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1、All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,第4章 三铰拱和悬索结构的受力分析, 本章教学的基本要求：了解三铰拱的受力特点，掌握三铰拱支反力及指定截面内力的计算方法；了解三铰拱压力线的概念，了解三铰拱在几种常见荷载作用下的合理拱轴方程。, 本章教学内容的重点：三铰拱支反力和内力的计算方法。, 本章教学内容的难点：三铰拱的压力线和合理拱轴。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院, 本章内容简介:,4.1 拱结构的形式和特性,4.2 三铰拱的内力计算,4.3 三铰拱的压力线和合理拱轴,4.4* 悬索结构,第4章 三铰拱和悬索结构的受力分析,All Righ
2、ts Reserved,重庆大学土木工程学院,4.1 拱结构的形式和特性,4.1.1 拱结构,在竖向荷载作用下，支座会产生向内的水平反力(推力)的曲线形结构，称为拱结构。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,4.1.2 拱结构的形式,1. 基本形式,一般有三铰拱、两铰拱和无铰拱三种基本形式。,4.1 拱结构的形式和特性,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2. 带拉杆的拱结构,4.1.3 拱结构的力学特性,拱结构截面内一般有弯矩、剪力和轴力，但在竖向荷载作用下，由于有水平推力的存在，使得其弯矩和剪力都要比同跨度、同荷载的梁小得多，而其轴力则将
3、增大。因此，在竖向荷载作用下，拱结构主要承受压力。,4.1 拱结构的形式和特性,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,4.2 三铰拱的内力计算,4.2.1 支反力的计算,1. 竖向反力,拱的竖向反力与相当简支梁的竖向反力相同。,M0图,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2. 水平反力,FHA = FHB = FH,由三铰拱整体平衡条件 ，可得,取铰C左边隔离体，由 ，可得,4.2 三铰拱的内力计算,，,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【小结】,(1) 三铰拱支反力计算公式为,(2) 支反力与l和f（亦即三个铰的位
4、置）以及荷载情况有关，而与拱轴线形状无关。,(3) 推力FH与拱高成反比。拱愈低，推力愈大；如果f 0，则f ，这时，三铰在一直线上，成为几何可变体系。,4.2 三铰拱的内力计算,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,4.2.2 内力的计算,试求指定截面K的内力。约定弯矩以拱内侧受拉为正。,(1) 由MK=0，得,(2) 由FR=0，得,(3) 由FS=0，得,4.2 三铰拱的内力计算,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(1) 三铰拱的内力计算公式（竖向荷载、两趾等高）,(2) 由于推力FH的存在（注意前两个计算式右边的第二项），拱与相当简支
5、梁相比较，其截面上的弯矩和剪力将减小。弯矩的降低，使拱能更充分地发挥材料的作用。,(3) 在竖向荷载作用下，梁的截面内没有轴力，而拱的截面内轴力较大，且一般为压力（拱轴力仍以拉力为正、压力为负）。,4.2 三铰拱的内力计算,【小结】,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(4) 内力与拱轴线形式(y, j)有关。,(5) 关于j 值的正负号：左半跨j 取正号；右半跨j 取负号，即式(4-2)中，cos(-j) = cosj，sin(-j) = -sinj 。,4.2.3 内力图的绘制,一般可将拱沿跨长分为若干等分（如8、12、20等分），应用式（4-2）分别计算其内力值
6、（注意：各截面的x、y和j 均不相同，可列表计算，见例（4-1），然后逐点描迹，连成曲线。弯矩绘在受拉侧，剪力图和轴力图须注明正负号。,4.2 三铰拱的内力计算,【小结】,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【例4-1】已知拱轴线方程 ，试作图示三铰拱的内力图。,解： (1) 计算支反力,4.2 三铰拱的内力计算,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(2)计算各截面几何参数（y和j ）,1) 求y,将l 和f 代入拱轴线方程,得,2) 求j,代入各x值，即可查得相应的值。,为绘内力图,将拱沿跨度分为8个等分，计有9个控制截面，求出各截面的y
7、、j 等值，列于表中。,4.2 三铰拱的内力计算,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(3)计算内力,以截面E为例，计算其内力值。,将x =12m代入y 和 式中，得yE = 3m， =-0.5，查得jE =-2634。因此，有,sinjE = -0.447 cosjE = 0.894,将上述截面E的各相关值代入公式，即可得各内力值,1) 弯矩计算,4.2 三铰拱的内力计算,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2) 剪力计算,3) 轴力计算,4.2 三铰拱的内力计算,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,用同样的方法和
8、步骤，可求得其它控制截面的内力。列表进行计算，如表4-1所示。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(4) 作内力图,4.2 三铰拱的内力计算,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,q,【讨论】对于如图4-5a所示的二次抛物线三铰拱： (1) 当仅在左半跨或右半跨作用均布荷载q时，其M图都是反对称的，如图所示；而FQ图都是对称的。,4.2 三铰拱的内力计算,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(2) 显见，当全跨同时作用均布荷载q时，M图将为零，FQ图也将为零(只须将相应内力图相叠加，即可得到验证)，拱仅受轴向压力FN
9、作用。,4.2 三铰拱的内力计算,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(3) 这种在给定荷载作用下，拱处于无弯矩状态的拱轴线，是最合理的拱轴线。,4.2.4 带拉杆的三铰拱和三铰拱式屋架的计算,【例4-2】试求图示有水平拉杆的三铰拱在竖向荷载作用下的支反力和内力。,解：该三铰拱由拉杆AB来阻止支座的水平位移，因此，拱的一个支座改为可动铰支座。其相当简支梁如图4-8b所示 。,4.2 三铰拱的内力计算,a),b),All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(1) 计算支反力 由整体平衡条件SFy = 0、SMB = 0和SMA = 0，可分别求得,F
10、H=0是其计算特点之一。,(2) 计算拉杆内力,取截面I-I之右为隔离体。由SMC = 0，得,4.2 三铰拱的内力计算,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(3) 计算拱身内力,在无拉杆三铰拱的内力计算式中，只需用FS去取代FH，即可得出有水平拉杆拱身内力计算式为,4.2 三铰拱的内力计算,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,【例4-3】试求图示三铰拱式屋架在竖向荷载作用下的支反力和内力。,解： (1) 计算支反力,(2)计算拉杆内力,(3)计算拱身内力,须注意两个计算特点：一是要考虑偏心矩e1，二是左、右半跨屋面倾角j 为定值。于是，可写
11、出拱身内力计算式为,钢拉杆（拉力FS）,4.2 三铰拱的内力计算,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,4.3 三铰拱的压力线和合理拱轴,4.3.1 压力线,1. 压力线的意义,拱中外力对拱身横截面上作用力的合力常为压力，拱各横截面上合力作用点的连线，称为压力线，代表拱内压力经过的路线。,如果三铰拱中，某截面D左边(或右边)所有外力的合力FRD已经确定，则由此合力便可分解为该截面形心上的三个内力,rD为由截面形心到合力FRD的垂直距离；aD为合力FRD与D点拱轴切线之间的夹角。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2. 压力线的图解法,4.3
12、三铰拱的压力线和合理拱轴,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(2) 确定各截面合力的作用线,三铰拱各截面合力的作用线可由索多边形中的各索线来确定,当某段内竖向力连续分布时，该段的压力线为曲线。,4.3 三铰拱的压力线和合理拱轴,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,3. 压力线的用途,(1) 求任一拱截面的内力,(2) 选择合理拱轴,由上面分析可知，拱的压力线与拱轴曲线形式无关。因此，有了压力线之后，可以选择合理的拱轴曲线形式，应使拱轴线与压力线尽量接近（以减少弯矩），最好重合（此时截面弯矩为零）。对抗拉强度低的砖石拱和混凝土拱，则要求截面上
13、合力FR作用点不超出截面核心(对于矩形截面，压力线应不超过截面对称轴上三等分的中段范围)。,4.3 三铰拱的压力线和合理拱轴,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,4.3.2 三铰拱的合理拱轴线,1. 合理拱轴线,在固定荷载作用下，使拱身各截面处于无弯矩状态的轴线，称为合理拱轴线。,2. 合理拱轴的数解法,由 ， 得,上式表明，在固定荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线 y 与相当简支梁弯矩图的竖标M 0成正比。,4.3 三铰拱的压力线和合理拱轴,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,3. 常见的几种荷载作用下三铰拱的合理拱轴线,三铰拱所承受的主要荷载
14、，常见的有以下三种： 1) 满跨竖向均布荷载，如房屋建筑中的拱等。 2) 竖向连续分布荷载，如拱桥和地下建筑等。 3) 径向均布荷载，如水管、高压隧洞和拱坝等。 下面，分别对这三种荷载作用下三铰拱的合理拱轴线进行推导。,4.3 三铰拱的压力线和合理拱轴,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(1) 满跨竖向均布荷载作用下,【例4-4】设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，试求其合理拱轴线。,解:,三铰拱在沿水平方向均匀分布的竖向荷载作用下，其合理轴线为一抛物线。在如上所求得的y方程中，拱高f 没有确定。因此，具有不同高跨比的任一抛物线都是合理拱轴。,4.3 三铰拱的
15、压力线和合理拱轴,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(2) 竖向连续分布荷载作用下,【例4-5】设在三铰拱的上面回填土，填土表面为水平面。试求在填土容重下三铰拱的合理轴线。设填土的容重为 ，拱所受的竖向分布荷载为q = qC+g y。,解：将式 对 x微分两次，得,用q(x)表示沿水平线单位长度的荷载值，则,（这就是在竖向荷载作用下拱的合理轴线的微分方程）,4.3 三铰拱的压力线和合理拱轴,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,式中，规定y向上为正。对于轴向下的情况，上式右边应该取正号，即,将q = qC+gy代入上式，得,这个微分方程的解答
16、可用双曲线函数表示为,4.3 三铰拱的压力线和合理拱轴,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,两个常数A和B，可由边界条件求出如下：,在x=0处，y=0，得,在x=0处， =0，得B=0。,因此,在填土重量作用下，三铰拱的合理轴线是一悬链线。,4.3 三铰拱的压力线和合理拱轴,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(3) 均匀径向荷载作用下,解：从拱中截取一微段ds，其受力右上图所示。假设拱处于无弯矩状态，各截面上只有轴力。,4.3 三铰拱的压力线和合理拱轴,【例4-6】设三铰拱承受径向均匀分布的水压力的作用，试求其合理拱轴线。,由微段隔离体的力矩平衡条件 ，有,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院
