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1、1掌握正弦交流电的复数表示法。,2掌握用符号法解正弦交流电路的方法。,学习目标,一、复数的概念,1复数的引入,x21无解，因为任何一个实数的平方都不会是1。为了解决这类问题，人们引入虚数单位 j， j有以下性质：j21，即j 。,2.复数的一般形式和复平面,复数是由实数和虚数组成的数。复数的一般形式是：,Aa+jb,上式中的a称为复数A的实部，b称为复数 A的虚部，j称为虚数单位。,有向线段OA1的长度称为复数A的模，记为r；有向线段OA1与x轴正方向的夹角称为复数A的幅角，记为。 对于复数Aa+jb，显然它的模应为：,3复数的表示形式,（1）代数形式,Aa+jb,（2）三角形式,由复平面图可
2、得：,将上式代入复数的代数表达式，可得：,Ar（cos jsin ）,叫做复数的三角函数表达式，简称三角形式。它的两要素是模r和幅角。,（3）指数形式,若规定：cosjsin ej（欧拉公式）,则复数Ar（cos jsin）rej,Arej称为复数的指数形式。模r和幅角是复数指数形式的两个要素。,指数运算有以下性质：,ex1ex2ex1x2 ex1ex2ex1x2,例68 将下列复数的代数式化为指数形式。 A1 A3j A5 A2 j,解：A1，则模r1，幅角180，故Aej180,A3j ，则模r3，幅角 90 ，故A3ej90,A5 ，则模r5，幅角 0 故A5ej0,A2 j ，则模r2
3、，幅角 270=90故A2 e-j90,特别地，若有复数Arej，则：,j A（ ej90）（r ej）r ej（+90）,j A（ e-j90）（r ej）r ej（-90）,上式说明：复数乘以j，等于将此复数逆时针旋转90，即幅角增加90 ；复数乘以j，等于将此复数顺时针旋转90 ，即幅角减小90 。,Ar,为了在计算过程中书写方便，在电工技术中，有时也将一个复数形式写成极坐标形式：,（4）极坐标形式,在复数运算过程中，代数形式适合于复数的加减法运算；指数形式和极坐标形式则适合于复数的乘除法、乘方、开方运算。因此，上述四种形式之间的相互转化必须熟练掌握。,已知复数A8+6j，试将其转化为其
4、他3种表示形式，并在复平面上画出其图形。,例69,解：复数的模 复数的幅角,由此可写出其他3种形式： 1）三角函数式：A10（cos36. 9jsin36.9） 2）指数式：A10ej36.9 3）极坐标式：A10 该复数的相量图如左图所示。,4复数的运算法则,（1）加减运算,计算法则为：实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。,例如： （129j）（1119j）（812j） （12118）j（91912） 1516j,（2）乘除运算,复数的乘法或除法运算，通常用指数形式或极坐标形式进行。两复数相乘时，两模相乘，两幅角相加；两复数相除时，两模相除，两幅角相减。,（3）乘方运算,乘方运算时，将模进行
5、乘方，幅角乘以乘方数。,（4）共轭复数,实部相等（等值同号），虚部互为相反数（等值异号）的两个复数，称为共轭复数。即A1a+jb 与A2ajb为共轭复数。,用指数形式表示为：A1r ej，A2r e-j,例610 已知A13+4j，A286j。试求A1与A2的和、差、积、商。,解：求复数的和、差要用代数形式进行计算,A1A2（3+4j）（86j） （38）j（46） 1110j,A1A2（3+4j）（86j） （38）j（46） 52j,接下页,求复数的积、商要用指数形式进行计算。 先将A1、A2化成指数形式： A134j5ej53.1 A286j10ej36.9,故： A1 A2 5ej53
6、.110ej36.9 50 ej9050j,二、正弦量的复数表示,如果用复数的模r来表示交流电的有效值（最大值），用幅角表示初相位，那么一个正弦量也可以用一个相对应的复数来表示。 这种与正弦量相对应的复数通常称为相量，而相量在复平面上的几何表示称为相量图。 以复数运算为基础的分析计算正弦交流电路的方法，就称为符号法。,复阻抗是用符号法分析求解正弦交流电路的基础。根据前面所学习的知识可知，交流电路的欧姆定律可写成：,三、复阻抗,上式中的Z称为复数阻抗，简称复阻抗。,复阻抗在电路中起到阻碍电流通过和移相的作用，其单位为欧姆。,应注意的是：复阻抗虽然是个复数，但不是正弦量，所以在书写符号时，不能在字
7、母上打黑点。,不同性质正弦交流电路的复阻抗 ：,（1）对纯电阻电路，电阻的复阻抗为R。,（2）对纯电感电路， 。所以感抗的复阻抗为jXL或者jL。,（3）对纯电容电路， 。所以容抗的复阻抗表示为jXC或 。,对RLC串联电路，它的复阻抗等于复数形式的电阻、电感和电容的代数和。即 ZRj（XLXC）RjX,上式为复阻抗的代数形式。实部为电路的电阻部分；虚部为电路的电抗部分。复阻抗也可写成极坐标形式：,复阻抗的代数形式和极坐标形式之间的关系：,例611,如图所示电路，已知R4，XL9，XC12，XC210。试求复阻抗。,解：复阻抗可表示为： ZRjXLjXC1jXC2 49j2j10j 4 3j
8、5e-j36.8,例612 如图所示电路，已知R150，R210，XL30，XC50，试求该电路的复阻抗。,解：,四、用符号法解正弦交流电路,例613,图为一个RC串联电路，已知u6sin（t76. 8）V，R4，XC3。求i，并画出电流、电压的相量图。,解：由已知条件可得 因此 电流、电压相量图如上页图b、c所示。,例614 图示为RLC串联电路，已知电源电压u sin（t30）V，R9.92，XL20，XC21。求电路中电流的瞬时值i，并画出电流、电压的相量图。,解：,电流、电压相量图如上页图b所示。,课堂小结,1.一个复数通常有4种表示形式： （1）代数式：Aa+jb； （2）三角函数式：Ar（cosjsin ）； （3）指数式：Arej； （4）极坐标式：Ar 。 在复数运算过程中，代数形式适合于复数的加减法运算；指数形式和极坐标形式则适合于复数的乘除法、乘方、开方运算。,2.与正弦量相对应的复数通常称为相量，而相量在复平面上的几何表示称为相量图，以复数运算为基础的分析计算正弦交流电路的方法，就称为符号法。,3. 电阻的复阻抗为R；电感的复阻抗为jXL或者jL；电容的复阻抗为jXC或 。,
