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1、波动理论及其在生物医学工程中的应用 Wave Theory and Application in Biomedical Engineering,天津大学 精仪学院 生物医学工程系 綦 宏 志 15822683026 第17教学楼401/416室（神经工程与康复实验室）,绪论 (Introduction) 第一章、 振动 (Vibration); 第二章、 波动传播 (Wave Propagation); 第三章、 波的干涉与衍射 (Wave Interference and Diffraction) ； 第四章、电磁波 (Electromagnetic Wave); 第五章、 超声波在生物医
2、学工程中的应用 (Application of Ultrasound in BME)； 第六章、 微波在生物医学工程中的应用 (Application of Microwave in BME); .,波动理论及其在生物医学工程中的应用,1）作周期运动的相对于平衡位置在同一路线来回往复运动.其运动形式有直线、平面和空间振动.,例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等.,第一章 振 动,2）描述某一物体运动状态的物理量在某一范围内作周期性变化，则这一系统的运动称为振动。,1-1 简谐振动,1.弹簧振子的动力学特征,弹簧物体系统 轻弹簧质量忽略不计 物体可看作质点,弹簧振子系统的动
3、力学方程,描述弹簧振子系统运动过程的微分方程,解微分方程：,得：,2. LC振荡回路的动力学特征,电容C 电感L 回路无电阻 无辐射等能量损失,描述LC回路极板电荷量变化过程的微分方程 ：,令,描述LC回路极板电荷量方程,3.简谐振动的运动方程,振幅 A 初相位 角频率,物体运动时，其位移总是时间的正弦或余弦函数。则物体作简谐振动,以下三种方法可以证明一个物体是否作简谐振动,4. 描述简谐振动的特征量,1).振幅 A,简谐振动物体离开 平衡位置的最大位 移的绝对值。,2).周期：振动物体完成一次全振动所需要的时间,3).频率 ：单位时间内振动的次数。,对弹簧振子：,4).角频率 ：,固有周期、
4、固有频率、固有角频率,对LC回路：,5).位相和初位相, 位相，决定谐振动物体的运动状态,注意：1）在同一周期内， 没有相同的值，物体没有相同 的运动状态,2）时间差为T的任意两点具有相同的运动状态,5.简谐振动中的速度与加速度,6.决定A、的因素,1）.决定的因素,对弹簧振子：,和振动方式无关，由系统的性质确定。,对LC回路：,2).决定A、的因素,对一定的振动系统， A、由初始条件确定,初始条件,A的确定,的确定,例：已知： 时， ，求,：已知： 时， ，求,7. 简谐振动的能量,以弹簧振子为例,谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep,某一时刻，谐振子速度为v，位移为x,谐振动的
5、动能和势能是时间的周期性函数,动能,势能,情况同动能。,机械能,简谐振动系统机械能守恒,例：某物体作谐振动，振动方程为 则该物体振动的振幅、圆频率、频率、周期、 初相以及初始时刻的速度、加速度、各是多少。,解：,8.简谐振动的旋转矢量表示法,8.简谐振动的复数表达式,欧拉公式：,简谐振动的相位：,简谐振动的振幅： A,复数表达式：,简谐振动是一种等幅振动，它是不计阻力作用的理想情况。实际上，振动系统总要受到各种阻力，系统在振动中要克服阻力做功并消耗自身能量。因此，如果没有能量补充，振动的振幅就要衰减。系统在回复力和阻力作用下发生的减幅振动称为阻尼振动。,1-2 阻尼振动,1. 弹簧振子的阻尼振
6、动,弹簧物体系统 轻弹簧质量忽略不计 物体可看作质点 水平面存在摩擦阻力,1. 弹簧振子阻尼振动,在物体振动速度不大时，它所受到的阻力大小通常与速率成正比。,弹簧振子系统的运动学方程,求解齐次线性微分方程：,其特征方程为：,特征根：,是对应无阻尼时系统振动的固有圆频率， 称为阻尼系数。,齐次方程的通解：,其“圆频率” 从 降到 ，其“周期”相应地拉长，因振幅不断减小，已经不是严格意义下的周期运动，所以“圆频率”、“周期”等词加上引号。,简谐振动位移与时间的关系,例题 单摆的摆长为1m，测得此摆在250s内幅角由6减小到5，求系统的阻尼因数 ，并分析空气阻力对周期的影响。,解 有空气阻力下单摆是
7、弱阻尼运动，其振幅为：,2. 电磁阻尼振动,描述LC回路极板电荷量方程,令,特征方程：,2）临界阻尼,逐渐逼近平衡位置，不可能越过平衡位置。,1）过阻尼,根本不发生振动。,3）欠阻尼,可激起振幅逐渐衰减的阻尼振动 电容器极板电荷的振动表达式：,3. 阻尼振动的能量损耗：,能量衰减的时间常数：,能量衰减 1/e所需的时间。,有摩擦阻力的弹簧振子品质因数,有回路电阻的LC振荡回路的品质因数,系统的“品质因数”Q值：,1-3 受迫振动,前面讨论的是给振动系统一个初始偏离或初始速度，总之，是供给它一定的初始能量，后来就不再管它，不再向它提供能量。如果没有损耗，振动系统保持着它的初始能量不变，即保持不变
8、的振幅，这是谐振动。 如果有损耗，振动系统不能保持它的初始能量，即振幅随时间而衰减，这是阻尼振动。谐振动和阻尼振动统称为自由振动。 但是，在不少振动系统的振动过程中，始终有外力作用，对它作功，同它交换能量。振动系统在连续的周期性外力作用下进行的振动叫受迫振动。,弹簧物体系统 轻弹簧质量忽略不计 物体可看作质点 水平面存在摩擦阻力 振子受周期性外力驱动,弹簧振子系统的运动学方程,令,“齐次解”,“特解”,运动方程的总解：,第一、二项为暂态项。过渡阶段，是阻尼振动，最终消失；第三项为稳定项。是指过渡阶段已结束，初始能量造成的振动已经消失，强迫力造成的另一振动，从零开始，逐渐增强，最后达到一定的稳定
9、振动状态。,共振,强迫力的圆频率 太高或太低，振幅 A 都比较小，运用求函数极值的方法，当 时，A 最大。这一频率称为位移共振频率。由于能量有损耗，共振频率与本征频率稍有差别。,电子技术中把外来作用称为“激励”，它所产生的效果叫“响应”。若外来信号的频率小于 或大于 ，这种弱信号所引起的振动将会被最强的信号掩盖，或者说“不允许通过”。反之，如果频率在 与 之间，那末就总能引起最强的振动，因此被认为是“允许通过”。由此产生了“通频带”的概念。与 对应的频率范围 叫做频带宽度，它通常用来标志系统的选择性好坏。频带越窄，选择性越强。,仓本昌弘模型 /Kuramoto model,Where thet
10、a is the phase of each oscillator, omega is the natural frequency of each oscillator, N is the number of oscillators and K is the coupling constant. For special Kuramoto model, there is a certain value of the coupling constant, Kc, above which synchronization can occur, and below which it cannot.,Al
11、l-to-all, weak coupling Nearly identical oscillators Interactions that depend sinusoidally on the phase difference between two oscillator,简谐振动合成的结论是讨论波的叠加的基础 也是讨论光的干涉和衍射时的依据。 一、方向相同，频率相同,简谐振动的合成,1-4 振动的合成与分解,设两振动互不影响，则由运动的合成可知，质点的合成运动仍在这一直线上，它离开平衡位置的位移为,现在利用旋转矢量法求出这个合成结果。,合振幅的大小不仅和两个分振动的振幅有关而且和它们的相位
12、差有关。 有关的这一项称为干涉项。,例题 有n个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相同，但初相位不同，并依次差一恒量。求合振动。 解 设这n个简谐振动式分别为,振幅矢量求和法： 将第一矢量a1沿x轴放置，并与a2 ， an等首尾依次相接，而相邻矢量间的夹角均为。 合振动也是角频率为的简谐振动，其振幅矢量等于各分振幅矢量的矢量和。,右图中作a1与a2 的垂直平分线相交于C点，它们的夹角为 则以a1 或a2 为底边以C为顶点的三角形的顶角也等于。,求合振动的振幅,求合振动的初相位,合振动式：,二、方向相同，频率不同,为了突出频率不同引起的效果，设 A1=A2=A，由旋转矢量图可知， A1、A2有
13、不同的角速度，两矢量间夹角将随时间变化，矢量合成的平行四边形也将不断地随时间变形， 所以A的大小和角速度都是随时间变化的，在 x 轴上的投影显然不是简谐振动。 A1、A2夹角 随时间而变。每当 或 的整数倍，合成振幅最大（ A1+A2 ），合成振动最强；每当 的奇数倍，合成振幅最小（| A1-A2|），合成振动最弱，这样，频率不同的两个谐振动的合成振动时强时弱，那末，这种强弱变化是否有节奏？,有这样一些时刻，其时 即 A1 和 A2 重叠，上式就是取A1 和 A2 重叠的时刻作为初始时刻，并把它们在这时刻同 x 轴夹角记作 ，在这时刻，合成振幅最大，为确定起见，设 ,于是A2将赶到A1前面去，
14、 A2领先的角度 越来越大，经过时间 A2领先半圈，这时，合成振幅最小，又经过 A2领先一圈，再次和A1重叠，这时，合成振幅最大。然后就重复以上过程。 振动强度有节奏地时强时弱，这种现象叫作拍（beat）一次强弱变化叫作一拍，每秒钟的拍数叫作拍频（合振幅变化的频率）。,即两个分振动频率之差。 一种实际意义的情形： 很接近，,每一拍的时间是,校正乐器，例如说校正钢琴，往往拿待校的钢琴同已校好的钢琴作比较，弹奏两架钢琴的同一个音键，细听有无拍的现象，如果听得出有拍的现象，说明尚未校准，必须再校，使得拍频越来越小直到拍完全消失为止，这一音键才算校准。 三、方向垂直，频率相同 当一个质点同时参与相互垂
15、直的两个简谐振动 时，一般说来合成振动十分复杂，且轨迹是不稳定的，但是当两分振动频率（或周期）成整数比时，其合振动才是稳定的。是有规则的李萨如图形。,现在考虑 。 物体同时参与互相垂直的 x 向和 y 向的两个同频率的谐振动,试求合成振动。 这里说的合成振动并不是指 x + y ，因为 x 和 y 是互相垂直的两方向上的偏离，它们是不能作代数相加的。事实上，物体既有 x 方向的偏离又有 y 方向的偏离，合成运动是在 xy 平面上进行的。说到合成振动，我们所关心的是 xy 平面上的轨迹，以及沿着轨迹怎样运动。,其实，上式可说是轨迹的参数方程式，消去参数 t 很容易得到轨迹方程： 这是一个椭圆方程。对于不同的相位差，可得不同形状、不同绕向的椭圆。不过，这里将采用另一方法即参考圆的方法来研究合成振动。适当地选定初始时刻可使上式里的 。选取 的情况为例，此时上式成为,如图，谐振动 x 可用参考圆 C1上的匀速运动描写，为了画面的清晰，参考圆的圆心没有放在坐标原点 O ，而是分别移到 y 轴上某个 O1点和 x 轴上的某个 O2点。,
