《2014届高考数学一轮复习真题体验系列训练：专题十五《直线、圆及其交汇问题》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014届高考数学一轮复习真题体验系列训练：专题十五《直线、圆及其交汇问题》（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题十五 直线、圆及其交汇问题1设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案： A由a1可得l1l2，反之由l1l2可得a1或a2，故选A.2已知圆C：x2y24x0，l是过点P(3,0)的直线，则()Al与C相交Bl与C相切Cl与C相离D以上三个选项均有可能答案：A把点(3,0)代入圆的方程的左侧得3204330，故点(3,0)在圆的内部，所以过点(3,0)的直线l与圆C相交，选A.3对任意的实数k，直线ykx1与圆x2y22的位置关系一定是()A相离B相切C相交但直线不过圆心D相
2、交且直线过圆心答案：C易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)，故选C.4过点(1，2)的直线l被圆x2y22x2y10截得的弦长为，则直线l的斜率为_解析由题意知直线要与圆相交，必存在斜率，设为k，则直线方程为y2k(x1)，又圆的方程可化为(x1)2(y1)21，圆心为(1,1)，半径为1，圆心到直线的距离d，解得k1或.答案1或本问题是整个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是一个选择或填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合，
3、试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行高考对解析几何的考查，主要考查直线和圆的方程以及直线与圆的位置关系的有关问题运算能力与平面几何知识的灵活运用有可能成为制约考生解题的一个重要因素，因此在复习的过程中，要注意加强圆的几何性质的复习，注意向量方法在解析几何中的应用，注意强化运算能力的训练，努力提高灵活解题的能力必备知识两直线平行、垂直的判定(1)l1：yk1xb1，l2：yk2xb2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l1l2k1k2，l1l2k1k21.若两直线的斜率都不存在，并且两直线不重合，则两直线平行；若两直线中一条直线的斜率为0，另一条直线斜率不存在，则两直线
4、垂直(2)l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则有l1l2A1B2A2B10，且B1C2B2C10，l1l2A1A2B1B20.圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圆心为(a，b)，半径为r.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)，圆心为，半径为r；二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是必备方法1由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况2处理有关圆的问题，要特别注意圆心、
5、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化3直线与圆中常见的最值问题(1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值(2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值(3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值(4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题(5)两圆相离，两圆上点的距离的最值4两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程对于圆的方程，高考要求能根据所给的条件选取恰当的方程形式利用待定系数法求出圆的方程，并结合圆的几何性质解决与圆相关的问题该部分在高考中常以填空
6、、选择的形式直接考查，或是在解答题中综合轨迹问题进行考查【例1】已知圆C与圆x2y22x0相外切，并且与直线xy0相切于点Q(3，)，求圆C的方程审题视点 听课记录审题视点先确定采用标准方程还是一般方程，然后求出相应的参数，即采用待定系数法解设圆C的圆心为(a，b)，则解得或所以r2或r6.所以圆C的方程为(x4)2y24或x2(y4)236.求圆的方程一般有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数【突破训练1】已知圆过点A(1,2)，B(3,4)，且在x轴上截得的弦长为6，求
7、圆的方程解法一设圆的方程为x2y2DxEyF0.令y0，得x2DxF0.设弦的两端点的横坐标分别为x1、x2.因圆在x轴上截得的弦长为6，所以|x1x2|6，即D24F36，又圆过点A(1,2)，B(3,4)，所以D2EF50，3D4EF250，由解得或故所求圆的方程为x2y212x22y270或x2y28x2y70.法二设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，由已知得解得或故所求圆的方程为(x6)2(y11)2130，或(x4)2(y1)210.直线与圆的位置关系是高考考查的热点，主要考查直线与圆的相交、相切、相离的判定与应用，以及弦长、面积的求法等，并常与圆的几何性质交汇，要求学生有较强
8、的运算求解能力【例2】如图所示，已知以点A(1,2)为圆心的圆与直线l1：x2y70相切过点B(2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程；(2)当|MN|2时，求直线l的方程；(3)BB是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由审题视点 听课记录审题视点第(1)问由圆A与直线l1相切易求出圆的半径，进而求出圆A的方程；第(2)问注意直线l的斜率不存在时也符合题意，以防漏解，另外应注意用好几何法，以减小计算量；第(3)问分两种情况分别计算平面向量的数量积为定值后方可下结论解(1)设圆A的半径为R，圆A与直线l1：x2y70相切
9、，R2.圆A的方程为(x1)2(y2)220.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x2)，即kxy2k0.连接AQ，则AQMN.|MN|2，|AQ|1，由|AQ|1，得k.直线l的方程为3x4y60，所求直线l的方程为：x2或3x4y60.(3)AQBP，AB0，BB(BA)BBBABBB.当直线l与x轴垂直时，得P，则B，又B(1,2)BBBB5.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x2)由解得P.B.BBBB5，综上所述， BB是定值，且BB5.(1)直线和圆的位置关系常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d及半弦长构
10、成直角三角形关系来处理(2)要注意分类讨论，即对直线l分为斜率存在和斜率不存在两种情况分别研究，以防漏解或推理不严谨【突破训练2】在平面直角坐标系xOy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线xya0交于A，B两点，且OAOB，求a的值解(1)曲线yx26x1与坐标轴的交点为(0,1)，(32，0)故可设圆的圆心坐标为(3，t)，则有32(t1)22t2.解得t1，则圆的半径为3.所以圆的方程为(x3)2(y1)29.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组消去y得到方程2x2(2a8)xa22a10，由已知可得判别式5616a4a
11、20，由韦达定理可得x1x24a，x1x2，由OAOB可得x1x2y1y20.又y1x1a，y2x2a.所以2x1x2a(x1x2)a20.由可得a1，满足0，故a1.常以直线、圆、圆锥曲线为载体结合平面向量来命题，考查解决解析几何问题的基本方法与技能，正成为高考命题新的生长点【例3】已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点K(1,0)的直线l与C相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D.(1)证明：点F在直线BD上；(2)设FF，求BDK的内切圆M的方程审题视点 听课记录审题视点 (1)设出A、B、D的坐标及l的方程，进而表示出直线BD的方程再验证；(2)由可求直线l，BD的方程，再由A、D
12、关于x轴对称可设圆心M(t,0)，则M到直线l，BD的距离相等解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，y1)，l的方程为xmy1(m0)(1)证明：将xmy1代入y24x并整理得y24my40，从而y1y24m，y1y24.直线BD的方程为yy2(xx2)，即yy2.令y0，得x1.所以点F(1,0)在直线BD上(2)由(1)知，x1x2(my11)(my21)4m22，x1x2(my11)(my21)1.因为F(x11，y1)，F(x21，y2)，FF(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1484m2，故84m2，解得m.所以l的方程为3x4y30,3x4y30.又由知y
13、2y1，故直线BD的斜率，因而直线BD的方程为3xy30,3xy30.因为KF为BKD的平分线，故可设圆心M(t,0)(1t1)，M(t,0)到l及BD的距离分别为，.由得t或t9(舍去)，故圆M的半径r.所以圆M的方程为2y2.对直线与圆的综合性问题，要认真审题，学会将问题拆分成基本问题，然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题，这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力【突破训练3】如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C.连接AC，并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.(1)当直线PA平分线段MN时，求k的值；(2)当k2时，求点P到直线AB的距离d.解(1)由题设知，a2，b，故M(2,0)，N(0，)，所以线段MN中点的坐标为.由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以k.(2)直线PA的方程为y2x，代入椭圆方程得1，解得x，因此P，A.于是C，直线AC的斜率为1，故直线AB的方程为xy0.因此，d.直线问题“误”汇易错点1：忽视截距为零或认为截距是距离的情况【示例1】经
