《2013江苏高考数学：考点9-圆锥曲线-典型易错题会诊-命题角度-对抛物线相关知识的考查复习资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013江苏高考数学：考点9-圆锥曲线-典型易错题会诊-命题角度-对抛物线相关知识的考查复习资料（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、命题角度3对抛物线相关知识的考查。1(典型例题)过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 ( ) A.有且仅只有一条 B有且仅有两条 C.有无穷多条 D不存在 考场错解 D 由题意得|AB|=5 p=4，通径长为 24=8 54，则这样的直线有且仅有两条，解法二：用待定系数法设直线方程为y=k(x-1)采用设而不求的方法求出k有两个值，即直线有且仅有两条 2(典型例题1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线 (1)当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论； ()当直线
2、l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围 考场错解 ()，设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y=2x+b，过点A、B的直线方程可写为y=与y=2x2联立得2x2+x-m=0得x1+ x2=-；设AB的中点N的坐标为(x0，y0)则x0=(x1+x2)=-,y0=-x0+m=+m由Nl,得+m=-+b，于是b=即得l在y轴上截距的取值范围为. 专家把脉 没有借助“0”来求出m，无法进一步求出b的范围，只好胡乱地把m当作大于或等于0 对症下药 (1)Fl|FA|=|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等 抛物线的准线是x轴的平行线，y10，y20，依题意 y1、y2不同时为0， 上述条
3、件等价于yl=y2x12=x22 (x1+x2)(x1-x2)=0；x1x2，上述条件等价于 x1+x2=0 即当且仅当x1+x2=0时，l经过抛物线的焦点F。 ()设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为y=2x+b过点A、B的直线方程可写为y=-x+m，所以x1、x2满足方程2x2+x-m=0，得x1+x2=-； A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式+8m0，即m 设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，则 x0=(x1+x2)=-，y0=-x0+m=+m 由Nl，得+m=-+b，于是b=+m 即得l在y轴上截距的取值范围为(，+)3(典型例题)如图，过抛物线y2=2px(p0
4、)上一定点p(x0，y0)(y00)，作两条直线分别交抛物线于A (x1，y1)，B(x2，y2) (1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离； ()当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数 考场错解 (1)当y=时，x=又抛物线的准线方程为x=-P，由抛物线定义得，所求距离为()设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB由y21=2px1,y20=2px0相减得(yl-y0)(y1+y0)=2P(x1-x0) 故kPA= (x1x0)同理可得kpB=(x2x0)由kPA=-kPB得y0=-2 (yl+y2)故设直线AB的斜率为kAB。由y22=2
5、px2,y21=2px1 相减得 (y2-y1)(y2+y1)= 2P(x2-x1)故kAB=将y1+y2=-y0(y00)代入得kAB=-故kAB是非零常数 专家把脉 没有掌握抛物线的准线方程，计算不够准确 对症下药 (1)当y=时，x=，又抛物线y2= 2px的准线方程为x=，由抛物线定义得，所求距离为-(-)=()设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB由y12=2px1，y20=2px0相减得(y1-y0)(yl+y0)=2P(x1-x0)，故kPA=(x1x0)同理可得kPB=(x2x0)由PA、PB倾斜角互补知kPA=-kPB，即=-，所以yl+y2=-2y0，故=-2.
6、设直线AB的斜率为kAB由y22=2px2，y21=2pxl相减得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1)，所以将yl+y2=-2y0(y00)代入得所以kAB是非零常数 4(典型例题)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AOBO(如图所示) (1)求AOB的重心C(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程； ()AOB的面积是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由OAOB考场错解（）设AOB的重心为G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则OA x1x2+yly2=0(2)又点A、B在抛物线上，有y1=x12，y2=x22代入
7、(2)化简得xlx2=0或-1y=（x1+x2）2-2x1x2=3x2+或3x2，故重心为G的轨迹方程为y=3x2或y=3x2+.专家把脉没有考虑到x1x2=0时，AOB不存在对症下药 （）设AOB的重心为G(x,y)A(x1,y1)B(x2,y2)则又点A、B在抛物线上，有y1=x12，y2=x22代入(2)化简得xlx2=-1y=（x1+x2）2-2x1x2=3x2+所以重心为G的轨迹方程为y=3x2+ ()SAOB=由(1)得SAOB=当且仅当x16=x26即x1=-x2=-1时，等号成立。所以AOB的面积存在最小值，最小值为1。专家会诊1. 用待定系数法求抛物线标准方程，注意分类讨论思
8、想。2. 凡涉及抛物线的弦长，弦的中点，弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。考场思维调练1 已知抛物线y2=4x的准线与x轴交于M点，过M作直线与抛物线交于A、B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于D(x0，0) (1)求x0的取值范围答案：由题意易得M（-1，0）设过点M的直线方程为y=k(x+1)(k0)代入y2=4x得k2x2+(2k2-4)x+k2=0 (1)再设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点坐标为那么线段AB的垂直平分线方程为又方程（1）中=（2k2-4）2-
9、4k40，0k21，(2)ABD能否是正三角形?若能求出x0的值，若不能，说明理由 答案：若ABD是正三角形，则有点D到AB的距离等于AB|2=(1+k2)(x1-x2)2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=点以AB的距离d=据d24k4+k2-3=0,(k2+1)(4k2-3)=0,k2=,满足0k20) (2)若直线l的斜率k2，且点M到直线3x+4y+m=0的距离为，试确定m的取值范围答案：01-3-m01-3-m或01-3-mm-2 或m-4m0)得8x-2y2=0即y2=4x(x0)故点P的轨迹是（0，0）为顶点，以（2，0）为焦距的抛物线.(除去原点) (2)若动直线l经过点D(4，0)，交曲线C与A、B两点，求是否存在垂直于x轴直线l被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在，求出l的方程，若不存在，请说明理由答案：设AD中点为H，垂直于x轴的直线l的方程为x=a.以AD为直径的圆交l于E、F两点。EF的中点为G因为|EH|=|AD|（其中（x1,y1）为坐标），|HG|=所以|EG|2=|EH|2=（x1-4）2+yx2-(x1-2a)2+4=(x1-4)2+4x1-(x1-2a)2+8(x1-2a)+16=4ax1-12x1-4a2+16a=（a+3）x1-a2+4a所以当a=3时，以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值，l的方程x=3.
