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1、存档编号 赣南师范学院学士学位论文凸函数的性质及应用教学学院 数学与计算机科学学院 届 别 2012 届 专 业 数学与应用数学 学 号 080704025 姓 名 曹佳敏 指导教师 马丽 完成日期 目 录内容摘要 2关 键 词 2Abstract 2Key words 21、背景介绍 32凸函数的定义 33凸函数的性质331 凸函数的运算性质 332 凸函数的简单性质 432 凸函数的连续性 432 凸函数的可微性 54凸函数的判定定理 75凸函数的应用 751 利用凸函数的性质证明不等式及例题 752 利用凸函数的性质验证级数的收敛性及例题 11参考文献 15内容摘要: 本文主要介绍了凸函
2、数的一般性定义、基本性质，并介绍了凸函数的几何意义，研究了凸函数的性质及其常用的一些判别方法。在此基础上探讨了凸函数在证明不等式当中的应用和它与某些数项级数的敛散关系。关键词：凸函数 性质 应用Abstract: This paper is devoted to introducing the general definition of the convex function 、Basic properties,and the geometric meaning of convex function, then ivestigating the nature of the convex fun
3、ction and the commonly used some identifying method. On the basis of this,discusses the convex function in the proof of inequality and the application of and it with some several series convergence dispersion relationship Key word: Convex function properties application 1、背景介绍 凸函数是数学分析中的一个重要概念，它涉及了许
4、多数学命题的讨论证明和应用 在高等数学中利用导数讨论函数的性质时经常遇到这类特殊函数。凸函数的应用问题很有实用价值，关于凸函数相关问题的研究在国内外已有一定的研究，自建立凸函数理论以来,凸函数这一概念已在许多数学分支得到了广泛的运用。例如在数学分析,函数论,泛函分析,最优化理论等当中,现就凸函数的相关定义和性质，以及在证明不等式的应用合收敛级数方面的应用作进一步的探讨。2、凸函数的各种不同定义定义 1：设函数 在区间 I 上有定义，如果对于任意的 和()fx 12,xI都有： ， （1）(0,)121()()(xff则称 为 I 上的凸函数，如果(1)中的不等式改为严格不等式，则相应的函数fx
5、称为严格凸函数；如果 (1)中的等号始终是成立的，那么称 为 I 上的线凸()fx函数。1905 年丹麦数学家 Jensen 首次给出了如下凸函数定义：定义 2：设函数 在 I 上有定义，若对 中任意两点 ，恒有：()fx,ab12,xI则称 为 I 上的凸函数.12()()1(ffxxf ()fx定义 3：设函数 f(x)在 上有定义，对任意 且 ，有：,ab12,xab12x则称 为 I 上的凸函数.121()()(fxffxf()fx3、 凸函数的基本性质31 凸函数的运算性质（1）若 与 均为区间 上的凸函数，则 也是区间 上()fxg,ab()fxg,ab的凸函数。（2）若 为区间
6、上的凸函数，则对于 ，有 也是 上的凸()fx,ab0k()fx,ab函数。（3）设 与 均为区间 上的非负单调递增的凸函数，则()fg,也是 上的凸函数。hxxab（4）设 为 上的凸函数， 在相应区上单调递增，且为相应区()uf,()gu间上的凸函数，则复合函数 也是 上的凸函数。(fx,ab3.2凸函数的简单性质性质 1 凸函数的导函数是单调函数。注：如果 存在，那么由 的单调性就可导出， 的正负来判()fx()fx()fx定，反之亦然；若 不存在，则可参照在论述可微性时定理 1.2 的证明。f性质 2 设 是 内的上凸递增(下凸递减 )函数，则 ()x,)alim()xf存在。性质 3
7、 对于 上的凸函数 ，存在自然数 ，使 在 内,)()fxNa()f,)N是单调的。性质 4 对于 内的凸函数，任取两点 ，且 ，则对于(,)a12,(,)x12x下凸（上凸）函数 ，曲线 在过两点 、 弦fx()yfAf(,)Bf的下方(上方) 。33 凸函数的连续性为了讨论凸函数的连续性，引进凸函数的两个性质引理 1：设 在(A，B)内为凸函数，那么 在(A ，B)中的任意闭子区间有()fx()fx界。此引理证明只需根据定义 1，即可。引理 2：设 为 上的凸函数，那么在 中任意闭子区间 上,()fx,)AB(,)ABab当 时，有0k12,ab1212|()|fxfkx此处补充证明定理
8、1：设 为 内的凸函数，那么在 内 连续。()fx,)AB(,)AB(fx证明: 任取 ，从而总存在一个区间 满足 ，因0,)ab0(,)ab而由引理 2，对 ，存在一个常数 k0，使,xab，00|()()|fxfk那么对 ，取 ，那么当 时 ，0|x0|()()|fxf在 点连续，由 的任意性知 在 内连续。()fx00x()f,)AB3.4 凸函数的可微性定理 2：设 为 内的凸函数，那么 在 内内处处左右可导，且()fx,)ab()fx,ab,。()f证明：对 内任一内点 ，因 为内点，故 ，使得x12,(,)x。从而有凸函数的性质有： ，12x 21()()fffxf再由当 增时，
9、也增，故由单调有界原理知下极限存在，且11()(fxf同理，1 21()()()limxffffxfx在此式中，令 ，可知 存在，且 ，于是定理 22()f()fx()f得证。3.5 凸函数的几何意义定理 3： 在区间 上是线凸函数的充分必要条件为 在 区间上()fx,ab()fx,ab是一条直线，即 . （2）()()fafbff x证明：必要性：设 f(x)为a ，b上的线凸函数，那么 可表示为,ab或 ， （,3）(1)xabxab且 ， （4）()()1)(ff ff将(3)的后一式代人 (4)就得 .)afxfbxb充分性：若 ，取任意的 不妨令()()()faffxfbx12,I，
10、 ，则12x0,11212(,)xx只需证： 即可。2()()fxf2()ff，故当 时有abffbx12(,)x， 由212 2()()() )fxffxf知1212(,)12()fxfx212 2()()fxff x212 2()()()fffx.12()ffx因而充分性得证。定理 3 说明了线凸函数其实是一个直线函数。定理 4：若 为区间 上的凸函数，则对任意的 其中 ，()fx,ab12,xab12x有 反之亦然(其中 )。212 2()()fxff 12补充证明。定理 4揭示了凸函数的几何意义，见图 1若 P，Q，R 为 f(x)的图像上三个点，并且 Q在 P与 R之间，则 Q在弦
11、PR上或在 PR的下方。图（1）4、凸函数的判定定理定理 5：设 ，且在 上可导， 为凸函数的充要条件为：(),fxab,()fx在a,b内为递增函数。()f定理 6：设 ，且在 上二阶导数存在，则 为凸函数的充要条(),fx,()fx件为: .0定理 7：设 ，且在 上可导，则 f(x)为凸函数的充要条件为：(),fxab,有0,x000()(),()fxfxaxb定理 8：设 为区间 上的可导函数，则 为凸函数的充要条件为：()fx,f1(2abfafb定理 5：若对 和 ，12,.,nxab121,.,0,nii则 为凸函数的充要条件为：()f12 12.)()().()n nxxfxf
12、xfx5、凸函数的应用 在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数性质、定理来证明可以非常简洁、巧妙，证明不等式就是凸函数的一个应用领域，但解决的关键在于凸函数的构造。5.1 利用凸函数的基本性质证明不等式 （1）几何平均值不大于算术平均值设 考虑指数函数 ， 是凸函数，从而对0,1axya(0,)12 1.,(0,),.,nnkxx有 12 2. .n nxx xxxaaa 令 1212.,.,nxxxna 则得到 ，12,.,0na1212 .(.)nna即“几何平均值不大于算术平均值”定理。（2）算术平均值不大于平方平均值考虑二次函数 是凸函数，从而有2,(
13、0,)yx12 1,.,.,(0,),nnkx222212(.).n nxxxx令 既得12.,n.22121. .n nxxxx即就是“算术平均值不大于平方平均值” 。（3）一般的平均值定理考虑一般的幂函数 ，是凸函数，那么同样有,1,(0,)pyx，11212. .( )ppn nx x即一般的平均值定理，又可以称为：算术平均不大于 P(P1)次平均。根据以上介绍的凸函数的定义及部分性质，以下就用之来证明不等式。定理 10：(Jensen 不等式)设 是区间 I 上的凸函数，则对任意()fx，有 。1,0,(12,3.nii iixIpp11()()nniiifpxfx证明：应用数学归纳法。当 时，由定义命题显然成立。设 时命题成立。即对 ,nk 1,0,(2,3.),nki ixIaa都有 11()()kiiifaxf现设 及2,.,nI10(1,.,),ki iii令 则1,2,.iikak1,iia与数学归纳法假设可推得11()()nniiiiifxfx即证明了对任何正整数 ，凸函数 总有上述不等式成立。2f注：Jensen 不等式是凸函数的一个重要性质。由于每个函数都满足 Jensen
