《2013高一数学同步课时学案：第二章2.2.2《圆的一般方程》（北师大版必修2）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013高一数学同步课时学案：第二章2.2.2《圆的一般方程》（北师大版必修2）（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2圆的一般方程学习目标重点难点1.在掌握圆的标准方程的基础上，记住圆的一般方程的代数特征，会由圆的一般方程确定圆的圆心和半径掌握方程x2y2DxEyF0表示圆的条件2能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程能用待定系数法求圆的方程3培养探索发现及分析解决实际问题的能力.重点：圆的一般方程的代数特征一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数D，E，F.难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用疑点：对方程x2y2DxEyF0的讨论(什么时候可以表示圆).1圆的一般方程的定义当D2E24F0时，二元二次方程x2y2DxEyF0表示一个圆，这时这个方程叫作圆的一般方程2方程x2
2、y2DxEyF0表示的图形方程条件图形x2y2DxEyF0D2E24F0不表示任何图形D2E24F0表示点D2E24F0表示以为圆心，以为半径的圆预习交流1二元二次方程Ax2By2CxyDxEyF0表示圆的等价条件是什么？提示：预习交流2方程x2y22x2y20表示什么图形？提示：表示点(1，1)预习交流3圆的一般方程：x2y2DxEyF0具有什么特征？提示：x2项和y2项的系数相等，且不为零；是二元二次方程且没有xy这样的二次项；参数D，E，F满足D2E24F0.预习交流4方程x2y22axbyc0表示圆心为C(2,3)，半径为3的圆，则a，b，c的值依次为()A2,6,4 B2,6,4C2
3、，6,4 D2，6，4提示：B1二元二次方程同圆的关系下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径(1)x22y27x50；(2)x2xyy23x5y0；(3)x2y22x4y100；(4)2x22y210y0.思路分析：解答本题的关键是验证二元二次方程是否满足圆的一般式的特征解：(1)由于x2，y2的系数不相等，故不表示圆(2)由于该方程中含有xy这样的二次项，故不表示圆(3)方程x2y22x4y100可化为(x1)2(y2)250，显然不表示圆(4)方程2x22y210y0可化为x22，所以其可以表示以为圆心，以为半径的圆1判断方程x2y24mx2my20m200能否表示圆，若能表示圆，
4、求出圆心和半径解：方法一：由方程x2y24mx2my20m200，可知D4m，E2m，F20m20，D2E24F16m24m280m8020(m2)2，因此，当m2时，它表示一个点，当m2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，m)，半径为r|m2|.方法二：原方程可化为(x2m)2(ym)25(m2)2，因此，当m2时，它表示一个点，当m2时，表示圆的方程此时，圆的圆心为(2m，m)，半径为r|m2|.2若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径解：(1)根据题意知D2E24F(2m2)(2)24(m25m)0，即4m244m220m0，
5、解得m，故m的取值范围为.(2)将方程x2y22mx2ym25m0写成标准方程为(xm)2(y1)215m，故圆心坐标为(m,1)，半径r.解决这种类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即(1)x2与y2的系数是否相等， (2)是否含xy的项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，也可以通过配方化成“标准”形式后，观察是否表示圆2利用待定系数法求圆的一般方程已知一圆过P(4，2)，Q(1,3)两点，且在x轴上截得的线段长为4，求圆的方程思路分析：解答本题的关键是应用条件“在x轴上截得的线段长为4”，常见思路是设圆的方程的一般式x2y2DxEyF0，令y0利用|x1x
6、2|4及P，Q两点满足圆的方程求解参数D，E，F.解：设圆的方程为x2y2DxEyF0，将点P，Q的坐标分别代入得：令y0，由得x2DxF0，由已知|x1x2|4，其中x1，x2是方程的两根，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2D24F48，解，组成的方程组得D4，E2，F8.故所求圆的方程为x2y24x2y80.1建立适当的直角坐标系，求长为8，宽为6的长方形ABCD的外接圆P的方程解：以A为原点，以线段AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系设ABD的外接圆的一般方程为x2y2MxEyF0.将A(0,0)，B(8，0)，D(0,6)三点代入，得解得故所求圆的方程为x2y28x6y
7、0.2圆心在直线2xy70上的圆C与y轴交于A(0，4)，B(0，2)两点，求圆C的方程解：设圆C的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则圆心C在直线2xy70上，270，即D70.又A(0，4)，B(0，2)在圆上，由解得D4，E6，F8，圆的方程为x2y24x6y80.用待定系数法求圆的一般方程分三步：(1)设出一般方程；(2)根据题意，列出关于D，E，F的方程组；(3)解出D，E，F代入一般方程3求动点的轨迹方程(或轨迹)已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半(1)求动点M的轨迹方程；(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹思路分析：(1)已知动点M
8、到两定点的距离满足特定关系，求动点的轨迹方程，可以设出点M的坐标，然后根据条件列出方程，化简可得轨迹方程(2)N点随M点运动而运动，设出点N的坐标，将M点坐标用A，N两点坐标表示，再将M点坐标代入(1)中的轨迹方程，即得N的轨迹方程，从而得点N的轨迹解：(1)设动点M(x，y)为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合P.由两点距离公式，点M适合的条件可表示为，平方后再整理，得x2y216.可以验证，这就是动点M的轨迹方程(2)设动点N的坐标为(x，y)，M的坐标是(x1，y1)由于A(2,0)，且N为线段AM的中点，所以x，y，所以有x12x2，y12y，由(1)知，M是圆x2y216上的点，所
9、以点M坐标(x1，y1)满足：xy16，将代入整理，得(x1)2y24.所以N的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆1已知定点A(2,0)，圆x2y21上有一动点Q，若AQ的中点为P，求动点P的轨迹解：如图，设动点P的坐标为(x，y)，Q点的坐标为(x1，y1)，利用中点坐标公式有即因为xy1，所以(2x2)2(2y)21.所以动点P的轨迹方程为(x1)2y2.所以点P的轨迹为以(1,0)为圆心，以为半径的圆2等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边的一个端点是B(3，5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么解：设另一端点C的坐标为(x，y)依题意得|AC|AB|.由两点间距离公式，
10、得.整理得(x4)2(y2)210.这是以点A(4,2)为圆心，以为半径的圆，如图又因为点A，B，C为三角形的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，且点B，C不能重合当A，B，C共线时C为(5，1)，C的轨迹方程为(x4)2(y2)210除去(3,5)和(5，1)两点即点C的轨迹是以A(4,2)为圆心、为半径的圆，但除去(3,5)和(5，1)两点1.求与圆有关的轨迹问题常用的方法(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式；(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程；(3)相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另
11、一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程2轨迹与轨迹方程的异同. 求动点的轨迹与轨迹方程不是一回事，求动点的1(2011四川高考，文3)圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A(2,3) B(2,3)C(2，3) D(2，3)解析：将圆化为标准方程为(x2)2(y3)213，故其圆心坐标为(2，3)答案：D2圆x2y22x6y80的周长为()A.B2 CD4解析：方程化为(x1)2(y3)22，r，周长为2r.答案：C3如果方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)所表示的曲线关于yx对称，则必有()ADEBDFCEFDDEF解析：圆心为，要使所表示的曲线关于yx对称，需，DE.答案：A4如果方程x2y22xyk0是圆的方程，则实数k的取值范围是_解析：x2y22xyk0是圆的方程，(2)2124k0，解得k，实数k的取值范围是.答案：5ABC的三个顶点坐标分别为A(1,5)，B(2，2)，C(5，5)，求其外接圆的一般方程，并求圆心和半径解：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0.由题设得方程组解得D4，E2，F20.ABC的外接圆一般方程为x2y24x2y200.圆心坐标为(2,1)，半径r5.
