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1、判定三角形形状的十种方法1、若有a=b或(a-b)(b-c)(c-a)=0,则ABC为等腰三角形。2、若有(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,则ABC为等边三角形。3、若有a2+b2c2，则ABC为锐角三角形；若有a2+b2c2，则ABC为直角三角形；若有a2+b2c2，则ABC为钝角三角形。4、若有（a2-b2）（ a2+b2-c2）=0，则ABC为等腰三角形或直角三角形。5、若有a=b且 a2+b2=c2，则ABC为等腰直角三角形。以上是从三角形的边与边之间的关系考虑的。6、若有sin2A+sin2B=sin2C或sinA=sinB,则ABC为直角三角形或等腰三角形。7、若有co
2、sA0，或tanA0,(其中A为ABC中的最大角) 则ABC为锐角三角形。8、若有cosA0，或tanA0,(其中A为ABC中的最大角), 则ABC为钝角三角形。9、若有两个（或三个）同名三角函数值相等（如tanA=tanB）,则ABC为等腰三角形（或等边三角形）。10、若有特殊的三角函数值，则按特殊角来判断，如cosA=，b=c,则ABC为等边三角形。以下就一些具体实例进行分析解答：一、利用方程根的性质：例1：若方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有一个相同的根，且a、b、c为一个三角形的三条边，则此三角形为（ ）（A）锐角三角形；（B）钝角三角形；（C）以c为斜边的直角三角形
3、；（D）以a为斜边的直角三角形；(“缙云杯”初中数学邀请赛)解：将两个方程相减，得：2ax-2cx+2b2=0,显然ac，否则b=0，与题设矛盾，故x= ,将两个方程相加，得2ax+2cx+2b2=0，x0,否则b=0，与题设矛盾，x=-（a+c），两个方程有一个相同的根， =-（a+c），即b2+c2=a2，故ABC是以a为斜边的直角三角形，故应选（D）二、利用根的判别式例2：已知a、b、c是ABC的三边，且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0没有实数根，试判断ABC的形状。解：整理原方程，得：（c+b）x2-2ax+(c-b)=0,由已知，得：=4a2-4(c+b)(c-b)=4
4、(a2+b2-c2)0 ，a2+b2-c20,即 a2+b2c2,故ABC是钝角三角形。三、利用根与系数的关系例3、在ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，已知方程x2+axcosB-bcosA=0的两根之和等于两根之积，试判断ABC的形状。解：根据一元二次方程的根与系数的关系，得：acosB=bcosA，如图：作CDAB于D，则AD=bcosA，BD=acosB，AD=BD，又CDAB，ABC为等腰三角形。四、利用非负数的性质例4：已知a、b、c是ABC的三边，且a3+b3+c3=3abc，求证：ABC是等边三角形。证明：a3+b3+c3=3abc，（a+b）3+c3-3a2b-3ab
5、2-3abc=0，即（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ac）=0，a+b+c0，a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，a-b=b-c=c-a=0，故a=b=c，ABC是等边三角形。五、利用三角形的面积例5：设ABC的三条高线之和等于此三角形三个角平分线的交点到一边的距离的9倍，则ABC是等边三角形。证明：设ABC的面积为S，三个内角平分线交点为0，到一边的距离为h，三边上的高分别为ha、hb、hc，由三角形面积公式，得：ha=，hb=，hc=，h=，由已知，ha+hb+hc=9h，即
6、，c（a-b）2+a（b-c）2+b（c-a）2=0，又a、b、c均为正数，（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，a=b=c，故ABC是等边三角形。例6、设P、Q为线段BC上的两定点，且BP=CQ，A为BC外的一个动点，当A运动到使BAP=CAQ时，ABC是什么三角形？试证明你的结论。（全国初中数学邀请赛）答：ABC为锐角三角形或钝角三角形。很显然，BP=CQ，BAP=CAQ，ABP与ACQ的外接圆是两个等圆，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，点P、Q为线段BC上的两定点，P、Q两点不可能与点D重合，否则两点均与点D重合，与题设矛盾。ABP与ACQ的外接圆01与02必相交，故ABC不可
7、能为直角三角形，ABC为锐角三角形或钝角三角形。六、利用几何知识例7：ABC的三条外角平分线相交成一个PQR，则PQR（ ）（A）一定是直角三角形；（B）一定是锐角三角形；（C）一定是钝角三角形；（D）以上结论都不对。解：可以证明PQR的任意一个内角小于90O ，如可证明R90O，只需证明+90O，因为2=2+3，2=1+2，2+2=1+22+31800，所以+900，故R900，也就是说，R、P、Q均为锐角，所以PQR为锐角三角形。应选（C）七、利用三角函数例8：在ABC中，已知：sinAtanB0，那么这个三角形是（ ）（A）直角三角形；（B）锐角三角形；（C）钝角三角形；（D）以上结论都
8、不对。解：因为sinAtanB0，所以sinA和tanB异号,又00A1800，00B1800,所以sinA0，tanB0，所以B为钝角，故ABC为钝角三角形。应选（C）八、利用余弦定理例9：已知一个三角形的三边为4、5、6，试判断此三角形的形状。解：设最长边6所对的角为A，由余弦定理，得：cosA=，所以A900，由于A为最大角，故此三角形为锐角三角形。九、利用正弦、余弦定理例10：ABC中，试判断该三角形的形状。解：由已知，得：sinAcosA=sinBcosB（1）,由正弦、余弦定理，得：sinA=，sinB=，（这里，r为ABC的外接圆半径）， cosB=，分别代入（1），得：a2b2
9、+a2c2-a4=a2b2+b2c2-b4即（a2-b2）（c2-a2-b2）=0，所以a2=b2，或c2=a2+b2所以a=b或a2+b2=c2故ABC为等腰三角形或直角三角形。十、利用二次函数性质例11：设二次函数y=（a+b）x2+2cx-（a-b），当时，函数有最小值时，若a、b、c为ABC的三边的长，试判断ABC的形状。解：因为a、b、c为ABC的三边的长，所以a0，b0，c0，a+b0，由题意知： ，即2c=a+b, ,因为2c=a+b,a=b,故a=b=c,所以ABC是等边三角形。例12:已知a、b、c是锐角ABC的三条边，且 LgsinA-LgsinC=Lg,求证:ABC是等边
10、三角形。证明:由 ,得由LgsinA-LgsinC=Lg ,得由正弦定理,得所以所以b=c;因为所以c2=ab,可得因为C为锐角,所以C=600,由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab,故(a-b)2=0,所以a=b,故ABC为等边三角形。例13：设A、B、C是ABC的三个内角，C是锐角，若关于x的方程x2-(2sinC)x+sin A sin B=0有两个相等的实根，且4sin2C+4cosC-5=0，求证:ABC为等边三角形。证明：因为方程x2-(2sinC)x+sin A sin B=0有两个相等的实根，所以=（2sinC）2-4sinAsinB=0，根据正弦定理，得：c2-ab=0,所以c2=ab,由4sin2C+4cosC-5=0,得：4(1-cos2C)+4cosC-5=0, 即：4cos2C-4cosC+1=0,所以：(2cosC-1)2=0,所以：cosC=又因为C为锐角，所以：C=600再根据余弦定理，得：c2=a2+b2-2abcos600,即c2=a2+b2-ab,所以a2+b2-ab=ab,故(a2-b)2=0,所以a=b,所以ABC为等边三角形。综上所述，判定三角形的形状时，必须熟练掌握三角形边与边、边与角之间的关系，在具体解题时要分析清楚题目所给的条件与课本所学过的知识点之间的联系，从而正确使用所学知识，以达到解决问题的目的。
