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1、北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共20小题，满分150分. 考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自已所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号和考生号填写清楚，将条形码粘贴在指定区域。2.第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动用先橡皮擦干净，再选涂其他答案标号。第卷用黑色墨水签字笔在答题卷上书写作答。在试题卷上作答，答案无效。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.考试结束，监考人员将试卷、答题卷
2、一并收回。 5.保持答题卷清洁，不要折叠、不要弄破。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若集合，则实数a 的值为A B 2 CD12.若双曲线 的焦距为 6 ，则该双曲线的离心率为A B C D 3已知，是虚数单位，若，则的值为AB 1 CD4.已知,若点是所在平面内一点,且,当变化时,的最大值等于()A.-2B.0C.2D.45.若数列满足,且,则 ( )A. B. C. D.6.某工厂利用随机数表对产生的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，599，600从中抽取60个样本，下图提供随机数表
3、的第4行到第6行；若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号是（ ）A522B324C535D5787.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的若这堆货物总价是万元，则的值为（ ）A10B9C8D78.已知函数是定义在上的偶函数，且满足，若函数有6个零点，则实数的取值范围是A.B.C.D.第卷2
4、、 填空题：本大题共6小题，每小题5分9.已知直线与平行，则，与之间的距离为10.已知函数是偶函数，则11.著名的“猜想”是对任何一个正整数进行规定的变换，最终都会变成 1. 右边的程序框图示意了猜想，则输出的n 为12.某校在科技文化艺术节上举行纸飞机大赛，五个团队获得了前五名发奖前，老师让他们各自选择两个团队，猜一猜其名次：团队说：第一，第二；团队说：第三，第四；团队说：第四，第五；团队说：第三，第五；团队说：第一，第四如果实际上每个名次都有人猜对，则获得第五名的是_团队13.已知平面内两个定点和点，是动点，且直线,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为.存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
5、存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.其中正确的命题是.（填出所有正确命题的序号）14.如图，在平面四边形中，若（），则的值为_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）已知的内角的对边分别为，满足（1）求角的值；（2）若，求的值16.（本小题满分13分）如图，已知正三棱柱，、分别为、的中点，点为线段上一点，（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值17（本小题满分13分）某工厂生产、两种零件，其质量测试按指标划分，指标大于或等于的为正品，小于的为次品现随机
6、抽取这两种零件各100个进行检测，检测结果统计如下：测试指标零件812403010零件91640287（1）试分别估计、两种零件为正品的概率；（2）生产1个零件，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个零件，若是正品则盈利60元，若是次品则亏损15元，在（1）的条件下：（i）设为生产1个零件和一个零件所得的总利润，求的分布列和数学期望；（ii）求生产5个零件所得利润不少于160元的概率18.（本小题满分13分）已知函数，（1）当，函数图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？（2）讨论函数的零点个数19.（本小题满分14分）如图，设椭圆C1：x2a2+y2b2=1（ab0），长
7、轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，且椭圆C1的离心率是32（1）求椭圆C1的标准方程；（2）过F作直线l交抛物线C2于A，B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C，求ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线l的方程20.（本小题满分14分） 对于给定的奇数，设是由个数组成的行列的数表，数表中第行，第列的数，记为的第行所有数之和，为的第列所有数之和，其中. 对于，若且同时成立，则称数对为数表的一个“好位置” (1)直接写出右面所给的数表的所有的“好位置”； (2)当时，若对任意的都有成立，求数表中的“好位置”个数的最小值； (3)求证：数表中的“好位置”个数的最小值为北
8、京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟考试理科数学试题参考答案及评分标准一选择题题号12345678答案ABCBDDAC二填空题9. 10. 11. 6 12. 13. 14.三解答题15（本小题满分13分）解：（1），由正弦定理得， .2分 化简得， .3分由余弦定理得，.5分又， .6分（2）由（）知， 又 ， .8分又， .9分 ， .10分 .11分 .13分 16. （本小题满分13分）（1）证明：连结交于于点，、为、的中点，面，面（2）矩形中，连结、，连结，面面，面，中，以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，平面的一个法向量，即，取，则，平面的一个法向量，的
9、余弦值为17（本小题满分13分）（1）指标大于或等于的为正品，且、两种零件为正品的频数分别为80和75，、两种零件为正品的概率估计值分别为，（2）（i）由题意知可能取值为，35，50，110，的分布列为3550110的数学期望为（ii）生产1个零件是正品的概率为，生产5个零件所产生的正品数服从二项分布，即，生产5个零件所得利润不少于160元，则其正品数大于或等于4件，生产5个零件所得利润不少于160元的概率为18. （本小题满分13分）（1），则函数在单调递减，上单调递增，上单调递减，存在切线斜率，使得，函数图象上是存在3条互相平行的切线（2），当，有；，在上单调递增；函数存在唯一一个零点在内
10、；当，有，；，在上单调递增；函数存在唯一一个零点在内；当，有，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，函数一个零点在区间内，一个零点在区间内，一个零点在内函数有三个不同零点综上所述：当函数一个零点；当函数三个零点19（本小题满分14分）解：（1）椭圆C1：x2a2+y2b2=1（ab0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，a=2，又椭圆C1的离心率是32c=3，b=1，椭圆C1的标准方程：x24+y2=1（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立y2=8xx=my+2得y2-8my-16=0y1+y2=8m，y1y2=-1
11、6，|AB|=1+m2(y1+y2)2-4y1y2=8（1+m2）过F且与直线l垂直的直线设为：y=-m（x-2）联立y=-m(x-2)x24+y2=1得（1+4m2）x2-16m2x+16m2-4=0，xC+2=16m21+4m2，xC=2(4m2-1)4m2+1|CF|=1+m2|xc-xF|=44m2+11+m2ABC面积s=12|AB|CF|=16(1+m2)4m2+11+m2令1+m2=t(t1)，则s=f（t）=16t34t2-3，f（t）=16(4t4-9t2)(4t2-3)2，令f（t）=0，则t2=94，即1+m2=94时，ABC面积最小即当m=52时，ABC面积的最小值为9
12、，此时直线l的方程为：x=52y+220. （本小题满分14分）解：（1）“好位置”有：（2）因为对于任意的，；所以当时，当时，；因此若为“好位置”，则必有，且，即设数表中共有个，其中有列中含的个数不少于，则有列中含的个数不多于，所以，因为为自然数，所以的最小值为因此该数表中值为，且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过所以，该数表好位置的个数不少于个 而下面的数表显然符合题意1110011100110101100110011此数表的“好位置”的个数恰好为综上所述，该数表的“好位置”的个数的最小值为（3） 当为“好位置”时，且时，则有，所以，注意到为奇数，所以有同理得到当为“好位置”，且时，则，则必有，注意到为奇数，所以有同理得到因为交换数表的各行，各列，不影响数表中“好位置”的个数，所以不妨设其中，则数表可以分成如下四个子表其中是行列，是行列，是行列，是行列设，中的个数分别为则，中的个数分别为则数表中好位置的个数为个而 ，所以 所以 而显然当取得最小值时，上式取得最小值，因为，所以当时，数表中至少含有个，而，所以至少为此时当时，数表中至少含有个而，所以至少为此时下面的数表满足条件，其“好位置”的个数为17
