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1、文档标题 2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1）曲线y =（【答案】：C【解析】：lim1x221)(e2x 2)L (enx n)，其中n 为正整数，则 f (0) =（f (x) = (e( 1)n 1(n 1)!( 1)n 1n!n（【答案】：C【解析】：f(x) = e(e2x 2)L (enx n) + (e1)(2e2x 2)L (enx n) +L (e 1)(e2x 2)L (nenx n)f(0) = ( 1)n
2、1n!()（3）如果 f (x, y) 在 0,0 处连续，那么下列命题正确的是（）f (x, y)A）若极限lim存在，则 f (x, y) 在(0, 0) 处可微存在，则 f (x, y) 在(0, 0) 处可微20x+ yxy0f (x, y)（B）若极限lim0x2+yxy0作者姓名1 f (x, y)（C）若 f (x, y) 在(0, 0) 处可微，则极限lim存在存在+ yx0xy0f (x, y)D）若 f (x, y) 在(0, 0) 处可微，则极限lim2+y2x0xy0【答案】：f (x, y)()=解析】：由于 f (x, y) 在 0,0 处连续，可知如果lim存在，
3、则必有 f (0, 0) lim f (x, y) 02+y2x0xx0y0y0f (x, y)f (x,y) f (0, 0)f (x,y) f (0, 0)这样，lim就可以写成 lim，也即极限 lim存在，可知2+y2x2+ y2x2+ y2x0xx0y0x0y0y0f (x,y) f (0, 0)limx0y0= 0 ，也即 f (x,y) f (0, 0) = 0x + 0y + o(x2+ y2)。由可微的定义x2+ y2可知 f (x, y) 在(0, 0) 处可微。kex2 sinxdx(k=1,2,3),则有 D(B) I I I3.（4）设Ik=e（A）I I I1 2
4、3.22(C) I I I(D) I I I1 2 3.131,=【答案】：(D)kx2I = ek2 sin k 0,k 0, ，( )【解析】：Iesinxdx看为以k为自变量的函数，则可知kkek=ex2sinxdx关于k在(0, ) 上为单调增函数，又由于1, 2,3(0, ) ，则即可知IkeI I I ，故选 D1230 0 1 1（5）设 = 0 , = 1 , = 1 , = 1 其中c ,c ,c ,c 为任意常数，则下列向量组线性相关12341234c1c2c3c4的是（）（A） , ,（B） , ,1 2123444（【C） , ,（D） , ,1323答案】：（C）01
5、111( ) =1=0 ，可知 , ,线性相关。故选（C）1 3 4【解析】：由于,01c113411c1 c3 c4 1（Q6）设 A 为 3 阶矩阵， P 为 3 阶可逆矩阵，且P1AP=1，P , ,= ( )，1 2 32=( + )则Q1AQ = （,）1223112（B）（22（C）1（D）【答案】：（B）1 0 0 1 0 0= 解析】：Q = P 1 1 0 ，则Q100 100 110 01 0 0 1 0 011 0 0 1 Q1AQ= 1 1 011 00 10 0 100 1227）设随机变量 x 与 y 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则 p
6、x ()=X ,Yf (x, y) 0，其它+y+则 P X= =Yf (x, y)dxdydx e x 4ydx000xy（8 ） 将 长 度 为 1m 的 木 棒 随 机 地 截 成 两 段 ， 则 两 段 长 度 的 相 关 系 数 为 （ ）1212(A) 1 (B)(C) (D) 1【答案】：(D)解析】：设两段长度分别为x, y ，显然x + y =1, 即y = x +1，故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为-1 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.9）若函数 f (x) 满足方程 ( )f x + f(x) 2 f (x
7、) = 0 及f(x) + f (x) = 2ex，则f (x) =_。（【答案】：ex【解析】：特征方程为r2+ r 2 = 0 ，特征根为r = 1,r = 2，齐次微分方程 f (x) + f (x) 2 f (x) 0=12f (x) = C ex+ C e2x.再由f(x) + f (x) = 2ex 得2C exC e2x2= ex ，可知C =1,C = 0。2的通解为12112故 f (x) = ex22dx _。（【10）x 2x x0答案】：22111解析】：令t = x 1得x 2x x2dx = (t +1) 1t2dt =1t dt =2012z（11）grad xy
8、 + _。y (2,1,1) 答案】： 1,1,1【zz 1解析】：grad xy+=y, x, y = 1, 1, 1y y2(2,1,1)(2,1,1)2（12）设= (x, y, z)x + y + z =1, x 0, y 0, z 0,则 y ds =_。3【答案】：12y2ds =y21+ (1)2+ (1)2dxdy = 3y2dxdy ，其中解析】：由曲面积分的计算公式可知DD311y1+ 。故原式= 3 dy2dx = 3 y2(1 y)dy =D=(x, y) | x 0, y 0, x y 1y12000T（【13）设 X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵E x
9、x的秩为_。答案】：2【解析】：矩阵xxT 的特征值为0, 0,1，故E xxT 的特征值为1,1, 0 。又由于为实对称矩阵，是可相似对角()= 2 。r E xxT化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，也即 12,P(C) = 1（【14）设A, B,C 是随机事件，A,C 互不相容，P(AB) =,则P(AB C) =_。33答案】：4()P ABC()【解析】：由条件概率的定义，P AB C =，( )P C1( )( )其中P C =1 P C =1 =31()()()()()P ABC = P AB P ABC = P ABC ，由于A,C 互不相容，即AC = ，P AC = 0，又2() =() =ABC AC ，得P ABC 0 ，代入得P ABC() =三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或+ cos x 1+ ,1 x 1，所以1 x1+ xgx
