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1、第3章,逻辑函数运算规则及化简,3.1 概 述,逻辑函数的表示方法如下： 设输入逻辑变量为A、B、C、 ，输出逻辑变量为F。 当A、B、C、 的取值确定后，F的值就被唯一的确定下来，则称F是A、B、C、 的逻辑函数， 记为： F=f（A，B，C， ）,逻辑变量和逻辑函数的取值只能是0或1，没有其它中间值。,3.2 逻辑代数的运算规则,3.2.1 逻辑代数基本公理,公理1： 设A为逻辑变量，若A0，则A1；若Al，则A0。这个公理决定了逻辑变量的双值性。在逻辑变量和逻辑函数中的0和1，不是数值的0和1，而是代表两种逻辑状态。 公理2： 。式中点表示逻辑与，在用文字表述时常省略；加号表示逻辑或。
2、公理3： 。 公理4： 。 。 公理5： ； 。,3.2.2 逻辑代数的基本定律,（1）0-1律： 。 （2）自等律： 。 （3）重叠律： 。 （4）互补律： 。 （5）还原律： 。 （6）交换律： 。 （7）结合律： 。,以上各定律均可用公理来证明，方法是将逻辑变量分别用0和1代入，所得的表达式符合公理2至公理5。,3.2.2 逻辑代数的基本定律,（8）分配律： 加（逻辑或）对乘（逻辑与）的分配律证明如下：,3.2.2 逻辑代数的基本定律,（9）吸收律： 证明：,(10) 等同律： 证明：,3.2.2 逻辑代数的基本定律,（11）反演律（摩根定理）,采用真值表法证明，反演律成立。,3.2.2
3、 逻辑代数的基本定律,（12）包含律：,3.2.3 摩根定理,（1）逻辑变量“与”运算后取反等于各个逻辑变量分别取反的“或”运算。 用公式表示如下：,（2）逻辑变量“或”运算后取反等于各个逻辑变量分别取反的“与”运算。 用公式表示如下：,上述两个定理也适用于多个变量的情形，如：,3.2.3 摩根定理,【例3-1】 应用摩根定理化简逻辑函数,解：反复应用摩根定理可得：,3.2.4 逻辑代数的基本规则,1代入规则,例 : A（B+C）=AB+AC，等式中的C都用（C+D）代替， 该逻辑等式仍然成立，即 A（B+（C+D）=AB+A（C+D）,任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都代
4、之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。,3.2.4 逻辑代数的基本规则,2反演规则,对于任何一个逻辑表式F，若将其中所有的与“ ”变成或“+”，“+”换成“ ”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是 。,原则： (1) 注意保持原函数中的运算符号的优先顺序不变。,2反演规则,原则： (2) 不属于单个变量上的反号应保留不变。或不属于单个变量上的反号下面的函数当一个变量处理。,【例3-3】 已知 , 求 。,解法一：,解法二：,3对偶规则,对于任何一个逻辑表达式F，如果将式中所有的“ ”换成“+”，“+”换成“ ”，“0”换成“1”，“1”换成
5、“0”，而变量保持不变，原表达式中的运算优先顺序不变。那么就可以得到一个新的表达式，这个新的表达式称为F的对偶式F*。,3对偶规则,对偶式的两个重要性质： 性质1：若F（A，B，C，）=G（A，B，C，），则 F*=G* 性质2：（F* ）*= F,【例3-6】 证明函数 是一自对偶函数。 证明：,3.3 逻辑函数表述方法,3.3.1 逻辑代数表达式,3.3.2 逻辑图表述,3.3.3 真值表表述,【例3-8】 列出函数Y=AB+BC+CA的真值表。 解：,从真值表中可以看出，这是一个多数表决通过的逻辑函数，当输入变量A、B、C中有两个或两个以上为1时，输出变量Y为1。,3.3.4 卡诺图表述
6、,(a) 2变量卡诺图 (b) 3变量卡诺图 (c) 4变量卡诺图,图3-2 2、3、4变量的卡诺图,3.4 逻辑函数的标准形式,3.4.1 最小项表述,1最小项的定义 设有n个变量，它们所组成的具有n个变量的“与”项中，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，则这个乘积项称为最小项。,2最小项的性质 (a) 对于任何一个最小项，只有对应的一组变量取值，才能使其值为“1”。 (b) 相同变量构成的两个不同最小项逻辑“与”为“0”。 (c) n个变量的全部最小项之逻辑“或”为“1”，即： (d) 某一个最小项不是包含在逻辑函数F中，就是包含在反函数中。 n个变量构成的最小项有n个相
7、邻最小项。 例， 与 是相邻最小项。,3.4.2 最大项表述,1最大项的定义 设有n个变量，它们所组成的具有n个变量的“或”项中，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，这个“或”项称为最大项。,2最大项的性质 (a) 对于任何一个最大项，只有对应的一组变量取值，才能使其值为“0”。 例，只有变量ABCD=0000时（每一变量都为0时），才有A+B+C+D为“0”。 (b) 相同变量构成的任何两个不同最大项逻辑“或”为“1”。 例，M4+M6= (c) n个变量的全部最大项之逻辑“与”为“0”，即： (d) 某一个最大项不是包含在逻辑函数F中，就是包含在反变量 中。 (e) n个
8、变量构成的最大项有n个相邻最大项。 例， 与 是相邻最大项。,3最小项与最大项的关系 下标i相同的最小项与最大项互补，即 。 例如， ，即为： 。,3.4.3 标准与或表达式,【例3-9】将 展开为最小项之和的形式。,【例3-10】将 写成标准与或表达式。 。,3.4.4 标准或与表达式,【例3-11】将 =m（0，2，3，6）展开为最大项之积的形式。,【例3-12】 将 写成标准或与表达式。,3.4.5 两种标准形式的相互转换,对于一个n变量的逻辑函数F，若F的标准与或式由K个最小项相或构成，则F的标准或与式一定由 个最大项相与构成，并且对于任何一组变量取值组合对应的序号i，若标准与或式中不
9、含mi，则标准或与式中一定含Mi。,【例3-13】 将标准与或表达式 表示为标准或与表达式。,3.4.6 逻辑函数表达式与真值表的相互转换,1由真值表求对应的逻辑函数表达式,3.4.6 逻辑函数表达式与真值表的相互转换,2由逻辑函数表达式求对应的真值表,3.5 逻辑代数化简法,3.5.1 并项化简法,【例3-14】 化简,【例3-15】 化简,【例3-16】 化简,3.5.2 吸收化简法,【例3-17】 化简,【例3-18】 化简,【例3-19】 化简,3.5.3 配项化简法,【例3-20】 化简,【例3-21】 化简,方法 ,3.5.3 配项化简法,【例3-22】 化简,方法 ,3.5.4
10、消去冗余项化简法,【例3-23】 化简,【例3-24】 化简,【例3-25】 化简,3.5.4 消去冗余项化简法,【例3-26】 化简,3.5.4 消去冗余项化简法,【例3-27】 化简,解：(1) 先求出F的对偶函数，并对其进行化简：,(2) 求 的对偶函数，便得F的最简或与表达式:,3.6 卡诺图化简法,3.6.1 与或表达式的卡诺图表示,【例3-28】用卡诺图表示下面的标准与或表达式：,图3-4 标准与或表达式的卡诺图,解：,3.6.1 与或表达式的卡诺图表示,【例3-29】 用卡诺图表示逻辑函数： 解：,图3-5 非标准与或表达式的卡诺图例子,3.6.1 与或表达式的卡诺图表示,【例3
11、-30】用卡诺图表示逻辑函数：,图3-6 非标准与或表达式的卡诺图,解：在变量A、D取值均为00的所有方格中填入1；在变量B、C取值分别为0、1的所有方格中填入1，其余方格中填入0。,3.6.2 与或表达式的卡诺图化简,1卡诺图化简原理,图3-7 逻辑相邻最小项的概念,3.6.2 与或表达式的卡诺图化简,2卡诺图化简的步骤,步骤1：对卡诺图中的“1”进行分组，并将每组用“圈”围起来。,步骤2：由每个圈得到一个合并的与项。,步骤3：将上一步各合并与项相加，即得所求的最简“与或”表达式。,3.6.2 与或表达式的卡诺图化简,【例3-31】用卡诺图化简法求出逻辑函数： F（A, B, C, D）=m
12、（2, 4, 5, 6, 10, 11,12,13, 14, 15）的最简与或式。,解：,F（A, B, C, D）=,【例3-32】某逻辑电路的输入变量为A、B、C、D，它的真值表如表所示，用卡诺图化简法求出逻辑函数F(A, B, C, D)的最简与或表达式。,解：,表3-4真值表,图3-9 例3-32的卡诺图,3.6.2 与或表达式的卡诺图化简,【例3-33】用卡诺图化简法求出逻辑函数： F(A, B, C, D) =m(0, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 14) 的最简与或式。,解：,图3-10 例3-33的卡诺图,F（A，B，C，D） =,3.6.3 或与表达式
13、的卡诺图化简,1或与表达式的卡诺图表示,解：,图3-11 标准或与表达式的卡诺图,【例3-34】用卡诺图表示下面的标准或与表达式：,【例3-35】用卡诺图化简下面或与表达式：,解：,图3-12 例3-35的卡诺图,2或与表达式的卡诺图化简,解：,图3-13 例3-36的卡诺图,3.6.4 含无关项逻辑函数的化简,最小项表达式： 或者,【例3-36】化简下列函数： F(A, B, C, D) = m(0, 3, 4, 7, 11) +d (8, 9, 12, 13, 14, 15),解：,图3-14 例3-37的卡诺图,3.6.4 含无关项逻辑函数的化简,【例3-37】化简函数： ： 已知约束条件为：,解：,图3-15 例3-38的卡诺图,3.6.5 多输出逻辑函数的化简,【例3-38】 化简下面多输出函数： F1=m（2，3，6，7，10，11，12，13，14，15） F2=m（2，6，10，12，13，14）,
