表的特点： 唯一性; 按自然二进制递增顺序排列（既不易遗漏，也不会重复 ）。 n个输入变量就有2n个不同的取值组合。,2019/5/20,35,例：控制楼梯照明灯的电路。,两个单刀双掷开关A和B分别装在楼上和楼下。无论在楼上还是在楼下都能单独控制开灯和关灯。设灯为L，L为1表示灯亮，L为0表示灯灭。对于开关A和B，用1表示开关向上扳，用0表示开关向下扳。,表1-14 控制楼梯照明灯的电路的真值表,图1-9 控制楼梯照明灯的电路,2019/5/
13、20,36,3. 逻辑表达式,按照对应的逻辑关系，把输出变量表示为输入变量的与、或、非三种运算的组合，称之为逻辑函数表达式（简称逻辑表达式）。 由真值表可以方便地写出逻辑表达式。方法为： 找出使输出为1的输入变量取值组合； 取值为1用原变量表示，取值为0的用反变量表示，则可写成一个乘积项； 将乘积项相加即得。,A B,2019/5/20,37,4. 逻辑图,用相应的逻辑符号将逻辑表达式的逻辑运算关系表示出来，就可以画出逻辑函数的逻辑图。,图1-10 图1-9电路的逻辑图,2019/5/20,38,2.3 逻辑函数的代数化简法,2.3.2 具体的代数化简法,2.3.1 化简的意义与标准,2019
14、/5/20,39,2.3.1 化简的意义与标准,（1）化简的意义,例：用非门和与非门实现逻辑函数,解：直接将表达式变换成与非与非式：,可见，实现该函数需要用两个非门、四个两输入端与非门、一个五输入端与非门。电路较复杂。,两次求反,反演律,2019/5/20,40,若将该函数化简并作变换：,可见，实现该函数需要用两个非门和一个两输入端与非门即可。电路很简单。,2019/5/20,41,（2）逻辑函数的多种表达式形式,与-或表达式,与非-与非表达式,或-与非表达式,或非-或表达式,两次求反并用反演律,反演律,反演律,2019/5/20,42,（2）逻辑函数的多种表达式形式（续）,或-与表达式,或非
15、-或非表达式,与-或非表达式,与非-与表达式,2019/5/20,43,由以上分析可知，逻辑函数有很多种表达式形式，但形式最简洁的是与或表达式，因而也是最常用的。,（3）逻辑函数的最简标准 由于与或表达式最常用，因此只讨论最简与或表达式 的最简标准。,最简与或表达式为： 与项（乘积项）的个数最少； 每个与项中的变量最少。,2019/5/20,44,2.3.2 具体的代数化简法,反复利用逻辑代数的基本公式、常用公式和运算规则进行化简，又称为代数化简法。 必须依赖于对公式和规则的熟练记忆和一定的经验、技巧。,2019/5/20,45,（1）代入规则,在任何一个逻辑等式（如 FW ）中，如果将等式两
16、端的某个变量（如B）都以一个逻辑函数（如Y=BC）代入，则等式仍然成立。这个规则就叫代入规则。 在公式化简中大量应用！需灵活掌握。,最常使用，特别需要熟练记忆！,2019/5/20,46,（2）反演规则便于实现反函数。 （3）对偶规则使公式的应用范围扩大一倍， 使公式的记忆量减小一倍。,反演变换： “”“” “”“” “0” “1” “1” “0”， 原变量反变量 反变量原变量,对偶变换： “”“” “”“” “0” “1” “1” “0”,2019/5/20,47,例1-2 化简函数,解：,例 化简函数,解：,或：,代入规则,2019/5/20,48,（2）吸收法 利用公式A+AB=A进行化简
