《2014届高考理科数学一轮复习考向分析教材回扣训练：2.12《导数的应用》1（新人教a版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014届高考理科数学一轮复习考向分析教材回扣训练：2.12《导数的应用》1（新人教a版）（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).利用导数研究函数的单调区间、极值或最值，其考查题型有：(1)利用导数求单调区间，如2012年北京T18等(2)利用单调性求参数范围，如2011年江苏T19等，(3)利用导数求函数的极值，或最值，如2012年陕西T7，安徽T19等(4)已知函数的极值或最值求参数，如2012年江苏T18等.归纳知识整合1函数的单调性与导数探究1.若函数f(x)在
2、(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0吗？f(x)0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f(x)0，f(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件2函数的极值与导数(1)函数的极小值：若函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，且f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值(2)函数的极大值：若函数yf(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，且f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f
3、(x)0，则b点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值探究2.导数值为0的点一定是函数的极值点吗？“导数为0”是函数在该点取得极值的什么条件？提示：不一定可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点；如函数f(x)x3，在x0处，有f(0)0，但x0不是函数f(x)x3的极值点；其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件3函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件：一般地，如果在区间a，b上，函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤为求函数yf(x)在(a，b)内
4、的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值探究3.函数的极值和函数的最值有什么联系和区别？提示：极值是局部概念，指某一点附近函数值的比较，因此，函数在极大(小)值，可以比极小(大)值小(大)；最值是整体概念，最大、最小值是指闭区间a，b上所有函数值的比较因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值自测牛刀小试1(教材习题改编)函数f(x)exx的单调递增区间是()A(，1B1，)C
5、(，0 D(0，)解析：选Df(x)exx，f(x)ex1，由f(x)0，得ex10，即x0.2(教材习题改编)函数f(x)x34x4有()A极大值，极小值B极大值，极小值C极大值，极小值D极大值，极小值解析：选Df(x)x34x4，f(x)x24，令f(x)0，则x2.当x(，2)时，f(x)0；当x(2,2)时，f(x)0.f(x)极大值f(2)，f(x)极小值f(2).3已知函数f(x)的导函数f(x)ax2bxc的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()解析：选D当x0时，由导函数f(x)ax2bxc0时，由导函数f(x)ax2bxc的图象可知，导数在区间(0，x1)内的值是大于0的，
6、则在此区间内函数f(x)单调递增4(教材习题改编)函数f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是_解析：由题意，得f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或x2(舍去)由于f(1)2，f(1)0，f(0)2，故f(x)在1,1上的最大值为2.答案：25若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调增函数，则m的取值范围是_解析：f(x)x3x2mx1，f(x)3x22xm.又f(x)在R上是单调函数，412 m0，即m答案：运用导数解决函数的单调性问题例1(2013郑州模拟)已知函数f(x)axxln x，且图象在点处的切线斜率为1(e为自然对数的底数)(1)求实数a的值；(2)设g(x)，求g(
7、x)的单调区间；(3)当mn1(m，nZ)时，证明： .自主解答(1)f(x)axxln x，f(x)a1ln x，依题意fa1，所以a1.(2)因为g(x)，所以g(x).设(x)x1ln x，则(x)1.当x1时，(x)10，(x)是增函数，对x1，(x)(1)0，即当x1时，g(x)0，故g(x)在(1，)上为增函数；当0x1时，(x)1(1)0，即当0x0，故g(x)在(0,1)上为增函数所以g(x)的单调递增区间为(0,1)，(1，)(3)要证 ，即证ln nln m，即ln mln n，.(*)因为mn1，由(2)知，g(m)g(n)，故(*)式成立，所以 .1导数法求函数单调区间
8、的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)0时为增函数；f(x)0)当f(x)0，x(0,1)时，函数f(x)3x2x2ln x单调递增当f(x)0，x(1，)时，函数f(x)3x2x2ln x单调递减故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)(2)f(x)4x，若函数f(x)在区间1,2上为单调函数，即在1,2上，f(x)4x0或f(x)4x0，即4x0或4x0在1,2上恒成立即4x或4x.令h(x)4x，因为函数h(x)在1,2上单调递增，所以h(2)或h(1)，即或3，解得a0或00)，
9、f(x).令f(x)0，解得x11，x2(因x2不在定义域内，舍去)当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数故f(x)在x1处取得极小值f(1)3.求可导函数f(x)的极值的步骤(1)求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)检验f(x)在方程f(x)0的根的附近两侧的符号：具体如下表：xxx0f(x)f(x)0f(x)0f(x)0f(x)增极大值f(x0)减xxx0f(x)f(x)0f(x)减极小值f(x0)增2已知函数f(x)ekx(k0)(1)求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数k，使得函数f(x)的极大值等于3e2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理
10、由解：(1)f(x)的定义域为R.f(x)kekxekx(2x1)ekxkx2(2k)x2，即f(x)ekx(kx2)(x1)(k0)令f(x)0，解得x1或x.当k2时，f(x)2e2x(x1)20，故f(x)的单调递增区间是(，)当2k0时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)的单调递增区间是和(1，)，单调递减区间是.当k2时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下：x(，1)1f(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)的单调递增区间是(，1)和，单调递减区间是.(2)当k1时，f(x)的极大值等于3e2.理由如下：当k2时，f(x)无极大值当2k0时，f(x)的极大值为fe2，令e23e2，即3，解得k1或k(舍去)当k2时，f(x)的极大值为f(1).因为eke2,0，所以e2.因为e23e2，所以f(x)的极大值不可能等于3e2.综上所述，当k1时，f(x)的极大值等于3e2.利用导数解决函数的最值问题例3已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值自主解答
