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1、2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(天津卷)第卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013天津，文1)已知集合AxR|x|2，BxR|x1，则AB()A(，2 B1,2C2,2D2,12(2013天津，文2)设变量x，y满足约束条件则目标函数zy2x的最小值为()A7 B4C1 D23(2013天津，文3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为()A7B6C5D44(2013天津，文4)设a，bR，则“(ab)a20”是“ab”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5(2013天津，文5)已知过点
2、P(2,2)的直线与圆(x1)2y25相切，且与直线axy10垂直，则a()A B1 C2 D6(2013天津，文6)函数在区间上的最小值为()A1 B C D07(2013天津，文7)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上单调递增若实数a满足f(log2a)2f(1)，则a的取值范围是()A1,2 BC D(0,28(2013天津，文8)设函数f(x)exx2，g(x)ln xx23.若实数a，b满足f(a)0，g(b)0，则()Ag(a)0f(b) Bf(b)0g(a)C0g(a)f(b) Df(b)g(a)0第卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9(2013
3、天津，文9)i是虚数单位，复数(3i)(12i)_.10(2013天津，文10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上若球的体积为，则正方体的棱长为_11(2013天津，文11)已知抛物线y28x的准线过双曲线(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_12(2013天津，文12)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若1，则AB的长为_13(2013天津，文13)如图，在圆内接梯形ABCD中，ABDC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若ABAD5，BE4，则弦BD的长为_14(2013天津，文14)设ab2，b0，则的最小值为_三、解答题：本
4、大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15(2013天津，文15)(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标Sxyz评价该产品的等级若S4，则该产品为一等品现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x，y，z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x，y，z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(2)在该样本的一等品中，随机抽取2
5、件产品，用产品编号列出所有可能的结果；设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率16(2013天津，文16)(本小题满分13分)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsin A3csin B，a3，cos B.(1)求b的值；(2)求的值17(2013天津，文17)(本小题满分13分)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱A1A底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点(1)证明EF平面A1CD；(2)证明平面A1CD平面A1ABB1；(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值18(2013天津，文18
6、)(本小题满分13分)设椭圆(ab0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若8，求k的值19(2013天津，文19)(本小题满分14分)已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)证明(nN*)20(2013天津，文20)(本小题满分14分)设a2,0，已知函数(1)证明f(x)在区间(1,1)内单调递减，在区间(1，)内单调递增；(2)设曲线yf(x)在点Pi(xi，f(xi)(i1,2
7、,3)处的切线相互平行，且x1x2x30.证明x1x2x3.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(天津卷)第卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1答案：D解析：解不等式|x|2，得2x2，即Ax|2x2，ABx|2x1，故选D.2答案：A解析：作约束条件所表示的可行域，如图所示，zy2x可化为y2xz，z表示直线在y轴上的截距，截距越大z越大，作直线l0：y2x，平移l0，当l0过点A(5,3)时，z取最小值，且为7，选A.3答案：D解析：由程序框图可知，n1时，S1；n2时，S1；n3时，S2；n4时，S22，输出n的值为4，故选D.4答案：A解析
8、：因为a20，而(ab)a20，所以ab0，即ab；由ab，a20，得到(ab)a20可以为0，所以“(ab)a20”是“ab”的充分而不必要条件5答案：C解析：由题意知点P(2,2)在圆(x1)2y25上，设切线的斜率为k，则1，解得，直线axy10的斜率为a，其与切线垂直，所以1，解得a2，故选C.6答案：B解析：因为x，所以，当，即x0时，f(x)取得最小值.7答案：C解析：因为log2a，所以f(log2a)f(log2a)f(log2a)2f(log2a)，原不等式变为2f(log2a)2f(1)，即f(log2a)f(1)又因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在0，)上递增，所以|
9、log2a|1，即1log2a1，解得a2，故选C.8答案：A解析：由f(a)eaa20得0a1.由g(b)ln bb230得1b2.因为g(a)ln aa230，f(b)ebb20，所以f(b)0g(a)，故选A.第卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9解析：(3i)(12i)36ii2i255i.10答案：解析：由题意知，.设正方体的棱长为a，则2R，a，所以正方体的棱长为.11答案解析：抛物线y28x的准线为x2，则双曲线的一个焦点为(2,0)，即c2，离心率e2，故a1，由a2b2c2得b23，所以双曲线的方程为.12答案：解析：取平面的一组基底，则，()|2|2|2|1
10、1，解方程得|(舍去|0)，所以线段AB的长为.13答案：解析：因为在圆内接梯形ABCD中，ABDC，所以ADBC，BADBCD180，ABEBCD.所以BADABE180.又因为AE为圆的切线，所以AE2BEEC4936，故AE6.在ABE中，由余弦定理得cosABE，cosBADcos(180ABE)cosABE，在ABD中，BD2AB2AD22ABADcosBAD，所以BD.14答案：解析：因为ab2，所以1，当且仅当b2|a|时，等号成立当a0时，故；当a0时，.综上可得最小值为.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15解：(1)计算10件产品的综
11、合指标S，如下表：产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为A1，A2，A1，A4，A1，A5，A1，A7，A1，A9，A2，A4，A2，A5，A2，A7，A2，A9，A4，A5，A4，A7，A4，A9，A5，A7，A5，A9，A7，A9，共15种在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为A1，A2，A1，A5，A1，A7，A
12、2，A5，A2，A7，A5，A7，共6种所以P(B).16解：(1)在ABC中，由，可得bsin Aasin B，又由bsin A3csin B，可得a3c，又a3，故c1.由b2a2c22accos B，可得.(2)由，得sin B，进而得cos 2B2cos2B1，sin 2B2sin Bcos B.所以.17 (1)证明：如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACA1C1，且ACA1C1，连接ED，在ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE且DEAC，又因为F为A1C1的中点，可得A1FDE，且A1FDE，即四边形A1DEF为平行四边形，所以EFDA1.又EF平面A1CD，DA1平面A1CD，所以EF平面A1CD.(2)证明：由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CDAB，又由于侧棱A1A底面ABC，CD平面ABC，所以A1ACD，又A1AABA，因此CD平面A1ABB1，而CD平面A1CD，所以平面A1CD平面A1ABB1.(3)解：在平面A1ABB1内，过点B作BGA1D交直线A1D于点G，连接CG.由于平面A1CD平面A1ABB1，而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线，故BG平面A1CD.由此得BCG为直线BC与平面A1CD所成的角设棱长为a，可得A1D，由A
