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1、二数学模型的分析与建立2.1分析与假设将人群分为四类：健康者(易受感染者)：用S表示健康者在人群中的比例。潜伏期者（已感染，尚未发病）：用E表示他们在人群众的比率。发病期者(已发病者)：用I表示病人在人群中的比例。退出者(死亡者)：用R表示退出者在人群中的比例。2.2模型的建立1参数设定每个病人平均每天有效接触（足以使被接触者感染）的人数。q 退出率，为SARS患者的日死亡率和日治愈率之和。（流入）流出人口占本地总人口的比率。处于潜伏期的病人的日发病率。P流入人口中带菌者所占的比例。2控前方程的建立根据我们的分析和各变量的分析，结合实际的疫情的传播规律，我们可以建立如下的方程组： （1） （2
2、） （3） （4） （初值）3参数的确定1) 根据医学资料和有关数据推导而得。2) q 由该城市的医疗水平和已知的统计数据分析，求其统计平均值。3) 由城市的出入人口流动情况（主要由经济发达程度和交通状况决定）。可查有关资料。4) 根据医学研究和调查的有关结果和该城市的疫情发展状况可得。5) P由流入该城市人群的地区分布情况和各其他地区的疫情决定。II控后模型的建立1参数设定不可控人群(在后面的分析中可得到)在发病后到被隔离前平均每天接触的人的数目。q 退出率，为SARS患者的日死亡率和日治愈率之和。接触病源的人的发病率。每天由可控人群和不可控人群转化为病人的日转化率。2控后方程的建立根据上面
3、我们的各种假设和各变量和参数的实际意义,我们可以建立如下控制后的疾病模型的方程组：(5) (6) (7)(8) (9) （初值）在得到这个模型后,我们对模型和数据进行了进一步的分析,发现这个模型中存在以下的问题:(1) 该模型中,没有充分考虑疑似病例,即“疑似者”和“隔离者”的之间的关系不明确。(2) 从收集到的数据中我们无法得到有关隔离者和未被隔离者的信息，因此无法对其做出分析。从以上两点出发,我们对模型进行了改进,我们仍将将人群分为五类,但这五类人的界定作了改动：我们将隔离者和未被隔离者改为“疑似者”和“自由带菌者”，用Y和M分别代表这两者在人群中所占的比例。以下是对“疑似者”和“自由带菌
4、者”的说明：疑似者：所有未确诊的非健康者。包括已出现有关症状但未确诊的被隔离者和还未出现症状但已疑为带菌者而被隔离观察的。在此我们假设这一阶段中的所有的病人产生都是被前几阶段的病人传染而来的。自由带菌者：不可控的病毒携带者。综合上面的未考虑因素和部分不确定因素，我们提出以下改进模型：III控后优化模型的建立1参数说明 疑似中每日被排除的人数占疑似人数的比例；疑似者中每日确诊的人数占疑似人数的比例；每个自由带菌者转化为病人的日转化率；每个自由带菌者发病后被收治前平均每天感染的有效人数；被自由带菌者有效感染的人中可以控制的比率；2方程的建立 (10) (11) （12） (13) (14) (初值
5、)与前一个模型相比，此优化模型的优点在于： 明确了疑似者所指的范围； 基本可从数据中分析出所需的参数和变量初值； 将定义为“有效接触人数”既有利于数据的分析也可减少未知参数的数量；3 参数的确定鉴于每个地区的情况（医疗卫生水平，经济发展情况，人口密度等）不同，所以对于模型中各参数不能用全国总的情况来分析，而应该各个城市分别对待。由于北京在强化控制阶段采取措施相当严格，而且找到的数据也比较齐全，故我们以北京为例来说明参数的分析方法。1) 疑似者的日排除比例：计算公式：= 以北京为例说明：首先我们直观的观察一下y1的变化趋势，根据卫生部的每日疫情公布数据求出每天对应的y1（见后面列表 5 ），用m
6、atlab画图，如下图1所示： 图1初步用曲线拟合处理一下原始数据，如图2所示：（光滑的线为cubIc拟合曲线） 图2可以看出y1大概有两个峰值，第一个峰值是由于采取措施力度很大，加之强化控制初期市民有较恐慌的心理，导致疑似病例中非感染者比例较高；第二个峰值则是因大部分真正带病的疑似者已转化为确诊后，未带菌者相对比例增大造成的。虽然三阶拟合能在一定程度上反映y1的规律，但如果用这个图来分析就会发现误差特别大，为此，我们去除几个偏离太大的点，得到下图3：图3其中，平直的线为lIneaR拟合直线。再用威布尔分布观察一下处理后的y1的值的分布情况，如图4所示：（对威布尔分布做解释） 图4可以看出y1
7、的值主要分布2%4.5%之间，其中概率最大的取值为：3.51%，故我们在模型建立过程中，就取3.51%为y1的概率平均值。2) 疑似转化为病例的日转化比：计算公式：=以北京为例同y1的分析方法一样，首先我们直观的观察一下由已知数据算得的各天的y2（见后面的列表 5）的变化趋势如下图5所示： 图5 原始的数据有一些点偏离太大，去除这些点后，得到下图6：图6从原始数据可以看出y2总的趋势是下降的，先用曲线拟合处理一下如图7：（光滑的线是y2的五阶拟合线） 图7显然，y2在病情得到较大重视之后总的趋势是下降的，但是初期因初始的自由带菌者较多，还有一个较大的峰值。最后，我们依然用威布尔分布来观察一下y
8、2的值的分布情况，如图8所示：图8可以看出y2的值主要分布0.05%2%之间，但是y2不同于y1的分布那么均匀，所以我们不能用一个有效值来取代y2的值。在这里，我们把y2的值分布人为划分为两个阶段值：2.229%和0.59%。如下图9所示，y2的两个有效值分布在中直线的两侧。图9 从对y1与y2的数据处理来看，我们可以将强化控制后的这段时间分为两个阶段：过渡期和平稳期；这两个阶段的产生是与非典自身的特性分不开的。由于非典具有潜伏期，所以在强化控制初期，由于前一段时间对非典的控制力度不够，造成较多的人处于非典潜伏期，这一部分人最终将转化为非典病人；且因为他们为自由带菌者，在被收治以前会传染较多的
9、人；加之各项措施从颁布到实行总会有一段反应时间，所以上述原因直接导致了过渡期的形成，其特征为：y2较大，q（退出率）较小。（有关q的分析见对q数据处理）3) q的计算公式=以北京为例：从q的原始数据（见附表5）中我们可以看出，q的值也存在阶段性。5.16日以前，q的值大概在1%左右摆动，不存在较大的波动；而5.16日以后,q的值基本都在1%以下。由于q的定义中包括了治愈率与死亡率两部分，在过渡期，由于发病人数较多，治愈率相对较低；当进入平稳期后，发病人数减少，治愈率必然增高。故这与我们上面对于过渡期和平稳期的假设是吻合的。4) 从数据可推算出其值在12%30%之间我们在这里令。5) 与城市的人
10、口密度、生活习惯等因素有关，由于在强化控制阶段对人员的流动控制的相当严格，还采取了比如封校、小区隔离、公共场合的关闭、减少聚集活动等有效措施，故我们可估计3模型的求解：很明显从我们建立的模型是无法得到s，i，r，y，m的解析解的。为了解决这个问题，我们求助于matlab中的龙格库塔方法来求出它们的数值解。我们先通过采集到的实际数据算出每一天的s，i,r,y,m，做出它们与时间的函数图象，然后画出我们通过模型解出的数值解随时间变化的图象。对比这两组图，可以发现实际和理论存在着一定的差异。这必然是因为我们的参数估计不合理造成的。所以，我们必须通过不断调整那些非计算得到的参数（2，）来使实际图象和理
11、论图象趋于一致。经过多次调试,我们发现，当2=0.71人,=0.2,=0.8时,实际图象和理论图象有最好的符合。而这三个值均在我们估计的范围内，所以我们认为这三个值的得到是合理的。（matlab程序及画图结果附于论文后）三. 各地疫情分析n 北京地区 首先从已知数据看一下北京地区病人比率图（如下图10所示）：图10显而易见，北京的发病人数在4月29日到5月15日这段时间内有最大的增长率即这段时间是北京非典疫情的“高潮期”；由于政府措施得力，公众健康意识增强，非典病情从5月16号之后开始趋于缓和，在我们的参数分析中，北京各参数取值如下：:=0.0351，=0.0299，=0.00555;=0.0
12、087 =0.025，=0.71,=0.8 ，0.2。取的是0.71，即每个未被隔离的病人平均每天感染0.71人，所以，北京地区政府采取的隔离措施是较为得力和及时的，在疫情完全扩散之前就阻断了大部分病源与健康人群的接触，使传染链受阻，有效的阻止了疫情的进一步扩大；在政府正式采取措施后=0.025，可以看出此时的治愈率是比较高的，与其他疫区相比北京的治愈率也是相对较高的，这说明：北京的卫生部门对非典的预防措施比较及时的控制了病人与医护人员以及其他易感染人群的交叉感染，从而基本断绝了病毒传播的一个主要途径；同时其治疗措施相对较为完善，稳定了疫情。从北京的地理位置和特定的社会环境（全国政治、经济、文
13、化、交通的中心）来看，北京要想有效控制疫情的传播，应该注意以下几点： 首先必须强化对流动人口的管理，即认真抓好流入人口是否患有非典或携带有非典病毒的检查和确认。这样的话，北京才可能在不受输入病人侵袭的前提下，打好抵御非典的攻坚战。 其次，要强化对公共场合（如公交、商场、餐厅、娱乐场所等）的管理，要采取责任到部门，责任到单位，责任到个人的管理方式，明确责任，规范管理，做到环环相扣，一丝不漏。 最后还要注意那些人口流动比较快的场合(如汽车站、火车站、飞机场、宾馆等)的管理，要强化这些场所的卫生宣传，增加防护工具以及消毒工具、药品的使用，以减少病毒大肆蔓延的可能性。n 内蒙古地区下图11为根据内蒙古公布的数据画出的内蒙古每日病人累计所占比率的统计图，图11可以看到由于
