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1、第四讲函数与方程、函数的应用1二次函数(1)求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间，定区间动轴”的问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴(2)注意三个“二次”的相互转化解题(3)二次方程实根分布问题，抓住四点：“开口方向、判别式、对称轴位置、区间端点函数值正负”2函数与方程(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数f(x)的零点(2)零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a
2、，b)使得f(c)0.注意以下两点：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点3函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答1(2012全国)已知xln，ylog52，ze，则()AxyzBzxyCzyxDyzlne，x1.ylog52log5，0y，z1.综上可得，yzx.2(2013重庆
3、)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内答案A解析由于ab0，f(b)(bc)(ba)0.因此有f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.3(2011北京)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(A，c为常数)已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的
4、值分别是()A75,25B75,16C60,25D60,16答案D解析由函数解析式可以看出，组装第A件产品所需时间为15，故组装第4件产品所需时间为30，解得c60，将c60代入15，得A16.4(2013天津)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1B2C3D4答案B解析当0x1时，f(x)2xlog0.5x12xlog2x1，令f(x)0得log2xx，由ylog2x，yx的图象知在(1，)上有一个交点，即f(x)在(1，)上有一个零点，故选B.5(2013辽宁)已知函数f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28.设H1(x)maxf(x)，g(x)，H2
5、(x)minf(x)，g(x)(maxp，q表示p，q中的较大值，minp，q表示p，q中的较小值)记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则AB()A16B16Ca22a16Da22a16答案B解析f(x)x(a2)244a，g(x)x(a2)2124a，在同一坐标系内作f(x)与g(x)的图象(如图)依题意知，函数H1(x)的图象(实线部分)，函数H2(x)的图象(虚线部分)H1(x)的最小值Af(a2)44a，H2(x)的最大值Bg(a2)124a，因此AB(44a)(124a)16.题型一函数零点问题例1设函数f(x)xlnx (x0)，则yf(x)()A在区间，(1，e)内
6、均有零点B在区间，(1，e)内均无零点C在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点审题破题可以通过计算f，f(1)，f(e)判断，也可利用函数图象答案D解析方法一因为fln10，f(1)ln10，f(e)lne10，f(1)f(e)0，所以函数f(x)2xx32在(0,1)上递增，且f(0)10210，所以有1个零点(2)在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A(，0) B(0，)C(，) D(，)答案C解析因为f(x)ex40，f0，f(0)0，f0，f0，由零点存在性定理知f(x)在上存在一零点故选C.题型二函数与方程的综合应用例
7、2已知函数f(x)x22exm1，g(x)x (x0)(1)若g(x)m有实根，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根审题破题(1)g(x)m有实根，可以分离参数转化为求函数最值(2)利用图象，探究可能的不等关系，从而构造关于m的不等式求解解(1)g(x)x22e，等号成立的条件是xe.故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，则g(x)m就有实根故m2e，)(2)若g(x)f(x)0有两个相异的实根，即g(x)f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)x (x0)的大致图象f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其对称轴为x
8、e，开口向下，最大值为m1e2.故当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根m的取值范围是(e22e1，)反思归纳解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解变式训练2已知函数f(x)2ax22x3.如果函数yf(x)在区间1,1上有零点，则实数a的取值范围为_答案解析若a0，则f(x)2x3，f(x)0x1,1，不合题意，故a0.下面就a0分两种情况讨论：(1)当f(1)f(1)0时，f(x)在1,1上至少有一个零点，即(2a5)(2a1)0，解得a.(2)当f(
9、1)f(1)0时，f(x)在1,1上有零点的条件是解得a.综上，实数a的取值范围为.题型三函数模型及其应用例3为方便游客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)(1)求函数yf(x)的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多
10、？审题破题f(x)为分段函数，要分x6和x6两种情况分别寻求函数关系，x应为整数解(1)当x6时，y50x115.令50x1150，解得x2.3.xN*，x3，3x6，xN*.当x6时，y503(x6)x115，令503(x6)x1150,3x268x1150.上述不等式的整数解为2x20(xN*)6x20(xN*)故y定义域为x|3x20，xN*(2)对于y50x115(3x6，xN*)，显然当x6时，ymax185(元)，对于y3x268x11532(6185，当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多反思归纳解应用题首先要正确理解题意，将实际问题化为数学问题，再利用数学知识
11、如函数、导数、不等式解决数学问题，最后回归到实际问题的解决上变式训练3里氏震级M的计算公式为：MlgAlgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的_倍答案610000解析由MlgAlgA0知，Mlg1000lg0.0013(3)6，此次地震的震级为6级设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2，则lglgA1lgA2(lgA1lgA0)(lgA2lgA0)954.10410000，9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍典例(14分)省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)2a，x0,24，其中a是与气象有关的参数，且a，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a)(1)令t，x0,24，求t的取值范围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？规范解答解(1)当x0时，t0；1分当0x24时，x2(当x1时取等号)，t，即t的取值范围是.5分(2)当a时，记g(t)|ta|2a，则g(t)8分g(t)在0，a上单调
