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1、点、直线和圆的位置关系适用学科初中数学适用年级初中三年级适用区域通用课时时长（分钟）120知识点1、点和圆的位置关系2、直线和圆的位置关系3、切线的判定、切线长定理 教学目标1、掌握点和圆及直线和圆的位置关系并能解决相关的数学问题2、培养学习数学的兴趣，提升解题能力教学重点掌握点和圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系教学难点直线和圆的位置关系综合题的解答.教学过程一、课堂导入问题：观察上面太阳升起的图片，思考直线和圆有怎样的位置关系？二、复习预习1、圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半2、圆周角定理的推论：（1）同圆或等圆中，相等的圆周角所对
2、的弧也相等.（2）半圆（或直径）所对圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径3、其它推论：圆周角度数定理，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等.圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.三、知识讲解考点1点与圆的位置三种位置关系如图1所示，设O的半径为r，A点在圆内，OArB点在圆上，OB= rC点在圆外，OCr反之，在同一平面上，已知的半径为rO，和A，B，C三点：若OAr，则A点在圆内 若OB= r，则B点在圆上 若OCr，则C点在圆外考点2直线和圆的
3、位置关系（设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r.）1、当dr时，直线与圆相离(如图所示）2、当dr时，直线与圆相交（如图所示）3、当d=r时，直线与圆相切（如图所示），此时直线即为圆的切线.考点3切线的判定和性质1、切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径2、推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线考点4切线长定理1、切线长定义：从圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长(如图AB长度即为切线长）. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，这两条切线长相等，这
4、一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.如图所示，PA,PB为圆的两条切线，则PA=PB,APO=BPO.考点5三角形的内心外心经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心这个三角形叫做这个圆的内接三角形三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。四、例题精析例1 【题干】若圆的半径为4cm，如果一个点和
5、圆心的距离为6cm，则这个点和这个圆的位置关系是（ ） A点在圆上 B点在圆外C点在圆内 D点在圆内或点在圆外【答案】B【解析】圆的半径为4cm，点和圆心的距离为6cm，46，这个点和这个圆的位置关系是点在圆外故选B例2 【题干】如图所示，正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过O作EFAB，交BC于E，交AD于F，则以点B为圆心，长为半径的圆与直线AC，EF的位置关系分别是多少？ 【答案】由题中已知条件，得BOAC，BO=BD=，即点B到AC的距离为，与B的半径相等；直线AC与B相切EFAB，ABC=90，BEEF，垂足为E且BE=BC=2=1，直线EF与B相交【解析】此题重点是根
6、据题意和正方形的性质，分别找到圆心到直线的距离，再根据数量关系判断其位置关系若dr，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若dr，则直线与圆相离例3 【题干】如图，在直角坐标系XOY中，已知两点O1（3，0）、B（-3，0），O1与X轴交于原点0和点A，E是Y轴上的一个动点，设点E的坐标为（0，m）（1）当点O1到直线BE的距离等于3时，问直线BE与圆的位置关系如何？求此时点E的坐标及直线BE的解析式；（2）当点E在Y轴上移动时，直线BE与O1有哪几种位置关系？直接写出每种位置关系时的m的取值范围【答案】（1）当m0时，如图所示：由已知得BE是O1的切线，设切点为M，连接O1M，则O1MB
7、M，O1M=3，O1（3，0）、B（-3，0），BO1=6，BM=3，又OEBO，RtBOERtBMO1，=，即=，OE=，m=，E（0，）设此时直线BE的解析式是y=kx+m，将B（-3，0）及E（0，）代入上式，解得，直线BE的解析式为：y=x+，当m0时，E（0，-）由圆的对称性可得：k=-，m=-时，直线BE也与O1相切，同理可得：y=-x-（2）当m或m-时，直线与圆相离，当m=或m=-时，直线与圆相切，当-m时，直线与圆相交【解析】（1）根据题意得出O1的半径，判断出直线BE与O1的关系，根据题意画出直线BE，连接O1M，由利用勾股定理求出BM的长，由相似三角形的判定定理得出RtB
8、MO1RtBOE，求出BE的长，进而得出E点坐标，用带定系数法即可求出直线BE的解析式，根据对称的性质可知当m0时的直线解析式；（2）根据（1）所求出的m的值，分三种情况进行讨论，即可得出直线BE与O1的位置关系例4 【题干】已知O的半径为5cm，P为圆外一点，A为线段OP的中点，当OP=12时，点A和O的位置关系是（ ）A点A在O内B点A在O外C点A在O上D无法确定【答案】B【解析】A为线段OP的中点，OP=12，OA=6，OA5，点A在O外，故选B例5 【题干】如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A（3，0）为圆心的圆与x轴交于原点O和点B，直线l与x轴、y轴分别交于点C（-2，0）、D（
9、0，3）（1）求出直线l的解析式；（2）若直线l绕点C顺时针旋转，设旋转后的直线与y轴交于点E（0，b），且0b3，在旋转的过程中，直线CE与A有几种位置关系？试求出每种位置关系时，b的取值范围【答案】（1）设直线l的解析式为：y=kx+b，将点C（-2，0）、D（0，3）的坐标代入有：，解得：k=，b=3直线l的解析式为：y=（2）由题意得：旋转得到的直线l的解析式为：y=，当直线与圆相切时，有=3，解得：b=，当0b时，直线与圆相离；当b=时，直线与圆相切；当b3时，直线与圆相交【解析】（1）设直线l的解析式为：y=kx+b，将点C（-2，0）、D（0，3）的坐标代入求出k，b的值即可；（
10、2）直线CE与A有相交、相切和相离3种位置关系，然后分别求出对应情况下的b的取值范围即可例6 【题干】如图，A与B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E是切点，若CED，ECD，B的半径为R，则的长度是（ ）A BC D【答案】B【解析】：由切线长定理，知：PEPDPC，设PECz所以，PEDPDE（xz），PCEPECz，PDCPCD（yz），DPE（1802x2z），DPC（1802y2z），在PEC中，2z（1802x2z）（1802y2z）180，化简，得：z（90xy），在四边形PEBD中，EBD（180DPE）180（1802x2z）（2x2z）（2x1802x2y
11、）（1802y），所以，弧DE的长为：例7 【题干】如图1，圆O1与圆O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与圆O1交于点C，与圆O2交于点D经过点B的直线EF与圆O1交于点E，与圆O2交于点F（1）求证：CEDF；（2）在图1中，若CD和EF可以分别绕点A和点B转动，当点C与点E重合时（如图2），过点E作直线MNDF，试判断直线MN与圆O1的位置关系，并证明你的结论22【答案】（1）证明：连接AB；四边形ABEC是O1的内接四边形，BAD=E又四边形ADFB是O2的内接四边形，BAD+F=180E+F=180CEDF（2）【解析】MN与O1相切， 过E作O1的直径EH，连接AH和AB；MN
12、DF，MEA=D又D=ABE，ABE=AHE，MEA=AHEEH为O1的直径，EAH=90AHE+AEH=90MEA+AEH=90又EH为O1的直径，MN为O1的切线【解析】（1）只需连接AB，利用“圆的内接四边形的外角等于内对角”证明E+F=180，从而证明CEDF；（2）作辅助线：构造直径所对的圆周角是90利用平行线的性质求出ABE=AHE，根据“圆的内接四边形的外角等于内对角”得出D=ABE，所以得到MEA=AHE，MEA+AEH=90，利用切线的判定定理，可知MN为O1的切线例8 【题干】如图，以点O（1，1）为圆心，OO为半径画圆，判断点P（-1，1），点Q（1，0），点R（2，2）
13、和O的位置关系【答案】OO=r=，OP=2同理可得：OQ=1，OR=， OPr，点P在O外；OQr，点Q在O内；OR=r，点R在O上【解析】点与圆的位置关系由三种：设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当dr时，点在圆外；当dr时，点在圆内例9 【题干】已知：如图，AB是O的直径，BC是O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是O的切线【答案】证明：连接OD OA=OD，1=2 ADOC， 1=3，2=4 因此 3=4 又 OB=OD，OC=OC， OBCODC OBC=ODC BC是O的切线， OBC=90， ODC=90 DC是O的切线【解析】因为AB是直径，BC切O于B，所以BCAB要证明DC是O的切线，而DC和O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DCOD也就是只要证明ODC=OBC.而这两个角分别是ODC和OBC的内角，所以只要证ODCOBC这是不难证明的例10【题干】如图，将直角梯形ABCD置于直角坐标系中，点A和点C分别在x轴和y轴
