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1、39351-02a,主编,第二章 投影与视图基础,第一节 投影法的基本知识 第二节 三面视图的形成 第三节 点的投影 第四节 直线的投影 第五节 平面的投影 第六节 回 转 体,第一节 投影法的基本知识,一、投影法 二、 投影法的分类 三、正投影的投影特性,一、投影法,物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上呈现出该物体的影子，这就是投影现象。人们把这一自然现象加以科学地抽象，将空间物体的形象在平面上表达出来。,二、 投影法的分类,1. 中心投影法 2.平行投影法,1. 中心投影法,图2-1 中心投影法,2.平行投影法,(1)正投影法 投射线垂直于投影面的投影方法称为正投影法，由正投影法得到的投影
2、称为正投影，如图2-2所示。 (2)斜投影法 投射线相互平行且倾斜于投影面的投影方法称为斜投影法，由斜投影法得到的投影称为斜投影，如图2-3所示。,(1)正投影法,图2-2 正投影法,(2)斜投影法,图2-3 斜投影法,三、正投影的投影特性,1.真实性 当平面图形或直线平行于投影面时，其投影反映实形或实长，如图2-4a、b所示。 2.积聚性 当平面图形或直线垂直于投影面时，其投影积聚成一条直线或一个点，如图2-4c所示。 3.类似性 当平面图形或直线倾斜于投影面时，线段的投影长度比实长短，如图2-4d、e所示。平面图形的投影成类似形，平面图形投影前后线段的定比性质不变，边数、各边间平行关系、各
3、边的直曲及凹凸、在投影中的连线顺序保持不变。 4.平行性 两相互平行的直线，其投影仍然平行，如图2-4f所示。 5.定比性 两平行线段长度之比与其投影长度之比相等，如图2-4f所示， ABCD=abcd。 直线上两线段长度之比与其投影长之比相等，如图2-4d所示，ACCB=accb，即直线上的点分割直线段的比值投影后保持不变。 6.从属性 直线上的点或平面上的点和直线，其投影必在直线或平面的投影上，如图2-4d、e所示。,图2-4 正投影特性,三、正投影的投影特性,第二节 三面视图的形成,一、三面视图的形成 二、三面视图的位置关系和投影规律 三、基本平面立体的视图,一、三面视图的形成,图2-5
4、 三面视图的形成,二、三面视图的位置关系和投影规律,从图2-5可以看出：主视图反映了物体上下、左右的位置关系，反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体上下、前后的位置关系，反映了物体的高度和宽度。 主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，俯视图与左视图宽相等，简称“长对正，高平齐，宽相等”，这是画图和看图必须遵循的投影规律。物体全部结构的投影都必须符合这条规律。,三、基本平面立体的视图,1. 棱柱 2. 棱锥,1. 棱柱,图2-6 正六棱柱的视图,图2-7 正三棱锥的视图,2. 棱锥,第三节 点的投影,1. 点的投影规律 2.点
5、的投影与坐标之间的关系 3.两点的相对位置与重影点,1. 点的投影规律,图2-8 点的一个投影,1. 点的投影规律,图2-9 三投影面体系,1. 点的投影规律,图2-10 点的三面投影,1. 点的投影规律,1) 点的两个投影连线垂直于相应的投影轴，即aaOX, aaOZ，aaYOY(aaYHOYH,aaYWOYW)。 2) 点的投影到投影轴的距离等于空间点到相应投影面的距离。,2.点的投影与坐标之间的关系,图2-11 点的投影与坐标的关系,2.点的投影与坐标之间的关系,例2-1 如图所示，已知点A的正面投影和水平投影，求其侧面投影。 作图 由点的投影特性可知，aaOZ，aaZ=aaX，故过a作
6、直线垂直于OZ轴，交OZ轴于aZ,在aaZ的延长线上量取aaZ=aaX。用45斜线法作图，如图2-12c所示。,图2-12 已知点的两个投影求第三投影,2.点的投影与坐标之间的关系,3.两点的相对位置与重影点,(1)两点的相对位置 如图2-13所示，两点的相对位置是指空间两点的上下、前后、左右的位置关系。 (2)重影点及可见性 如果空间两点有两个坐标相等，即空间两点处于同一投射线上时，则该两点的一个投影重合。,(1)两点的相对位置,图2-13 两点的相对位置,(2)重影点及可见性,图2-14 重影点及可见性,第四节 直线的投影,一、直线的投影 二、直线对投影面的相对位置 三、直线上的点 四、两
7、直线的相对位置,一、直线的投影,图2-15 直线的投影,二、直线对投影面的相对位置,1. 一般位置直线 2. 投影面垂直线 3. 投影面平行线,1. 一般位置直线,与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。图2-7中正三棱锥的棱线SA和SC都为一般位置直线。设图2-15中直线AB对H、V、W三个投影面的倾角分别为、，则有,一般位置直线的投影特性为：三个投影都倾斜于投影轴且小于实长，投影与投影轴的夹角都不反映直线对投影面的倾角。,2. 投影面垂直线,投影面垂直线的投影特性可归纳为： 1）投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影积聚为一点。 2) 在另外两个投影面上的投影同平行于一个投影轴，且反映实长
8、。,2. 投影面垂直线,表2-1 投影面垂直线的投影特性,2. 投影面垂直线,表2-1 投影面垂直线的投影特性,3. 投影面平行线,三种投影面平行线的投影特性可归纳为： 1) 投影面平行线在所平行的投影面上的投影反映实长，它与投影轴的夹角反映直线对另外两个投影面的倾角。 2) 在另外两个投影面上的投影长度缩短，且同垂直于一个投影轴。,3. 投影面平行线,表2-2 投影面平行线的投影特性,3. 投影面平行线,表2-2 投影面平行线的投影特性,图2-16 直线上的点,三、直线上的点,三、直线上的点,1) 从属性。 2) 定比性。,例2-2 已知侧平线AB和点K的正面投影和水平投影，判断点K是否在直
9、线上(图2-17a)。 解法一 用定比分点的方法求解，如图2-17b所示。 分析 由于直线AB为侧平线，其两个投影均垂直于X轴，可用下列两种方法进行判断。 解法一 用定比分点的方法求解，如图2-17b所示。 1)过a引任意一条直线，并在其上作 ，连接b0b。 2)过k0作b0b的平行线，交ab于k1，由于k1与k不重合，故点K不在直线AB上。 解法二 求出它们的侧面投影，如图2-17c所示，显然点K不在直线AB上。,三、直线上的点,图2-17 求直线上点的投影,三、直线上的点,四、两直线的相对位置,1.两直线平行 2. 两直线相交 3. 两直线交叉 4.两直线垂直,1.两直线平行,1)若空间两
10、直线互相平行，则它们的各同面投影必定互相平行；反之，若两直线的三个同面投影都互相平行，则空间两直线必相互平行(图2-18)。 2)若空间两直线互相平行，则平行两线段之比等于其投影比。,图2-18 两直线平行,1.两直线平行,例2-3 已知两侧平线AB、CD的两面投影abcd，ab cd，且 ，试判断两线段AB、CD是否平行(图2-19a)。 解 此题可用三种方法求解。 解法一 利用第三投影判断。 解法二 利用两投影是否相对应判断。 解法三 利用定比性判断。,1.两直线平行,图2-19 判断两投影面平行线是否平行,1.两直线平行,2. 两直线相交,图2-20 两直线相交,2. 两直线相交,例2-
11、4 试判断直线AB与CD是否相交(图2-21a)。 分析 CD为侧平线，可用两种方法判断。 解法一 利用第三投影判断。 作出其侧面投影，如图2-21b所示。虽然其侧面投影相交，但交点不是K的侧面投影，故直线AB与CD不相交。 解法二 利用定比性判断。,图2-21 判断两直线是否相交,2. 两直线相交,3. 两直线交叉,图2-22 两直线交叉,3. 两直线交叉,1)利用水平投影的重影点判断两直线的上下位置。 2)利用正面投影的重影点判别两直线的前后位置。,4.两直线垂直,图2-23 直角投影定理,4.两直线垂直,直角投影定理 如果两直线垂直(相交垂直或交叉垂直)，其中有一条直线平行于某一投影面，
12、则两直线在该投影面上的投影互相垂直并反映直角。,4.两直线垂直,例2-5 如图2-24a所示，已知正平线AB及点S的两面投影，试过点S作直线SL与直线AB垂直相交。若过点S作直线AB的垂线，其解是否唯一？ 作图 由于AB是正平线，根据直角投影定理，先过s作ab的垂线，交ab于点l，求出其水平投影l，连接sl即为所求，如图2-24b所示。 若过点S作直线AB的垂线，其轨迹为与直线AB垂直的平面，因此有无穷多解，只要正面投影slab，无论水平投影方向如何选择，均可保证ABSL，如图2-24c所示。,图2-24 过定点作已知直线的垂线,4.两直线垂直,第五节 平面的投影,一、平面的确定与表示方法 二
13、、平面对于投影面的相对位置 三、平面上的点和直线 四、平面立体表面上的点和直线,一、平面的确定与表示方法,1. 几何元素表示法 2.迹线表示法,1. 几何元素表示法,图2-26 平面的几何元素表示,1. 几何元素表示法,1) 不在同一直线上的三点，如图2-26a所示。 2) 一直线及线外一点，如图2-26b所示。 3) 两相交直线，如图2-26c所示。 4) 两平行直线，如图2-26d所示。 5) 平面几何图形(如三角形、四边形、圆等)，如图2-26e所示。,2.迹线表示法,图2-27 平面的迹线表示,二、平面对于投影面的相对位置,1.一般位置平面 2. 投影面平行面 3. 投影面垂直面,1.
14、一般位置平面,图2-28 一般位置平面的投影,2. 投影面平行面,1) 投影面平行面在所平行的面上的投影反映实形。 2) 在另外两个投影面上的投影积聚成直线，且分别平行于相应的投影轴。,2. 投影面平行面,表2-3 投影面平行面的投影特性,3. 投影面垂直面,1) 投影面垂直面在所垂直的面上的投影积聚成与投影轴倾斜的直线段，该直线段与两投影轴的夹角，反映该平面对相应两投影面的倾角。 2) 在另外两个投影面上的投影为类似形。,3. 投影面垂直面,表2-4 投影面垂直面的投影特性,三、平面上的点和直线,1. 点和直线在平面内的几何条件 2.平面内的投影面平行线,1. 点和直线在平面内的几何条件,1
15、) 平面上的点必在该平面的一条直线上。 2) 平面上的直线必通过该平面上的两点，或者通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。,图2-29 在平面内取任意直线,1. 点和直线在平面内的几何条件,例2-7 已知点K位于平面ABC内，求点K的水平投影(图2-30a)。 分析 在平面内过点K任作一条辅助直线，点K的投影必在该直线的同面投影上。 作图 如图2-30b所示，连接bk与ac交于d，求出直线AC上点D的水平投影d，按投影关系在bd上求得点K的水平投影k。,1. 点和直线在平面内的几何条件,图2-30 平面内取点,1. 点和直线在平面内的几何条件,2.平面内的投影面平行线,图2-31 属于平面
16、的投影面平行线,2.平面内的投影面平行线,例2-8 如图所示,已知ABC的两面投影，在ABC内取一点M，并使其到H面和V面的距离均为10mm。 分析 平面内的正平线是平面内与V面等距离的点的轨迹，故点M位于平面内距V面为10mm的正平线上。点的正面投影到OX轴的距离反映点到H面的距离。 作图 如图2-32b所示，在ABC内取距V面10mm的正平线DE，在正面投影面上作与OX轴相距为10mm的直线，与de交于m，即得点M的正面投影。按投影关系在de上确定点M的水平投影m。,图2-32 平面内取线,2.平面内的投影面平行线,四、平面立体表面上的点和直线,例2-9 已知六棱柱表面上点M的正面投影m，求点M的其余两个投影，如图2-33所示。 解 在棱柱表面上取点，可利用积聚性进行作图。手工绘图时用圆规量取相对坐标求解。图中点M的三个投影都可见。,图2-33 利用积聚性在立体表面上取点,四、平面立体表面上的点和直线,第六节 回 转 体,一、圆柱
