北京市2019届高三高考信息卷(一)理科数学试题（解析版）

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1、1 北京市人大附中北京市人大附中 20192019 届高考信息卷届高考信息卷( (一一) ) 理科数学试题理科数学试题 一、选择题共一、选择题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。求的一项。 1.若集合，或，则 A. 或B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据集合的基本运算进行求解即可 【详解】，或 则 AB= 或， 故选：B 【点睛】本题主要考查集合的并集运算，利用好数轴是解题的关键，比较基础 2.已知，则( ) A. B. C. D. 【答案

2、】D 【解析】 分析：取，利用排除法，逐一排除即可的结果. 详解：因为时， , , , 所以可排除选项，故选 D. 点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种 方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐 个验证） ；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除） ；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排 除） ；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 项和公式问题等等. 3.关于函数,下列说法错误的是 A. 是奇函数 2 B. 不是的极值点 C. 在上有且仅有 3 个零点 D. 的值域

3、是 【答案】C 【解析】 分析：利用函数的奇偶性、极值、零点、值域分析每一个选项得解. 详解：对于选项 A,f(-x)=sin(-x)+xcos(-x)=-sinx+xcosx=-(sinx-xcosx)=-f(x),所以函数 f(x)是奇函数，所以选项 A 是正确的. 对于选项 B,，可以得到函数 f(x)在是增函数，在也 是增函数，所以 0 不是函数的极值点，所以选项 B 正确. 对于选项 C,由于函数在是增函数，在是增函数，且 f(0)=0,所以函数在 上有且仅有 1 个零点，所以选项 C 错误. 对于选项 D,当 x时，当 x时，所以函数的值域为 R，所以选项 D 正确. 故选 C.

4、点睛：本题主要考查函数的奇偶性、极值、单调性和值域，意在考查函数的基础知识，属于基础题. 4.向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与 共线,则实数 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由图中可知，即可得到答案。 【详解】由图中可知，若向量与 共线,则. 答案为 D. 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的共线，属于基础题。 5.已知实数满足则的取值范围是 3 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先画出可行域，利用目标函数几何意义转化求解即可 【详解】解：实数 x，y 满足 表示的可行域如图：的几何意义是：可行域内的点与坐标原点的距离， 可知

5、P 到原点的距离最小，即 则的取值范围是：，+） 故选：D 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问 题的基本方法，属于中档题 6.已知某算法的程序框图如图所示,则该算法的功能是 4 A. 求首项为 ,公比为 的等比数列的前项的和 B. 求首项为 ,公比为 的等比数列的前项的和 C. 求首项为 ,公比为 的等比数列的前项的和 D. 求首项为 ,公比为 的等比数列的前项的和 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，可 得答案 【详解】解：由已知中的程序框图

6、可知：该程序的循环变量 n 的初值为 1，终值为 2019，步长为 2，故循环 共执行了 1009 次 由 S 中第一次累加的是 2111，第二次累加的是 2314， 故该算法的功能是求首项为 1，公比为 4 的等比数列的前 1009 项的和， 故选：C 【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答 7.某公司为了解用户对其产品的满意度,从甲、乙两地区分别随机调查了个用户,根据用户对产品的满意 度评分,分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图. 5 若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为;标准差分别为,则下面正确的是 A. B.

7、C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用频率分布直方图分别求出甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数和平均数，由此能求出结果 【详解】由频率分布直方图得：甲地区的频率为，的频率为 . 甲地区用户满意度评分的中位数，甲地区的平均数 ； 乙地区的频率为，的频率为. 乙地区用户满意评分的中位数，乙地区的平均数 ， 故选 C. 【点睛】用频率分布直方图估计总体特征数字的方法： 众数：最高小长方形底边中点的横坐标； 中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标； 平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和. 8.在直角坐标系中,对于点,定义变换

8、:将点变换为点,使得其中.这 6 样变换 就将坐标系内的曲线变换为坐标系内的曲线.则四个函数, ,在坐标系内的图象,变换为坐标系内的四条曲线（如图）依次是 A. ,B. ,C. ,D. , 【答案】A 【解析】 【分析】 用 x，y 表示出 a，b，根据反正切函数的单调性得出各自图象的 a，b 的范围及大小关系，从而得出答案 【详解】解：由可得， 对于 y3ex（x0） ，显然 y31，barctany3，y3对应的图象为； 对于 y4lnx（x1） ，aarctanxarctan1，y4对应的图象为； 对于 y1和 y2，当 0x2 时，2xx2，arctan2xarctanx2， 即当 0

9、aarctan2 时，arctany1arctany2， y1对应的图象为，y2对应的图象为 故选：A 【点睛】本题考查了反正切函数的性质，基本初等函数的性质，属于中档题 二、填空题共二、填空题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分。分。 9.在三角形 ABC 中,则_. 【答案】 或 【解析】 【分析】 由题意可得：sinA，化为 sinA，解得 A，再利用余弦定理即可得出 7 【详解】解：由题意可得：sinA，化为 sinA，解得 A或 BC22cosA， 可得 BC21 或 7， 解得 BC1 或 故答案为：1 或 【点睛】本题考查了三角形面积计算公式、

10、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 10.若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为_. 【答案】 【解析】 双曲线的渐近线方程为，双曲线的离心率为， 故答案为. 11.曲线为参数)的对称中心到直线的距离为_. 【答案】 【解析】 曲线为参数)表示以为圆心，以 1 为半径的圆，圆心即为对称中心，则圆心到直线 的距离为 即答案为. 12.能够使得命题“曲线上存在四个点满足四边形是正方形”为真命题的一个实 数 的值为_. 【答案】答案不唯一，a2 或 a2 的任意实数 【解析】 分析：由题意可设 P（m，n） ， （m0，n0） ，由对称性可得 Q（m，n） ，R（m，n） ，S（m，

11、n） ，可 8 得 m=n，代入曲线方程，由双曲线的范围，解不等式即可得到所求值 详解：曲线上存在四个点 P，Q，R，S 满足四边形 PQRS 是正方形， 可设 P（m，n） ， （m0，n0） ，由对称性可得 Q（m，n） ， R（m，n），S（m，n）， 则|PQ|=|QR|， 即 2m=2n，即 m=n， 由曲线的方程可得， 即有解， 即有 m2=4， 可得0， 解得 a2 或 a2， 故答案为：a2 或 a2 的任意实数 点睛：本题考查双曲线方程和性质，主要是范围的运用，考查对称性和不等式的解法，属于中档题 13.若,则_ 【答案】1 【解析】 即答案为 1. 14.如图,已知四面体.

12、的棱平面 ,且,其余的棱长均为 .四面体以所在的直线为轴旋转 弧 度,且始终在水平放置的平面 上方.如果将四面体在平面 内正投影面积看成关于 的函数,记为,则函 数的最小值为;的最小正周期为. 9 【答案】 【解析】 【分析】 设为中点，求出到的距离，即可得出的最小值，根据三棱锥的对称性得出的周期. 【详解】取中点为，连结， 因为， 所以， 所以平面， 所以， 因为，所以， 所以， 所以到的距离为 . 所以当时，取得最小值， 由三棱锥的对称性可知的最小正周期为 . 故答案为， 【点睛】本题主要考查实际问题中的函数模型，可根据题意将问题进行转化，属于常考题型. 三、解答题共三、解答题共 6 6

13、小题，共小题，共 8080 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 10 15.已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）在 中,为角的对边，且满足，且，求的取值范围. 【答案】 （）（） （）. 【解析】 试题分析：（）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简函数 ，在根据正弦函数的单调性解不等式（） ，即可得到 f(x) 的单调递增区间；（）由，根据正弦定理可得， 再根据三角形的性质以及二倍角的余弦公式可得，求出.从而可得 ，进而利用正弦函数的单调性可得的取值范围. 试题解析：（）由题知 . 由（） ， 解得 . 所

14、以单调递增区间为（）. （）依题意，由正弦定理，. 因为在三角形中，所以 即 当时，； 当时，. 由于，所以.则.则. 又， 所以.由， 则的取值范围是. 11 16.首项为 O 的无穷数列同时满足下面两个条件： ； (1)请直接写出的所有可能值； (2)记，若对任意成立，求的通项公式； (3)对于给定的正整数 ，求的最大值 【答案】 （1）；（2）；（3）当 为奇数时的最大值为 ; 当 为偶数时，的最大值为 . 【解析】 【分析】 (1)由递推关系得到的所有可能值； (2)由题意可知数列的偶数项是单调递增数列，先证明数列中相邻两项不可能同时为非 负数，即可得到结果； (3) 由（2）的证明知

15、，不能都为非负数，分类讨论即可得到结果. 【详解】 （1） 的值可以取 . （2）因为，因为对任意成立，所以为单调递增数列， 即数列的偶数项是单调递增数列， 根据条件， 所以当对成立 ， 下面我们证明“数列中相邻两项不可能同时为非负数” ， 假设数列中存在同时为非负数， 因为， 若 则有，与条件矛盾， 若则有， 与条件矛盾 ， 所以假设错误，即数列中相邻两项不可能同时为非负数， 此时对成立， 所以当时，即， 所以 ， ， 所以， 12 即，其中 ， 即，其中， 又， 所以是以，公差为 的等差数列， 所以 . （3） 记， 由（2）的证明知，不能都为非负数， 当，则， 根据，得到，所以， 当，则

16、， 根据，得到，所以， 所以，总有成立 ， 当 为奇数时，故的奇偶性不同，则 ， 当 为偶数时， ， 当 为奇数时， 考虑数列： ， 可以验证，所给的数列满足条件，且, 所以的最大值为 ， 当 为偶数时， 考虑数列：，-， , 可以验证，所给的数列满足条件，且， 所以的最大值为. 【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意归纳总结能力的培养，考查了转化能力和运算能力，属 于难题. 17.已知表 1 和表 2 是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表 表 1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表 日期 升旗时 刻 日期 升旗时 刻 日期 升旗时 刻 日期 升旗时 刻 13 1 月 1 日 7:36 4 月 9 日 5:46 7 月 9 日 4:5