《2014届高考数学一轮复习必考知识展示训练：3.3《用导数研究函数的最值》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014届高考数学一轮复习必考知识展示训练：3.3《用导数研究函数的最值》（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3 用导数研究函数的最值一、填空题1函数f(x)x33x1在3,0上的最大值，最小值分别为_解析f(x)3x23，令f(x)0，解得x1或x1，f(3)17，f(1)3，f(1)1，f(0)1.比较可得f(x)maxf(1)3，f(x)minf(3)17. 答案3，172已知alnx对于x恒成立，则a的最大值为_解析 设f(x)lnx，则f(x)，当x时，f(x)0，故函数f(x)在(1,2上单调递增，f(x)minf(1)0，a0，即a的最大值为0.答案 03函数f(x)x3x在(a,10a2)上有最大值，则实数a的取值范围是_解析由f(x)x21，易知f(x)在(，1)上递减，在(1,
2、1)上递增，在(1，)上递减故函数在(a,10a2)上存在最大值的条件为答案2,1)4若函数f(x)(a0)在1，)上的最大值为，则a的值为_答案15设函数f(x)x32x5，若对任意x1,2，都有f(x)m，则实数m的取值范围是_解析f(x)3x2x20，解得x1或，f(1)，f，f(1)，f(2)7.m.答案m6已知函数f(x)xsin x，若x1，x2且x1x2，则f(x1)，f(x2)的大小关系是_解析f(x)1cos x0，所以f(x)在上单调递增，所以f(x1)f(x2)答案f(x1)f(x2)7若函数在f(x)x3x在(a,10a2)上有最大值，则实数a的取值范围为_解析f(x)
3、x3x(xR)，则f(x)x21(x1)(x1)，f(x)在(，1)，(1，)上单调递减，在(1,1)单调递增，由题意知，当x1时，f(x)取得最大值，1(a,10a2)即3a1.答案(3,1)8曲线f(x)ax2bxc(a0，b，cR)通过点P(0,2a28)，在点Q(1，f(1)处的切线垂直于y轴，则的最小值为_解析由已知曲线f(x)ax2bxc(a0，b，cR)通过点P(0,2a28)知c2a28.又知其在点Q(1，f(1)处的切线垂直于y轴，f(1)0，即2ab0.a.a0，a4，即的最小值为4.答案49已知函数f(x)的图象过点(0，5)，它的导数f(x)4x34x，则当f(x)取得
4、极大值5时，x的值应为_解析易知f(x)x42x25，f(x)0时，x0或x1，只有f(0)5.答案010已知a为实数，函数f(x)(x21)(xa)若f(1)0，则函数yf(x)在上的最大值和最小值分别为_解析f(1)0，32a10，即a2.f(x)3x24x13(x1)由f(x)0，得x1或x；由f(x)0，得1x.因此，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.f(x)在x1处取得极大值为f(1)2；f(x)在x处取得极小值为f.又f，f(1)6，且，f(x)在上的最大值为f(1)6，最小值为f.答案611已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_解析f(x)ex2.当xl
5、n 2时，f(x)0；当xln 2时，f(x)0.f(x)minf(ln 2)22ln 2a，则函数有零点，即f(x)min0.22ln 2a0，a2ln 22.答案(，2ln 2212已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m，n1,1，则f(m)f(n)的最小值是_解析求导得f(x)3x22ax，由f(x)在x2处取得极值知f(2)0，即342a20，a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x.由此可得f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，对m1,1时，f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图象开口向下，且对称轴为x1，对n1,1时，f(n)
6、minf(1)9.于是，f(m)f(n)的最小值为13.答案1313已知函数f(x)x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，则实数m的取值范围是_解析因为函数f(x)x42x33m，所以f(x)2x36x2，令f(x)0，得x0或x3，经检验知x3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)3m，不等式f(x)90恒成立，即f(x)9恒成立，所以3m9，解得m.答案 m二、解答题14求函数f(x)x3x22x在区间3,3上的最大值与最小值解析 f(x)x3x22x，f(x)x2x2.令f(x)0得x2或x1.则x，f(x)，f(x)的变化情况如下：x3(3，2)2(2,1)1(1,3)
7、3f(x)00f(x)6由上表知，在区间3,3上，当x3时，f(x)max，当x1时，f(x)min.15设函数f(x)x32ax23a2xb,0a1.(1)求函数f(x)的单调区间、极值；(2)若x0,3a，试求函数f(x)的最值解析(1)f(x)x24ax3a2.令f(x)0，解得xa或x3a，列表如下：x(，a)a(a,3a)3a(3a，)f(x)00f(x)递减a3b递增b递减由表可知：当x(，a)时，函数f(x)为减函数；当x(3a，)时，函数f(x)也为减函数；当x(a,3a)时，函数f(x)为增函数当xa时，f(x)的极小值为a3b；当x3a时，f(x)为增函数(2)x0,3a，
8、列表如下：x0(0，a)a(a,3a)3af(x)00f(x)b递减a3b递增b由表知：当x(0，a)时，函数f(x)为减函数；当x(a,3a)时，函数f(x)为增函数当xa时，f(x)的最小值为a3b；当x0或x3a时，f(x)的最大值为b.16已知函数f(x)(xR)(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)已知函数yg(x)对任意x满足g(x)f(4x)，证明当x2时，f(x)g(x)；(3)如果x1x2，且f(x1)f(x2)，证明x1x24.解析 (1)由f(x)得f(x).令f(x)0，解得x2，则x，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，)f(x)0f(x)增极
9、大值减所以f(x)在(，2)内是增函数，在(2，)内是减函数函数f(x)在x2时取得极大值f(2).(2)证明因为g(x)f(4x)，所以g(x).令F(x)f(x)g(x)，即F(x)则F(x).当x2时，2x0,2x13，从而e3e2x10，则函数F(x)0，F(x)在(2，)是增函数所以F(x)F(2)0，故当x2时，f(x)g(x)成立(3)证明因为f(x)在(，2)内是增函数，在(2，)内是减函数x1x2，且f(x1)f(x2)，所以x1，x2不可能在同一单调区间内，不妨设x12x2，由(2)可知f(x2)g(x2)，又g(x2)f(4x2)，所以f(x2)f(4x2)，因为f(x1
10、)f(x2)，所以f(x1)f(4x2)，因为x22,4x22，x12，f(x)在区间(，2)内为增函数，故x14x2，即x1x24.17已知f(x)2xln x，g(x)x2ax3.(1)求函数f(x)的最小值；(2)若存在x(0，)，使f(x)g(x)成立，求实数a的取值范围；(3)证明对一切x(0，)，都有f(x)2成立解析 (1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2(ln x1)令f(x)0，得x.当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.所以f(x)在上单调递减；在上单调递增故当x时，f(x)取最小值为.(2)存在x(0，)，使f(x)g(x)成立，即2xln xx2ax3在x(0，
11、)能成立，等价于a2ln xx在x(0，)能成立，等价于a(2ln xx)min.记h(x)2ln xx，x(0，)，则h(x)1.当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0.所以当x1时，h(x)取最小值为4，故a4.(3)证明记j(x)2，x(0，)，则j(x)2.当x(0,1)时，j(x)0；当x(1，)时，j(x)0.所以当x1时，j(x)取最大值为.又由(1)知，当x时，f(x)取最小值为，故对一切x(0，)，都有f(x)2成立18已知函数f(x)x2ln x(aR)(1)当a1时，求f(x)在区间1，e上的最大值和最小值；(2)若在区间(1，)上，函数f(x)的图象恒
12、在直线y2ax下方，求a的取值范围解析(1)当a1时，f(x)x2ln x，f(x)x；对于x1，e，有f(x)0，f(x)在区间1，e上为增函数，f(x)maxf(e)1，f(x)minf(1).(2)令g(x)f(x)2axx22axln x，在区间(1，)上，函数f(x)的图象恒在直线y2ax下方，等价于g(x)0在区间(1，)上恒成立，g(x)(2a1)x2a.若a，令g(x)0，得x11，x2，当x2x11，即a1时，在(x2，)上有g(x)0，此时g(x)在区间(x2，)上是增函数，当x时，有x22ax，ln x，g(x)g(x2)，)，不合题意；当x2x11，即a1时，同理可知，g(x)在区间(1，)上是增函数，当x时，有x22ax，ln x，g(x)(g(1)，)，也不合题意若a，
