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1、2010考研数学冲刺班高等数学讲义主讲：汪诚义欢迎使用新东方在线电子教材第一章 函数、极限、连续1.1 函数一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性)1. 口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。2. 在(a,b)内，若，则单调增加若，则单调减少口诀(2)：单调增加与减少；先算导数正与负例1 求解 是奇函数，是奇函数，因此是奇函数。于是。例2 设，则下列结论正确的是(A)若为奇函数，则为偶函数。(B)若为偶函数，则为奇函数。(C)若为周期函数，则为周期函数。(D)若为单调函数，则为单调函数。解 (B)不成立，反例(C)不成立，反例(D)不成立，反例(A)成立。证明 为奇函数，所以，
2、为偶函数。例3 设，是恒大于零的可导函数，且，则当时，下列结论成立的是(A) (B)(C) (D)解 ，单调减少于是xn+12，n+1=3, n=2 选(B)例3 设，则当x0时，是的 ( )(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C)同阶但不等价的无穷小 (D) 等价无穷小解 选(C)二、有关两个准则准则1 单调有界数列极限一定存在。准则2 夹逼定理。例1 设，证明存在，并求其值。解，(几何平均值算术平均值)用数学归纳法可知n1时，有界。又当n1时，则单调增加。根据准则1，存在把两边取极限，得(舍去) 得，。口诀(3)：递推数列求极限；单调有界要先证；两边极限一起上；方程之中把值找。例2 求
3、。解 令，则0xn0,b0常数，求解 先考虑它是“”型。令 因此， 于是， 。口诀(8) 离散数列“洛必达”；先要转化连续型。五、求分段函数的极限例 求。解 口诀(9)：分段函数分段点；左右运算要先行。六 用导数定义求极限例 设曲线与在原点相切，求解 由题设可知，于是 七 用定积分定义求极限公式： (连续)例1 求。分析 如果还想用夹逼定理中方法来考虑而，由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑。解 =例2 求。解 而由夹逼定理可知，口诀(10)：数列极限逢绝境；转化积分见光明。八、求极限的反问题例1 设，求a和b.解 由题设可知，1+a+b=0再对极限用洛必达法则例2、 设在
4、(0，+)内可导，0，且满足，求解： 先用冪指函数处理方法再用导数定义 取，于是这样 所以 再由，可知C=1，则1.3连续一、连续与间断例1设，在内有定义，为连续，且，有间断点，则下列函数中必有间断点为(A) (B)(C) (D)解：(A)，(B)，(C)不成立可用反例，,(D)成立可用反证法：假若不然没有间断点，那么为两个连续函数乘积，一定连续故矛盾，所以一定有间断点例2求的间断点，并判别其类型。解，考虑（）可见为间断点，是可去间断点，其它皆为第二类间断点。二、闭区间上连续函数的性质（重点为介值定理及其推论）例1设在上连续，且，证明存在，使得证令，则在上连续，根据介值定理推论，存在使，即证。
5、例2设在上连续，且，求证：存在，使。证在上连续，故有最大值M和最小值m，于是根据介值定理，存在使.口诀（11）：函数为零欲论证；介值定理定乾坤。第二章 一元函数微分学2.1 导数与微分一、可导性与连续性例 设，问a和b为何值时，可导，且求。解 x1时，x1时，.由处连续性，可知再由处可导性， 存在 存在且 根据洛必达法则于是.二、导数与微分的运算法则和计算公式（要求非常熟练地运用，具体例题可看参考书）三、切线和法线方程例1 已知曲线的极坐标方程，求曲线上对应于处的切线与法线的直角坐标方程。解 曲线的参数方程为故切线方程 即 法线方程 即 例2 设为周期是5的连续函数，在邻域内恒有 其中 ，在处
6、可导，求曲线在点（）处的切线方程。解 由题设可知，故切线方程为所以关键是求出和由连续性 由所给条件可知 ，再由条件可知 令，又上式左边则 所求切线方程为即四、高阶导数1.求二阶导数例1、设，求。解 例2 设由方程所确定，求解： ，得2.求n阶导数例1 设，求(n正整数)。解先用多项式除法，得，然后把真分式再化为最简公式令令令口诀（12）：有理函数要运算；最简分式要先行。例2 设（n为正整数）。解 口诀（13）：高次三角要运算；降次处理先开路。注有时求可以通过幂级数的系数公式反过来来计算，这就需要掌握把函数展成幂级数的有关技巧，数学一和数学三在无穷级数中有专门讨论。2.2微分中值定理一、 罗尔定
7、理罗尔定理：设在上连续，内可导，且，则存在使。口诀（14）：导数为零欲论证；罗尔定理负重任。在考研考题中，经常要作辅助函数，而对用罗尔定理，从而得出的有关结论，为此，我们引进两个模型及有关例题。1. 模型：设在上连续，内可导，且，是内的连续函数，则存在，使成立。证令，其中。于是在上连续，在内可导，。根据罗尔定理，存在使而因此例1 设在上连续，在内可导，试证：（1） 存在，使；（2） 存在，使（为任意实数）。证 (1)令，显然，在上连续又，根据介值定理推论存在，使，即（2）令(相当于模型中，）在上用罗尔定理，存在，使即从而。口诀（15）：导数、函数合为零；辅助函数用罗尔。2. 模型设，在上连续，
8、内可导，且，则存在，使证令，则，在上用罗尔定理，存在，使，即。例2 设在上连续，内可导，k为正整数，求证存在，使得证取a=0,b=1，令，用模型，存在，使得故。3.例3设设在上连续，内可导，对任意k1，有，求证：存在，使证由定积分中值定理可知存在，使得令，可知对在上用罗尔定理，存在，使，而从中消去因子，得。4. 例4设在上连续，求证：存在，使证令则又如果在内不变号，由于连续性，积分不为0，故在内一定有正有负，故存在使，而，于是分别在和上对用罗尔定理则存在，使和，即。二、 拉格朗日中值定理和柯西中值定理。1. 拉格朗日中值定理：设在上连续，内可导，则存在，使，即。口诀（4）：函数之差化导数；拉氏
9、定理显神通2. 柯西中值定理设，在上皆连续，在内皆可导，且，则存在，使例1 设在上连续，内可导，且,证明：存在使证考虑柯西中值定理最后一步是把分子用拉格朗日中值定理。再把欲证的结论变形，两式比较，看出令即可。类似地，欲证，则取即可例2. 已知在上连续，在内可导，且，证明（）存在，使得（）存在两个不同，使得证： （）令，则在上连续，又有，根据介值定理，所以存在，使得 即 。（）根据拉格朗日中值定理，存在，使得， 从而 。在上面两个例子中，都是寻找的问题，但所用方法完全不同，我们可以用两个口诀来加以区别。口诀（16）：寻找无约束，柯西、拉氏先后上。口诀（17）：寻找有约束，两个区间用拉氏。三、 泰
10、勒定理。设在包含的区间内有n+1阶导数，在上有n阶连续导数，则对，存在在与之间，有公式（称为拉格朗日余项形式的泰勒公式）例 设在上具有三阶连续导数，且。求证：，使。证 麦克劳林公式 其中，介于0与之间，后式减前式，得上连续，设其最大值为M，最小值为m。则 再由介值定理，使 2.3 导数的应用一、 不等式的证明例1 求证：当时，。证 令，只需证明时，易知 由于的符号不易判别，再求导得。再考虑可见当时，；单调减少，当时，单调增加，是的最小值，由于，单调增加，而，时，则单调减少，时，单调增加，于是，。例2 设，求证：证令, 则于是可知在时单调增加，又时，这样单调增加，因此，时，得证口诀（18）：数字不等式难证，函数不等式先行。二、 极值与拐点例1 设有二阶导数，满足。求证：当时，为极小值证 （1）情形故为极小
