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1、- 1 - 上海市上海市 2019 年年 1 月春季高考数学试题月春季高考数学试题 一一. .填空题（本大题共填空题（本大题共 1212 题，满分题，满分 5454 分，第分，第 1-61-6 题每题题每题 4 4 分，第分，第 7-127-12 题每题题每题 5 5 分）分） 1.已知集合，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据交集的定义，直接求解即可. 【详解】， 本题正确结果： 【点睛】本题考查集合基本运算中的交集运算，属于基础题. 2.计算_ 【答案】2 【解析】 【分析】 将原式转化为，从而得到极限值为 . 【详解】 本题正确结果： 【点睛】本题考查极限运算，属于基础题. 3.不等
2、式的解集为_ 【答案】 【解析】 【分析】 将不等式变为，解不等式得到结果. - 2 - 【详解】 本题正确结果： 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，属于基础题. 4.函数的反函数为_ 【答案】 【解析】 【分析】 求解出原函数的值域，得到反函数的定义域，再求解出反函数的解析式，得到结果. 【详解】当时，即 又 反函数为：， 【点睛】本题考查反函数的求解，易错点为忽略反函数的定义域. 5.设 为虚数单位，则的值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 把已知等式变形得 ，再由，结合复数模的计算公式求解即可 【详解】由，得，即 本题正确结果： 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法
3、，属于基础题 6.已知，当方程有无穷多解时， 的值为_. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可知两方程完全相同，通过系数化简得到方程组，求得最终结果. 【详解】方程有无穷多解 两方程相同 又 - 3 - 本题正确结果： 【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数问题，属于基础题. 7.在的二项展开式中，常数项的值为_ 【答案】15 【解析】 【分析】 写出二项展开式通项，通过得到，从而求得常数项. 【详解】二项展开式通项为： 当时， 常数项为： 本题正确结果： 【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题. 8.在中，且，则_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据正弦定理求出，再利用余弦定理求出
4、. 【详解】由正弦定理可知：，又 由余弦定理可知： 本题正确结果： 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题. 9.首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4 人参加连续 5 天的志愿者活动，其中甲连续参加 2 天， - 4 - 其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有_种（结果用数值表示） 【答案】24 【解析】 【分析】 首先安排甲，可知连续 天的情况共有 种，其余的人全排列，相乘得到结果. 【详解】在 天里，连续 天的情况，一共有 种 剩下的 人全排列： 故一共有：种 【点睛】本题考查基础的排列组合问题，解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素，要优先考虑，然
5、后 再考虑普通元素. 10.如图，已知正方形，其中，函数交于点 ，函数交于点 ，当 最小时，则 的值为_ 【答案】 【解析】 【分析】 通过函数解析式得到两点坐标，从而表示出，利用基本不等式得到最值，从而得到取最值时的 条件，求解得到结果. 【详解】依题意得：， 则 当且仅当即时取等号，故 本题正确结果： 【点睛】本题考查基本不等式的应用，关键在于能够通过坐标构造出关于 的基本不等式的形式，从而利用 - 5 - 取等条件得到结果. 11.在椭圆上任意一点 ， 与 关于 轴对称，若有，则与的夹角范围为 _ 【答案】 【解析】 【分析】 通过坐标表示和得到；利用向量数量积运算得到所求向量夹角的余弦
6、值为： ；利用的范围得到的范围，从而得到角的范围. 【详解】由题意：， 设，因为，则 与结合 ，又 与结合，消去 ，可得： 所以 本题正确结果： 【点睛】本题考查向量坐标运算、向量夹角公式应用，关键在于能够通过坐标运算得到变量的取值范围，将 问题转化为函数值域的求解. 12.已知集合，存在正数 ，使得对任意，都有，则 的值是 _ 【答案】1 或 【解析】 【分析】 根据 所处的不同范围，得到和时， 所处的范围；再利用集合 的上下限，得到 与 的等量关系，从而构造出方程，求得 的值. - 6 - 【详解】，则只需考虑下列三种情况： 当时， 又 且 可得： 当即时，与构造方程相同，即，不合题意，舍
7、去 当即时 可得：且 综上所述：或 【点睛】本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过 的不同取值范围，得到 与 所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于 的等量关系，从而构造出关于 的方程；难点在于能 够准确地对 的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属于难题. 二二. .选择题（本大题共选择题（本大题共 4 4 题，每题题，每题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13.下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 依次判断各个函数的值域，从而得到结果. 【详解】 选项：值域为，错误 选项：值域为，正确
8、 选项：值域为 ，错误 - 7 - 选项：值域为，错误 本题正确选项： 【点睛】本题考查初等函数的值域问题，属于基础题. 14.已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 通过函数的图象可知，函数值与自变量距对称轴距离成正比，由此可判断为充要条件. 【详解】设，可知函数对称轴为 由函数对称性可知，自变量离对称轴越远，函数值越大；反之亦成立 由此可知：当，即时， 当时，可得，即 可知“”是“”的充要条件 本题正确选项： 【点睛】本题考查充分必要条件的判断问题，属于基础题. 15.已知平面两两垂直，
9、直线满足：，则直线不可能满足以下哪种关 系（ ） A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面 【答案】B 【解析】 【分析】 通过假设，可得平行于的交线，由此可得 与交线相交或异面，由此不可能存在，可得正 确结果. 【详解】设，且 与均不重合 假设：，由可得：， 又，可知， 又，可得： 因为两两互相垂直，可知 与 相交，即 与 相交或异面 若 与 或 重合，同理可得 与 相交或异面 - 8 - 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行 本题正确选项： 【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两 条线之间的位置关系，从而得到正确
10、结果. 16.以为圆心的两圆均过，与 轴正半轴分别交于，且满足，则点 的轨迹是（ ） A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线 【答案】A 【解析】 【分析】 根据圆心和圆上点建立关于半径的方程，得到和；根据整理出 ，从而得到点的轨迹. 【详解】因为 同理： 又因为，所以 则，即 设，则为直线 本题正确选项： 【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求解问题，关键在于能够将所求动点的横纵坐标建立起等量关系，从而 转化为轨迹方程. 三三. .解答题（本大题共解答题（本大题共 5 5 题，共题，共 14+14+14+16+18=7614+14+14+16+18=76 分）分） 17.如图，在正三棱锥中，
11、（1）若的中点为，的中点为 ，求与的夹角； （2）求的体积. - 9 - 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）由中位线可知，从而所求夹角即为，根据余弦定理，可求得余弦值，从而得到的大 小；（2）根据正三棱锥的性质，可求得几何体的高，再根据棱锥体积公式求得结果. 【详解】 （1）分别为中点，可知： 与夹角即为与夹角 在中，由余弦定理可得： 即与的夹角为 （2）作面，连接，如下图所示： 三棱锥为正三棱锥 为的中心且落在上 【点睛】本题考查异面直线所成角、空间几何体体积的求解问题.求解异面直线所成角问题的关键在于能够 通过平行关系将直线进行平移，转化为相交直线所成角的问题. 18.已
12、知数列，前 项和为. - 10 - （1）若为等差数列，且，求； （2）若为等比数列，且，求公比 的取值范围. 【答案】 （1）；（2）； 【解析】 【分析】 （1）通过，求解出 ，通过求和公式得到；（2）根据可得且，从而得到不 等式，解不等式得到结果. 【详解】 （1）由且 （2）由题意可知 则 且 或 又 【点睛】本题考查等差数列求和、等比数列前 项和的应用问题.利用等比数列前 项和的极限求解 的范围 的关键在于能够明确存在极限的前提，然后通过公式得到关于 的不等式，求解不等式得到结果. 19.已知抛物线方程为焦点， 为抛物线准线上一点， 为线段与抛物线的交点，定义： . （1）当时，求；
13、 （2）证明：存在常数 ，使得； （3）为抛物线准线上三点，且，判断与的关系. 【答案】 （1） ；（2）2；（3）见解析 【解析】 【分析】 （1）求解出 点坐标，然后得到和，从而求得；（2）通过假设 点坐标得到直线方程，与抛 - 11 - 物线联立后得到，代入，整理得到结果；（3）由可知为中点，假设三点坐 标，代入，将式子整理为和的形式，然后通过平方运算可得到 ，从而得到结论：. 【详解】由题意可知：，准线方程为： （1）因为 联立方程 则 （2）当时，易得 设，直线，则 联立， 由对称性可知亦成立 综上所述，存在，使得 （3）由可知为中点 - 12 - 设，则 因为 又因 所以 【点睛】
14、本题考查抛物线中的定值问题、直线与抛物线的综合应用.解决第三问三者之间关系的关键是能够 明确问题的本题，其本质为三角形中的三边关系问题：为的中线，则由三角形两边之和大于第三边， 可知；明确本质之后即明确了证明方向，对于学生的转化与化归能力要求较高. 20.已知等差数列的公差，数列满足，集合. （1）若，求集合 ； （2）若，求 使得集合 恰好有两个元素； （3）若集合 恰好有三个元素：， 是不超过 7 的正整数，求 的所有可能的值. 【答案】 （1）；（2）或；（3） 【解析】 【分析】 （1）根据正弦函数周期性的特点，可知数列周期为 ，从而得到 ；（2） 恰好有两个元素，可知 或者，求解得到
15、 的取值；（3）依次讨论的情况，当时，均可得到符合 题意的集合 ；当时，对于，均无法得到符合题意的集合 ，从而通过讨论可知. 【详解】 （1）， ， ， 由周期性可知，以 为周期进行循环 （2）， 恰好有两个元素 - 13 - 或 即或 或 （3）由 恰好有 个元素可知： 当时，集合，符合题意； 当时， 或 因为为公差的等差数列，故 又，故 当时，如图取，符合条件 当时， 或 因为为公差的等差数列，故 又，故 当时，如图取，符合条件 当时， 或 因为为公差的等差数列，故 - 14 - 又，故 当时，如图取时，符合条件 当时， 或 因为为公差的等差数列，故 又，故 当时，因为对应 个正弦值，故必
16、有一个正弦值对应三个点，必然有，即 ，即，,不符合条件； 当时，因为对应 个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即 ，即，不是整数，故不符合条件； 当时，因为对应 个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有或 若，即，不是整数， 若，即，不是整数， 故不符合条件； 综上： 【点睛】本题考查三角函数、数列、函数周期性的综合应用问题.解题的难点在于能够周期，确定等量关系， 从而得到 的取值，再根据集合 的元素个数，讨论可能的取值情况，通过特殊值确定满足条件的 ；对于无 - 15 - 法取得特殊值的情况，找到不满足条件的具体原因.本题对于学生的综合应用能力要求较高，属于难题. - 16 -
