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1、- 1 - 华东师范大学二附中华东师范大学二附中 2021 届高一下学期数学届高一下学期数学 3 月阶段测试月阶段测试 一、填空题（每小题一、填空题（每小题 4 4 分，共分，共 4040 分）分） 1.已知点 在角 的终边上，且，则_. 【答案】 【解析】 【分析】 利用三角函数的定义可求得 sin 与 cos，利用诱导公式化简，则可得结果 【详解】因为， 则r13a， sin，cos， 又, 故答案为. 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，涉及诱导公式及同角基本关系式的应用，属于基础题 2.求值：_. 【答案】1 【解析】 【分析】 先利用同角基本关系将原式切化弦，再利用两角和的正
2、弦公式，结合二倍角的正弦公式化简分子，进而再利 用诱导公式变形，约分后即可得到结果 【详解】因为 ） - 2 - 1 故答案为：1. 【点睛】本题考查了三角函数的化简求值问题，考查了两角和的正弦公式、同角三角函数间的基本关系，以 及诱导公式的运用，熟练掌握公式是解本题的关键 3.已知，则的值为_. 【答案】 【解析】 【分析】 由下向上依次运算，1csc2xcot2x，11+tan2x，11cos2x 【详解】原式 代入得 故答案为. 【点睛】本题考查了化简求值问题，考查了同角三角函数的基本关系及二倍角的余弦公式的应用，属于中档 题 4.已知锐角是钝角的两个内角，且 的终边过点，则 是第_象限
3、角. 【答案】二 【解析】 【分析】 由题意得，利用正弦函数的单调性及诱导公式可得结果. 【详解】若ABC为钝角三角形且为锐角，则， - 3 - 因此，则 sin sin（）cos ， 同理可得 sin sin（）cos ， 所以， 故 P 在第二象限， 故答案为：二. 【点睛】本题考查了三角形内角的关系，考查了正弦函数单调性的应用，考查了诱导公式的应用，属于中档 题. 5.在中，已知，给出以下四个论断： ，其中正确的是 . 【答案】 【解析】 试题分析：因为，整理得，所以 不正确， 所以正确， ，错， ，故正确，故答案为. 考点：1、三角形内角和定理及诱导公式；2、两角和的正弦公式及同角三角
4、函数之间的关系. 【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断考察三角函数的有界性、三角形内角和定理、诱导公式、两角 和的正弦公式、同角三角函数关系以及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综 合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输” ，解答这类问题首先不能慌乱更不 能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题. 6.已知，则_. 【答案】 【解析】 【分析】 - 4 - 利用二倍角的三角函数公式，结合弦化切化简得，由，直接得出结 果 【详解】 分子、分母都除以 cos2，得=， （） ，所求= 故答案为 【点睛】本题
5、考查了二倍角的三角函数公式与同角三角函数基本关系的应用，考查了弦化切的方法，属于中 档题 7.已知，则_ 【答案】 【解析】 分析：先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果. 详解：因为，所以， 因此 点睛：三角函数求值的三种类型 (1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. 一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； 变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. (3)给值求角：实质是转化为“给值求值” ，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 8.
6、已知，且是关于 的方程的两个根中较小的根，则 的值为 _. 【答案】 【解析】 【分析】 由方程的两根之积为 1 和较小根为 tan 得到方程较大的根为即 cot，然后根据两根之和等于 - 5 - 2sec 列出等式，利用同角三角函数间的基本关系化简得到 sin 的值，根据正弦函数的周期和特殊角 的三角函数值求出 的值，代入到两根之中检验得到符合题意的值 【详解】tan 是方程x2+2xsec +10 的较小根，且两根之积为 1， 方程的较大根是 cot tan +cot 2sec ，即，且 tan cot , 又，解得或，又 tan cot ， 故答案为. 【点睛】本题考查了韦达定理的应用，
7、考查了利用同角三角函数间的基本关系化简求值，易错点是容易忽视 的范围及条件而导致没有取舍，属于中档题 9.在中，已知则_ 【答案】 【解析】 【详解】由三角万能公式得 解得或 又由、为的三个内角知， 故 因此， 10.在中，则_. 【答案】 【解析】 【分析】 - 6 - 根据余弦定理化简，得到；由题意，在BC上取D，使得BDAD，连接AD，找出 AB，设BDx，在ADC中两次利用余弦定理将 cos（AB）及 cosC表示出，分别求出x建立关于 a，b 的方程，化简变形后利用整体换元求出答案 【详解】由题意知，4cosC， 由余弦定理得，4， 化简可得2，则, 又中不妨设ab，AB在BC上取D
8、，使得BDAD，连接AD， 设BDx，则ADx，DCax，ACb， 在ADC中， cosDACcos（AB）， 由余弦定理得：（ax）2x2+b22xb ， 即：(b6a)x， 解得：x 又在ADC中，由余弦定理还可得 cosC， cosC，化简得x， 由可得，又2， 联立可得=,即=, 两边同时除以，得=+6，令，则 12，解得 t= 或， 又由题意，t=cosC= ， 故答案为： . 【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查了运算化简的技巧，考查利用几何图形解决问题的能力，属于 - 7 - 难题 二、选择题（每小题二、选择题（每小题 4 4 分，共分，共 1616 分）分） 11.若角 和
9、角 的终边关于 轴对称，则下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. . 【答案】A 【解析】 由角 和角 的终边关于 轴对称得 ,所以 , , , .选 A. 12.“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分亦不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两角和的正切公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断 【详解】由（1+tan） （1+tan）2 得 1+tan+tan+tantan2， 即 tan+tan1tantan， 1， (k，不一定有“” ； 反之， “”不一定有“” ，如 = ，此时无意义； “”是“”的既不充分亦不必要
10、条件 故选 D 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，考查了两角和的正切公式，举反例说明命题不成立是解 决此类题的常用方法，属于基础题 13.已知中，且，则是（ ） A. 正三角形B. 直角三角形C. 正三角形或直角三角形D. 直角三角形或等腰三角 形 【答案】A 【解析】 【分析】 - 8 - 由 tanA+tanBtanAtanB，推导出C60，由，推导出A60或 90，从而得到 ABC的形状 【详解】tanA+tanBtanAtanB， 即 tanA+tanB（1tanAtanB） ， tan（A+B），又A与B都为三角形的内角， A+B120，即C60， ，, 2B60或 12
11、0，则A=90或 60. 由题意知 ABC等边三角形 故选：A 【点睛】本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数及二倍角 正弦公式的合理运用 14.设且则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：由已知得，去分母得，所以 ，又因为， ，所以，即，选 考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式 三、解答题：三、解答题： 15.如图，点是单位圆 上的两点，点 是圆 与 轴的正半轴的交点，将锐角 的终边按逆时针方向旋 转 到. - 9 - （1）若点 的坐标为，求的值； （2）用 表示，并求的取值范围. 【答案】 （1）；（2）. 【
12、解析】 【分析】 （1）由已知利用任意角的三角函数的定义可得，cos 和 sin 的值，再利用二倍角公式求得 sin2 和 cos2 的值，可得的值 （2）由题意可得，|OC|OB|1，COB，由余弦定理可得的解析式根据 （0， ） ，利用 余弦函数的定义域和值域求得|BC|的范围 【详解】 （1）由已知， ， ； （2）由单位圆可知：， 由余弦定理得： ， ， ，. 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查了二倍角公式及余弦定理的应用，考查了余弦函数求 值域的问题，属于中档题 16.在中，已知. - 10 - （1）求周长的最大值； （2）若，求的面积. 【答案】 （1）6；（2）.
13、 【解析】 【分析】 （1）由余弦定理及已知条件可得：，利用基本不等式解得，从而可求周长的最大 值 （2）由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得，分类讨论分别求出a，b的值， 利用三角形面积公式即可计算得解 【详解】 （1）由余弦定理，得 ， 于是得，当且仅当时，等号成立， ，即周长的最大值为 6； （2）， ， 或， 时，此时， 时，由正弦定理，知， ， 综上，的面积为. 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中 的综合应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于中档题 17.（1）如图，点 在线段上，直线外一点 对线段的张角分别为，即
14、.求 证：. （2）在中， 为线段上一点，其中，试用表示线 - 11 - 段的长. 【答案】 （1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用三角形的面积公式将表示出来，化简整理可得结论； （2）选用三角形的面积公式：可得，再利用正弦定理表示出整理可得 BC. 【详解】 （1） 等式两边同除，即得； （2），. 【点睛】本题考查了三角形面积公式的应用，灵活选择三角形面积公式是解决本题的关键，属于基础题. 18.如图，边长为 1 的正方形中，分别为边上的点，且的周长为 2. （1）求线段长度的最小值； （2）试探究是否为定值，若是，给出这个定值；若不是，说明理由. 【答案】 （1）；（
15、2） . 【解析】 【分析】 （1）根据CPQ周长为 2，并且CPQ是直角三角形，设CPQ，根据三角函数的定义， CPPQcos，CQPQsin，因此可以表示出，求该函数的最小值即可； （2）利用解析法求解：分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设Q（x，1） ，P（1，y） ， 利用两点间距离公式求出PQ，根据CPQ周长为 2，找出x，y的关系，求出PAQ的正切值，即可求得结 果 【详解】 （1）设CPQ，则CPPQcos，CQPQsin - 12 - （） （2）分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 设Q（x，1） ，P（1，y） ，设DAQ ，PAB ，即xy+（x+y）1 又 tan x，tan y ， 【点睛】本题考查三角函数的应用，特别求角的问题，转化为求角的某个三角函数值，体现了用数研究形的 数学思想，考查运算能力和分析解决问题的能力，属于中档题 - 13 -
