《Maple材料力学 教学课件 ppt 作者 李银山 第八章 弯曲应力》由会员分享，可在线阅读，更多相关《Maple材料力学 教学课件 ppt 作者 李银山 第八章 弯曲应力（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,第8章 弯曲应力 8.1弯曲正应力 8.2弯曲切应力 8.3例题编程,8.1弯曲正应力,梁弯曲时横截面上的切应力与正应力，分别称为弯曲切应力与弯曲正应力。,图8-1弯曲切应力与弯曲正应力,对称弯曲,图8-2对称弯曲,8.1.1试验与假设,梁或梁段各横截面的剪力为零而弯矩为常数的受力状态，称为纯弯曲,图8-3纯弯曲,1. 纯弯曲试验 （1）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正交，只是横线间作相对转动； （2）纵线变为弧线，在正弯矩作用下，靠近梁顶面的纵线缩短，靠近梁底面的纵 线伸长； （3）在纵线伸长区，梁的宽度减小，而在纵线缩短区，梁的宽度则增加，情况与 轴向拉压时的变形相似。,2. 纯弯曲梁的
2、两个假设 （1）变形后，横截面仍保持平面，且仍与纵线正交，称为弯曲平面假设； （2）梁内各纵向“纤维”仅承受轴向拉应力或压应力，称为单向受力假设。 根据平面假设，横截面上各点处均无切应变，因此梁纯弯时横截面上不存在切应力。,图8-4纯弯曲,中性层 中性轴 对称弯曲时，梁的变形对称纵向对称面，因此中性轴垂直于横截面的纵向对称轴。,纯弯曲时梁的所有横截面仍保持平面，并绕中性轴作相对转动，而所有纵向“纤维”则均处于单向受力状态。,8.1.2弯曲正应一般公式,1.几何方面,纵线 的正应变为,图8-5纯弯曲几何关系,2.物理方面,横截面上 处的正应力为,图8-6纯弯曲物理关系 图8-7纯弯曲静力平衡关系
3、,3.静力学方面,(c),(d),(e),中性轴通过截面形心。将式(b)代入式(d)，得,(f),此即用曲率表示的弯曲变形公式。乘积称为梁截面的弯曲刚度。,(8-1),横截面上 处的正应力为,此即弯曲正应力的一般公式。,(8-2),8.1.3最大弯曲正应力,(8-3),仅与截面的形状与尺寸有关，称为抗弯截面系数，即,(8-4),高为 ，宽为 的矩形截面,直径为 的圆形截面,空心圆截面,式中， ，代表空心圆截面的内、外径的比值。,8.1.4正应力公式的推广 1横力弯曲时的正应力,梁的横截面上既有剪力又有弯矩，这种弯曲称为横力弯曲，则横截面上不仅有正应力，还有切应力。,图8-8横力弯曲时的正应力,
4、2非对称梁的纯弯曲 进一步研究表明，对于非对称梁，只要外力偶矩作用于形心主惯性轴和轴线组成的形心主惯性平面内，或外力偶矩的作用平面平行于形心主惯性平面，则中性轴与这个平面垂直，弯曲变形发生在形心主惯性平面内。横截面上的正应力仍可按式(8-2)计算。,8.1.5弯曲正应力强度条件,式(8-8) 仅适用于许用拉应力 与许用压应力 相同的梁，如果二者不同，则应按拉伸与压缩分别进行强度计算。,(8-8),8.2弯曲切应力,8.2.1矩形截面梁的弯曲切应力,图8-9承受横向载荷作用的矩形截面梁,图8-10矩形截面梁的弯曲切应力分析,(a),(b),(8-9),(c),(d),由切应力互等定理,矩形截面对
5、中性轴 的惯性矩为,(e),(8-10),(g),(8-11),图8-11矩形截面梁的弯曲切应力分布,在横截面的上、下边缘处（ ），切应力 ； 在中性轴处（ ），切应力最大，其值为,(8-12),8.2.2工字形截面梁的弯曲切应力,图8-12工字形截面梁的弯曲切应力分布,切应力主要由腹板（腹板面积为 ）承担，可近似看成是均匀分布的（图8-12b）,翼缘上的切应力较腹板切应力小，强度计算时一般可以不予考虑。,图8-13圆形截面梁的弯曲切应力分布,8.2.3圆形截面梁的弯曲切应力,圆截面上的最大弯曲切应力仍发生在中性轴上(图8-13b)。并可近似认为中性轴各点处的切应力均平行于剪力，且沿中性轴均匀
6、分布。,式中， 为圆形截面的面积。,(8-14),8.2.5弯曲正应力与弯曲切应力比较,梁的最大剪力与最大弯矩分别为,梁的最大弯曲正应力与最大弯曲切应力分别为,，,图8-14弯曲正应力与弯曲切应力比较,二者的比值为,可见，当梁的长度 远大于其截面高度 时，梁的最大弯曲正应力远大于最大弯曲切应力。,在一般细长的非薄壁截面梁中，最大弯曲正应力远大于最大弯曲切应力。,8.3例题编程,例8.1 形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图8-17a所示。铸铁的抗拉许用应力为 ，抗压许用应力为 。已知截面对形心轴 的惯性矩为 ，且 ，试按最大正应力校核梁的强度，并计算该截面的最 大弯曲切应力，以及腹板与翼缘交接处的
7、弯曲切应力。,(a) (d),(b) (e),(c) (f) 图8-15 例8.1,已知：,求：,解： 建模 梁受力：, 计算支座约束力。 建立剪力函数和弯矩函数。绘剪力图和弯矩图。 找出最大弯矩。 确定形心位置，计算截面对中心轴z的惯性矩 。 最大弯曲切应力发生在中心轴上，计算中心轴z一侧的部分截面对中心轴的静矩 。, 计算腹板与翼缘交接处一侧的部分截面对中心轴 的静矩 计算截面B上的最大负弯矩和截面C上的最大正弯矩。 计算梁的最大拉应力、最大压应力； 计算最大弯曲切应力。 计算腹板与翼缘交接处的弯曲切应力。, Maple程序 restart: #清零。 sigmatmax:=max(sig
8、maBt,sigmaCt):#最大拉应力。 sigmacmax:=sigmaBc: #最大压应力。 taumax:=FSmax*Szmax/(Iz*delta): #最大切应力。 tauj:=FSmax*Szj/(Iz*delta): #腹板与翼缘交接处的弯曲切应力。 sigmaBt:=MmaxBf*y1/Iz: #截面B上的最大拉应力。 sigmaCt:=MmaxCz*y2/Iz: #截面C上的最大拉应力。 sigmaBc:=MmaxBf*y2/Iz: #截面B上的最大压应力。 L:=2*a: #梁的跨度。 delta:=b2: #腹板厚度。 eq1:=FAx=0: #梁，, eq2:=FB
9、*2*a-F1*a-F2*3*a=0: #梁，, eq3:=FAy+FB-F1-F2=0: #梁，, SOL1:=solve(eq1,eq2,eq3,FAx,FAy,FB): #解方程组，求支座约束力。 FS:=x-piecewise(x x xL+a,FAy-F1+FB):#剪力函数。, FS:=normal(FS(x): #有理式的标准化。 FS:=subs(SOL1,FS): #代入支座约束力。 M:=x-piecewise(x x x #弯矩函数。, M:=normal(M(x): #有理式的标准化。 M:=subs(SOL1,M): #代入支座约束力。 M:=normal(M): #
10、有理式的标准化。 yztj1:=a=1,F1=9e3,F2=4e3: #已知条件1。 FS:=subs(yztj1,FS): #剪力函数的数值。 M:=subs(yztj1,M): #弯矩函数的数值。 plot(FS,x=03): #绘剪力图。 plot(M,x=03): #绘弯矩图。 MmaxCz:=2.5e3: #最大正弯矩。 MmaxBf:=4e3: #最大负弯矩。 FSmax:=6.5e3: #最大剪力。 y2:=h1+h2-y1: #下表面坐标。 Szmax:=y2*b2*y2/2: #中心轴一侧的部分截面对中心轴 的静矩。, Szj:=(b2*h2)*(h1+h2/2-y1): #
11、腹板、翼缘交接线处一侧的部分截面对中心轴的静矩, yztj2:=h1=20e-3,b1=80e-3, h2=120e-3,b2=20e-3, y1=52e-3,Iz=763e-8: #已知条件2。 sigmatmax:=subs(yztj2,sigmatmax): sigmacmax:=subs(yztj2,sigmacmax): taumax:=subs(yztj2,taumax): tauj:=subs(yztj2,tauj): sigmatmax:=evalf(sigmatmax,4); #梁最大拉应力的数值。, sigmacmax:=evalf(sigmacmax,4); #梁最大压应
12、力的数值。, taumax:=evalf(taumax,4); #梁最大切应力的数值。, tauj:=evalf(tauj,4);,答：,最大弯曲切应力,交接处的弯曲切应力 ，与弯曲正应力相比，弯曲切应力的数值是非常微小的。,梁满足强度要求。,例8.2 图示截面梁，弯矩 并位于纵向对称面（即 平面）内。试计算最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。,图8-16 例8.2,已知：,求：,求截面惯性矩 。截面由两个矩形和两个空心圆组成。 求矩形和空心圆对 轴的惯性矩； 平行移轴公式； 求最大正应力。,解：建模,Maple程序 restart: #清零。 sigmamax:=M/Wz: #最大正应力。 Wz
13、:=Iz/ymax: #抗弯截面系数。 Iz:=2*(Iz1+Iz2): #截面的惯性矩, Iz1:=b*h3/12: #矩形的惯性矩。 Iz2:=Pi*d14*(1-alpha4)/64+A2*yC22: #空心圆的惯性矩。 A2:=Pi/4*(d12-d22): #空心圆的面积。 yC2:=h/2: #空心圆的形心距。 alpha:=d2/d1: #空心圆内外直径之比。 ymax:=h/2+d1/2: #上下表面到中性轴距离的绝对值。 M:=800e3: #已知条件。 b:=30e-3: h:=600e-3: #已知条件。 d1:=400e-3: d2:=350e-3: #已知条件。 Iz:=evalf(Iz,4); #截面惯性矩 的数值。, sigmamax:=evalf(sigmamax,4); #最大正应力的数值。,答：最大弯曲正应力,
