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1、第十二章 随机过程初步,12.1 随机过程的概念,一、随机过程的定义,随机过程被认为是概率论的“动力学”（J.Neyman, 1960). 意思是说它的研究对象是随时间演变的随机现象.,随机过程就是研究随机现象变化过程及其规律性的一门新兴学科.,首先看几个实例。,例121 考虑抛硬币的试验，用X(n)表示第n次(n1)抛硬币出现的结果,里随机过程或贝努里随机序列.,为相互独立的随机变量，因而,可能的结果，取值为0或1，且X(1)，X(2)，,X(n),为随机过程，且称具有这样特性的随机过程为贝努,对于n=1，2，X(n)均为随机变量，且X(n)有两种,例122 电话问题 用N(t)表示时刻t以
2、前即时间间,隔O，t)内电话总台接到的电话呼唤次数，对于固,定的t,显然N(t)是一个随机变量，但t是一个变化连,续的参数，因此N(t),t0为一随机过程.,定义12.1.1 设是样本空间，T是一个实数集， X(,t)，tT， 是对应于t和的实数，即为定义在T和上的二元函数，则称X(,t)，tT， 随机过程。,或X(t).,简记为,称T为参数集合,参数tT可以视为时间，X(t)的每一,个可能的取值所构成的集合，称为状态空间，用 S表示.,由上述实例归纳出如下定义：,(1)对于给定的,X(,t)是一个关于t的函数, 称为样本函数,它可以理解为随机过程的一个实现.,(2) 当t=t0时,X(t0)
3、是一个随机变量, 称它为X(t)在 t0时刻的状态。,两个特点：,式中a和b是常数,是在(0,2)上具有均匀分布的随机变量,称为随机相位正弦波.求 (1) 分别取0, /2, 时的三个样本函数； (2)t分别为1,2时的两个状态.,例12.1.3 设,例12.1.5设有一服务台，0,t)内到达服务台的顾客数N(t)为随机变量，因而N(t), t0,为一随机过程. 当服务台空闲时到达的顾客立刻接受服务，如果顾客到达时发现服务员正在为另一位顾客服务，则他需要排队等候，用X(t)表示t时刻系统内的顾客人数，则X(t), t0,为一随机过程，该随机过程的状态空间S=0，1，2，.,例12.1.4 某大
4、型超市统计在t时刻的库存量X(t)，它,大库存量; 参数集T =0, .,是随时间变化而变化的随机变量,因此X(t),t0,为随机过程，状态空间为S=0，R, 其中R表示为最,例12.1.6 随机过程X(t)=X0+Vt，atb,其中X0与V为相互独立的服从标准正态分布的随机变量，则X(t)，ta,b为一随机过程，显然对于固定的t，X(t)N(0,t2).,二、 随机过程的统计描述,定义122 给定随机过程X(t),对任意正整数n 及T中任意n个元素，t1, t2, , tn，(X(t1), , X(tn)的联合分布函数记为,称它为随机过程X(t)的n维分布函数.,1、随机过程的数字特征,(1
5、) 均值函数与方差函数,给定随机过程X(t), tT, 固定t T, X(t)为,一随机变量, 它的均值、方差一般与t有关，记为,均值函数,方差函数,均方差函数或标准差函数.,（2）自相关函数,对任意的t1, t2 T, X(t1), X(t2)为两个随机变量, 令,自相关函数,均方值函数,显然C(t1, t1)=DX(t1).,（3）互相关函数,同时考虑两个随机过程X(t)与Y(t)时, 对任意的t1,t2T,若X(t1)与Y(t2)的二阶混合矩存在，,互相关函数,互协方差函数,则称过程X(t)与Y(t)的互不相关.,若,2、二阶矩过程,定义123 如果随机过程X(t), t T对每个t T
6、,X(t)的均值和方差均存在，,则称 X(t), t T为二阶矩过程.,特别地，如果X(t),t T的有限维分布为,正态分布，则称之为正态过程.,正态过程是二阶矩过程的特例.,例127 X(t)=X0+Vt, t a, b,其中X0，V是相互独立的服从N(0，1)分布的随机变量， 求,X(t), t a,b随机过程的均值函数与协方差函数.,解：,例128 X(t)=Acost+Bsint,0t1,其中A、B为,相互独立的服从N(0,2)的随机变量， 2为实常数，,求该随机过程的均值函数和协方差函数.,解,由例128可以看出，其协方差函数C(t1, t2)仅与t1-t2有关，而与t1、t2无关，
7、称此类过程为宽平稳过程，它是二阶矩过程中研究得最多的一种随机过程，下面我们给出一般的定义.,定义124若 X(t), t T为二阶矩过程，如果它的 均值函数为常数，协方差函数C(t1,t2)仅与t1-t2有关，即C(t1，t2)=B(t1-t2)，称X(t),t T为宽平稳过程或广义平稳过程.,与宽平稳过程相对应的是严平稳过程，对于,随机过程 X(t), t T，对于任意的t1,t2, tn T,当t1+, ，t2+ ,tn+ T时，有,容易看出，平稳过程的统计特性是不随时间推移而变化的. 一般的严平稳过程未必有二阶矩，因而严平稳过程不一定是宽平稳过程；若严平稳具有二阶矩，则它必是宽平稳过程;
8、 反之，宽平稳过程也未必是严平稳过程，但对正态过程而言，宽平稳与严平稳是一致的.,称X(t),tT为严平稳过程.,除了平稳过程外，随机过程理论中还有一种比 较重要的二阶矩过程：正交增量过程，对于二 阶矩过程X(t),t T，对任意的t1t2t3t4,有,则称X(t),t T为正交增量过程.,另一方面，对于二阶矩过程X(t), t T，对任意,则称X(t),t T为独立增量过程.,如果随机过程X(t) 为独立增量过程，,的分布仅与时间间隔有关，与t1无关,则称这类随机过程为齐次的独立增量过程.,如果随机过程X(t), t0为齐次的独立增量过程,对任意的 t1t2, 有,则称二阶矩过程X(t)为维纳过程. X(0)=0,3、马尔可夫过程(Markov),设有一随机过程X(t), t T，对任意正整数n,(n3)及任意的t1t2tntn+1 T,有,则称X(t),t T具有马尔可夫性，并称此过程为 马尔可夫过程简称为马氏过程.,总结,二、 随机过程的统计描述,一、 随机过程的定义,均值函数与方差函数,1、随机过程的数字特征,自相关函数,互相关函数,2、二阶矩过程,宽平稳过程,严平稳过程,正交增量过程,独立增量过程,齐次的独立增量过程,维纳过程,3、马尔可夫过程(Markov),
