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1、第4讲直线、平面垂直的判定与性质知 识 梳 理1直线与平面垂直(1)定义：若直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面垂直(2)判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面即：a，b，la，lb，abPl.(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行即：a，bab.2平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直即：a，a.(3)性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面即：，a，b，
2、aba.3直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角(2)线面角的范围：.辨 析 感 悟1对线面垂直的理解(1)直线a，b，c；若ab，bc，则ac.()(2)直线l与平面内无数条直线都垂直，则l.()(3)(2013浙江卷，4C)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，若mn，m，则n.()(4)(2013广东卷，8D)设l为直线，是两个不同的平面，若，l，则l.()2对面面垂直的理解(5)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()(6)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()感悟提升三个防范
3、一是注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交等，如(1)；二是注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”， 如(2)；三是注意对平面与平面垂直性质的理解，如(5)考点一直线与平面垂直的判定和性质【例1】 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.证明(1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)
4、由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)，知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PAAB.又ABAD且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.规律方法 证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对
5、的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.【训练1】(2013江西卷改编)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB2，AD，AA13，E为CD上一点，DE1，EC3.证明：BE平面BB1C1C.证明过B作CD的垂线交CD于F，则BFAD，EFABDE1，FC2.在RtBEF中，BE.在RtCFB中，BC.在BEC中，因为BE2BC29EC2，故BEBC.由BB1平面ABCD，得BEBB1，又BB1BCB，所以BE平面BB1C1C.考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】(2014深圳一模)如图，在三棱柱ABCA1B
6、1C1中，AA1平面ABC，ABBCAA1，且ACBC，点D是AB的中点证明：平面ABC1平面B1CD.证明ABCA1B1C1是棱柱，且ABBCAA1BB1，四边形BCC1B1是菱形，B1CBC1.由AA1平面ABC，AA1BB1，得BB1平面ABC.AB平面ABC，BB1AB，又ABBC，且ACBC，ABBC，而BB1BCB，BB1，BC平面BCC1B1，AB平面BCC1B1，而B1C平面BCC1B1，ABB1C，而ABBC1B，AB，BC1平面ABC1.B1C平面ABC1，而B1C平面B1CD，平面ABC1平面B1CD.规律方法 证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为
7、“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键【训练2】 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M是棱CC1的中点证明：平面ABM平面A1B1M.证明由长方体的性质可知A1B1平面BCC1B1，又BM平面BCC1B1，所以A1B1BM.又CC12，M为CC1的中点，所以C1MCM1.在RtB1C1M中，B1M，同理BM，又B1B2，所以B1M2BM2B1B2，从而BMB1M.又A1B1B1MB1，所以BM平面A1B1M，因为BM平面ABM，所以平面
8、ABM平面A1B1M.考点三平行、垂直关系的综合问题【例3】(2013山东卷)如图，在四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点(1)求证：CE平面PAD；(2)求证：平面EFG平面EMN.审题路线(1)取PA的中点H证明四边形DCEH是平行四边形CEDH根据线面平行的判定定理可证(2)证明ABEF证明ABFG证明AB平面EFG证明MN平面EFG得到结论证明(1)如图，取PA的中点H，连接EH，DH.因为E为PB的中点，所以EHAB，且EHAB.又ABCD，且CDAB，所以EH綉CD.所以四边形DCEH是平行四边形所
9、以CEDH.又DH平面PAD，CE平面PAD，所以CE平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又ABPA，且EF，PA共面，所以ABEF.同理可证ABFG.又EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG，因此AB平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MNDC.又ABDC，所以MNAB，因此MN平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.规律方法 线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材【训练3】(2013辽宁
10、卷)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点(1)求证：BC平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为AOC的重心，求证：QG平面PBC.证明(1)由AB是圆O的直径，得ACBC，由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC.又PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.(2)连接OG并延长交AC于M，连接QM，QO，由G为AOC的重心，得M为AC中点由Q为PA中点，得QMPC，又O为AB中点，得OMBC.因为QMMOM，QM平面QMO，MO平面QMO，BCPCC，BC平面PBC，PC平面PBC.所以平面QMO平面PBC.因为QG平面QMO，所以QG平面
11、PBC.1转化思想：垂直关系的转化2在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键创新突破6求解立体几何中的探索性问题【典例】(2012北京卷)如图1，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图2.(1)求证：DE平面A1CB；(2)求证：A1FBE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使
12、A1C平面DEQ？说明理由证明(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEBC.又因为DE平面A1CB，BC平面A1CB，所以DE平面A1CB.(2)由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD，又A1DDED，所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD，所以A1F平面BCDE.又BE平面BCDE所以A1FBE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC.又因为DEBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因为P是
13、等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP，又DEDPD，所以A1C平面DEP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.反思感悟(1)解决探索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在(2)在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误【自主体验】(2014韶关模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，ADC90，CDAB，ADCDAB2，点E为AC中点，将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图2.(1)求证：DABC；(2)在CD上找一点F，使AD平面EFB.(1)证明在图1中，可得ACBC2，从而AC2BC2AB2，ACBC，平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，BC平面ABC，BC平面ADC，又AD平面ADC，BCDA.(2)解取CD的中点F，连接EF，BF，在ACD中，E，F分别为AC，DC的中点，EF为ACD的中位线，ADEF，又EF平面EFB，AD平面EFB，AD平
