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1、All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,第8章 位移法, 本章教学基本要求：掌握位移法的基本原理和方法；熟练掌握用典型方程法计算超静定刚架在荷载作用下的内力；会用典型方程法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力；掌握用直接平衡法计算超静定刚架的内力。, 本章教学内容的重点：位移法的基本未知量；杆件的转角位移方程；用典型方程法和直接平衡法建立位移法方程；用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力。, 本章教学内容的难点：对位移法方程的物理意义以及方程中系数和自由项的物理意义的正确理解和确定。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院, 本章内容简介
2、:,8.1 位移法的基本概念,8.2 等截面直杆的转角位移方程,8.3 位移法的基本未知量,8.4 位移法的基本结构及位移法方程,8.5 用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力,8.6* 用典型方程法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力,第8章 位移法,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院, 本章内容简介:,8.7 用直接平衡法计算超静定结构的内力,8.8* 混合法,第8章 位移法,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,8.1 位移法的基本概念,对于线弹性结构，其内力与位移之间存在着一一对应的关系，确定的内力只与确定的位移相对应。因此
3、，在分析超静定结构时，既可以先设法求出内力，然后再计算相应的位移这便是力法；也可以反过来，先确定某些结点位移，再据此推求内力，这便是位移法。,两种方法的基本区别之一，在于基本未知量的选取不同：力法是以多余未知力（支反力或内力）为基本未知量，而位移法则是以结点的独立位移（角位移或线位移）为基本未知量。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,为了说明位移法的概念，我们来分析图示刚架的位移。,由于结点A为刚结点，杆件AB、AC、AD在结点A处有相同的转角A。若略去受弯直杆的轴向变形，并不计由于弯曲而引起杆段两端的接近，则可认为三杆长度不变，因而结点A没有线位移，而只有角位移
4、。对整个结构来说，求解的关键就是如何确定基本未知量qA的值。,8.1 位移法的基本概念,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,两种方法的基本区别之二，在于计算单元的选取不同。力法一般把超静定结构拆成静定结构；而位移法则是把结构拆成杆件（如图所示的三种基本超静定梁）。,8.1 位移法的基本概念,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,从刚架中取出杆件AB进行分析,8.1 位移法的基本概念,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,在位移法分析中，需要解决以下三个问题：,第一，确定杆件的杆端内力与杆端位移及杆上荷载之间的函数关系（即
5、杆件分析或单元分析）。,第二，选取结构上哪些结点位移作为基本未知量。,第三，建立求解这些基本未知量的位移法方程（即整体分析）。,这些问题将在以下各节中予以讨论。,8.1 位移法的基本概念,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,8.2 等截面直杆的转角位移方程,应用位移法需要解决的第一个问题就是，要确定杆件的杆端内力与杆端位移及杆上荷载之间的函数关系（杆件的转角位移方程）。,利用力法的计算结果，由叠加原理导出三种常用等截面直杆的转角位移方程。,8.2.1 杆端内力及杆端位移的正负号规定,1. 杆端内力的正负号规定,杆端弯矩对杆端而言，以顺时针方向为正，反之为负；对结点或支
6、座而言，则以逆时针方向为正，反之为负。杆端剪力和杆端轴力的正负号规定，仍与前面规定相同。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2. 杆端位移的正负号规定,角位移以顺时针为正，反之为负。,线位移以杆的一端相对于另一端产生顺时针方向转动的线位移为正，反之为负。例如，图中，DAB为正。,8.2 等截面直杆的转角位移方程,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,8.2.2 单跨超静定梁的形常数和载常数,位移法中，常用到图示三种基本的等截面单跨超静定梁，它们在荷载、支座移动或温度变化作用下的内力可通过力法求得。,由杆端单位位移引起的杆端内力称为形常数，列入
7、表8-1中。表中引入记号i=EI/l，称为杆件的线刚度。,8.2 等截面直杆的转角位移方程,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数。其中的杆端弯矩也常称为固端弯矩，用 和 表示；杆端剪力也常称为固端剪力，用 和 表示。常见荷载和温度作用下的载常数列入表8-2中。,8.2 等截面直杆的转角位移方程,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,8.2.3 转角位移方程,1. 两端固定梁,由叠加原理可得,8.2 等截面直杆的转角位移方程,（8-1）,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2. 一
8、端固定另一端铰支梁,8.2 等截面直杆的转角位移方程,（8-2）,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,3. 一端固定另一端定向支承梁,8.2 等截面直杆的转角位移方程,（8-3）,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超静定梁的杆端弯矩。至于杆端剪力，则可根据平衡条件导出为,式中， 和 分别表示相当简支梁在荷载作用下的杆端弯矩。,8.2 等截面直杆的转角位移方程,对上述三种基本的单跨超静定梁的杆端剪力表达式，也可根据叠加原理，写出如下：,（8-4）,All Rights Reserved,重庆大学
9、土木工程学院,1）两端固定梁,2）一端固定另一端铰支梁,3）一端固定另一端定向支承梁,8.2 等截面直杆的转角位移方程,（8-5）,（8-6）,（8-7）,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,8.3 位移法的基本未知量,8.3.1 位移法的基本未知量,位移法选取结点的独立位移（包括结点的独立角位移和独立线位移）作为其基本未知量，并用广义位移符号Zi表示。,8.3.2 确定位移法的基本未知量的数目,1. 位移法基本未知量的总数目,位移法基本未知量的总数目（记作n）等于结点的独立角位移数（记作ny）与独立线位移数（记作nl）之和，即,（8-8）,All Rights Re
10、served,重庆大学土木工程学院,2. 结点独立角位移数,结点独立角位移数（ny）一般等于刚结点数加上组合结点（半铰结点）数。但须注意当有阶形杆截面改变处的转角或抗转动弹性支座的转角时，应一并计入在内。至于结构固定支座处，因其转角等于零或为已知的支座位移值；铰结点或铰支座处，因其转角不是独立的，所以，都不作为位移法的基本未知量。,8.3 位移法的基本未知量,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,ny = 4,8.3 位移法的基本未知量,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(1) 简化条件,3. 结点独立线位移数,不考虑由于轴向变形引起的杆件的
11、伸缩（同力法），也不考虑由于弯曲变形而引起的杆件两端的接近。因此，可认为这样的受弯直杆两端之间的距离在变形后仍保持不变，且结点线位移的弧线可用垂直于杆件的切线来代替。,8.3 位移法的基本未知量,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,nl = 2,ny = 4,8.3 位移法的基本未知量,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,(2) 确定方法铰化结点，增设链杆,8.3 位移法的基本未知量,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,n = ny+nl = 4+3 =7,8.3 位移法的基本未知量,All Rights Reser
12、ved,重庆大学土木工程学院,4. 两点说明,(1) 当刚架中有需要考虑轴向变形（ ）的二力杆时，其两端距离就不能再看作不变。,(2) 当刚架中有 EI = 的刚性杆时（柱全部为竖直柱，与基础相连的刚性柱为固定支座）:,1）刚性杆两端的刚结点转角，一般可不作为基本未知量。因为如果该杆两端的线位移确定了，则杆端的转角也就随之确定了。,8.3 位移法的基本未知量,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,2）刚性杆两端的线位移，仍取决于整个刚架的结点线位移。,3）刚性杆与基础固结处以及与其他刚性杆刚结处，在“铰化结点”时均不改为铰结，以反映刚片无任何变形的特点。,综上所述，对于
13、有刚性杆的刚架，ny等于全为弹性杆汇交的刚结点数与组合结点数之和；nl等于使仅将弹性杆端改为铰结的体系成为几何不变所需增设的最少链杆数。,8.3 位移法的基本未知量,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,n=2+1=3,8.3 位移法的基本未知量,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,8.4 位移法的基本结构及位移法方程,8.4.1 位移法的基本结构,位移法的基本结构就是通过增加附加约束（包括附加刚臂和附加支座链杆）后，得到的三种基本超静定杆的综合体。,所谓附加刚臂，就是在每个可能发生独立角位移的刚结点和组合结点上，人为地加上的一个能阻止其角位移
14、(但并不阻止其线位移)的附加约束，用黑三角符号“ ”表示。,所谓附加支座链杆，就是在每个可能发生独立线位移的结点上沿线位移的方向，人为地加上的一个能阻止其线位移的附加约束。,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,8.4 位移法的基本结构及位移法方程,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,8.4.2 位移法的基本体系,图a所示刚架的基本未知量为结点A的转角Z1。在结点A加一附加刚臂，就得到位移法的基本结构（图b）。同力法一样，受荷载和基本未知量共同作用的基本结构，称为基本体系（图c）。,8.4 位移法的基本结构及位移法方程,All Rights R
15、eserved,重庆大学土木工程学院,8.4.3 位移法方程,基本结构在结点位移Z1和荷载共同作用下，刚臂上的反力矩F1必定为零（图c）。,8.4 位移法的基本结构及位移法方程,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,式中，Fij表示附加约束中的反力矩（或反力），其中第一个下标表示该反力矩所属的附加约束，第二个下标表示引起反力矩的原因。设k11表示由单位位移Z1=1所引起的附加刚臂上的反力矩，则有 F11= k11Z1，代入上式，得,这就是求解基本未知量Z1的位移法基本方程，其实质是平衡条件 。,为了求出系数k11和自由项F1P，可利用表8-2和表8-1，在基本结构上分别
16、作出荷载作用下的弯矩图（MP图）和Z1=1引起的弯矩图（ 图）。,8.4 位移法的基本结构及位移法方程,（8-9）,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,在图 中取结点A为隔离体，由 得，,在MP图中取结点A为隔离体，由 得，,（刚臂内之反力矩以顺时针为正 ）,8.4 位移法的基本结构及位移法方程,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,将k11和F1P的值代入上式，解得,结果为正，表示Z1的方向与所设相同。结构的最后弯矩可由叠加公式计算，即,8.4 位移法的基本结构及位移法方程,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,8.4 位移法的基本结构及位移法方程,All Rights Reserved,重庆大学土木工程学院,例如，图示刚架的基本未知量为结点C、D的水平线位移Z1。在结点D加一附加支座链杆，就得到基本结构。其相
