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1、专题五立体几何第一讲空间几何体1棱柱、棱锥(1)棱柱的性质侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形(2)正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形2三视图(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几
2、何体画出的轮廓线画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高；(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样3几何体的切接问题(1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长(2)柱、锥的内切球找准切点位置，化归为平面几何问题4柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆)(1)表面积公式圆柱的表面积S2r(rl)；圆锥的表面积Sr(rl)；圆台的表面积S(r2r2rlrl)；球的表面积S4R2.(2)体积公式柱体的体积VSh；锥体的体积VSh；台体的体积V(SS)h；
3、球的体积VR3.1(2013广东)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是()A4B.C.D6答案B解析由三视图知四棱台的直观图为由棱台的体积公式得：V(2211)2.2(2013四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()答案D解析由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.3(2013江西)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么mn()A8B9C10D11答案A解析取CD的中点H，连接EH，HF.在四面体CDEF中，CDEH，CDFH，所以CD平面EFH，所以AB平面
4、EFH，所以正方体的左、右两个侧面与EF平行，其余4个平面与EF相交，即n4.又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m4，所以mn448.4(2013新课全国)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为()答案A解析根据已知条件作出图形：四面体C1A1DB，标出各个点的坐标如图(1)所示，可以看出正视图为正方形，如图(2)所示故选A.5(2013福建)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果
5、该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_答案12解析由三视图知，该几何体为正方体和球组成的组合体，正方体的对角线为球的直径所以2R2，即R，球的表面积为S4R212.题型一空间几何体的三视图例1(1)(2012广东)某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A12B45C57D81(2)(2012陕西)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为()审题破题根据三视图先确定原几何体的直观图和形状，然后再解题答案(1)C(2)B解析(1)由三视图知该几何体是由圆柱、圆锥两几何体组合而成，直观图如图
6、所示圆锥的底面半径为3，高为4，圆柱的底面半径为3，高为5，VV圆锥V圆柱Sh1Sh232432557.(2)还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线反思归纳将三视图还原成直观图是解答该类问题的关键，其解题技巧是对常见简单几何体及其组合体的三视图，特别是正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等几何体的三视图分别是什么图形，数量关系有什么特点等都应该熟练掌握，会画出其直观图，然后由三视图验证变式训练1若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是_cm3.答案18解析由几何体的三视图可知，该几何体由两个直四棱柱
7、构成，其直观图如图所示上底面直四棱柱的长是3cm，宽是3cm，高是1cm，故其体积为9cm3，下底面直四棱柱的高是3cm，长是1cm，宽是3cm，其体积为9cm3.故该几何体的体积为V18cm3.题型二空间几何体的表面积和体积例2如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1B1EDF的体积审题破题本题可从两个思路解题：思路一：先求出四棱锥C1B1EDF的高及其底面积，再利用棱锥的体积公式求出其体积；思路二：先将四棱锥C1B1EDF化为两个三棱锥B1C1EF与DC1EF，再求四棱锥C1B1EDF的体积解方法一连接A1C1，B1D1交于点
8、O1，连接B1D，过O1作O1HB1D于H.EFA1C1，EF平面B1EDF且A1C1平面B1EDF，A1C1平面B1EDF.C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离平面B1D1D平面B1EDF，O1H平面B1EDF，即O1H为棱锥的高B1O1HB1DD1，O1Ha.VC1B1EDFS四边形B1EDFO1HEFB1DO1Haaaa3.方法二连接EF，B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1h2B1D1a.由题意得，VC1B1EDFVB1C1EFVDC1EFSC1EF(h1h2)a3.反思归纳(1)求规则几何体的体积，关键是确定底面和高，
9、要注意多角度、多方位地观察，选择恰当的底面和高，使计算简便(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为几个规则几何体，再进一步求解变式训练2(1)(2013湖南)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于()A1B.C.D.答案C解析由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为，面积范围应为1，不可能等于.(2)(2012江苏)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3cm，AA12cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为_cm3.答案6解析关键是求出四棱锥ABB1D1
10、D的高连接AC交BD于O，在长方体中，ABAD3，BD3且ACBD.又BB1底面ABCD，BB1AC.又DBBB1B，AC平面BB1D1D，AO为四棱锥ABB1D1D的高且AOBD.S矩形BB1D1DBDBB1326，VABB1D1DS矩形BB1D1DAO66(cm3)题型三多面体与球的有关问题例3(1)已知球的直径SC4，A，B是该球球面上的两点，AB，ASCBSC30，则棱锥SABC的体积为()A3B2C.D1(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()Aa2B.a2C.a2D5a2审题破题(1)SC是直径，是本题突破点，由此可得SAC，SBC
11、为直角(2)确定球的位置，寻找图中的直角三角形，通过直角三角形求球的直径答案(1)C(2)B解析(1)如图，过A作AD垂直SC于D，连接BD.由于SC是球的直径，所以SACSBC90，又ASCBSC30，又SC为公共边，所以SACSBC.由于ADSC，所以BDSC.由此得SC平面ABD.所以VSABCVSABDVCABDSABDSC.由于在RtSAC中，ASC30，SC4，所以AC2，SA2，由于AD.同理在RtBSC中也有BD.又AB，所以ABD为正三角形，所以VSABCSABDSC()2sin604，所以选C.(2)由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，设O、O
12、1分别为下、上底面中心，且球心O2为O1O的中点，又ADa，AOa，OO2，设球的半径为R，则R2AOa2a2a2.S球4R24a2a2.反思归纳(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系(2)若球面上四点P、A、B、C构成的线段PA、PB、PC两两垂直，且PAa，PBb，PCc，则4R2a2b2c2，把有关元素“补形”成为一个球内接长方体(或其他图形)，从而显示出球的数量特征，这种方法是一种常用的好方法变式训练3(1)(2012课标全国)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，AB
13、C是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为()A.B.C.D.答案A解析由于三棱锥SABC与三棱锥OABC底面都是ABC，O是SC的中点，因此三棱锥SABC的高是三棱锥OABC高的2倍，所以三棱锥SABC的体积也是三棱锥OABC体积的2倍在三棱锥OABC中，其棱长都是1，如图所示，SABCAB2，高OD，VSABC2VOABC2.(2)两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和球O2的表面积之和的最小值为()A(63)B(84)C(63)D(84)答案A解析设球O1，O2的半径分别为r1，r2，由题意知O1AO1O2O2C1，而O1Ar1，O1O2r1r2，O2C1r2，r1r1r2r2.r1r2，从而S1S24r4r4(rr)4(63).典例(14分)如图所示，在三棱锥PABC中，PAB是等边三角形，PACPBC90.(1)证明：ABPC；(2)若PC4，且平面PAC平面PBC，求三棱锥PABC的体积规范解答 (1)证明由PAPB，PACPBC90，且PC为PAC与PBC的公共边，则PACPBC，因此ACBC，取AB中点D，连接PD，CD，则PDAB，CDAB，因此AB平面PDC，又PC平面PDC，所以ABPC.7分
