数学建模中预测方法

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1、数学建模中的预测方法,沈 炎 峰 TEL:664802 2015.8.1,2,历届CUMCM数据预测题目,2003年 A题 SARS的传播问题 2005年 A题 长江水质评价和预测问题 2006年 B题 艾滋病疗法的评价及疗效的 预测问题 2007年 A题中国人口增加预测问题 2009年 D题 “会议筹备”对与会人数的确定 2010 B题 上海世博会影响力 相关数据预测 2012 A题 葡萄酒质量评价和相关预测问题 2013 A题 交通事故阶段车流量的分析与预测,3,一、预测的概念,系统预测：根据系统发展变化的实际数据和历史资料，运用现代的科学理论和方法，以及各种经验、判断和知识，对事物在未来

2、一定时期内的可能变化情况，进行推测、估计和分析。,4,预测的特点 科学性：据统计资料和目前信息，运用一定程序、方法和模型，分析预测对象与相关因素的相互联系，而揭示预测对象特性和变化规律。 近似性：受许多随机因素的影响，事前预测的结果，往往与将来实际发生的结果有一定偏差。 局限性：对预测对象的认识常受知识、经验、观察和分析能力限制，又掌握资料和信息不够准确完整，或建模时简化等，导致预测的分析不够全面。,一、预测的概念,5,根据预测的内容：科学预测、技术预测、社会预测、经济预测、军事预测 根据预测的期限：短期预测（1年内）、中期预测（25年）、长期预测（510年及以上） 根据预测的性质：定性预测、

3、定量预测、综合预测,预测分类,一、预测的概念,6,预测技术的种类繁多，据统计有150多种。其中广泛采用有1520种。,一、预测的概念,7,预测步骤,一、预测的概念,8,Model Assessment Objectives: Choose an appropriate model from candidates Estimate the prediction performance of a given model For both of these purposes, the best approach is to run the procedure on an independent te

4、st set, if one is available If possible one should use different test data for (1) and (2) above: a validation set for (1) and a test set for (2) Often there is insufficient data to create a separate validation or test set. In this instance Cross-Validation is useful.,9,K-Fold Cross-Validation Divid

5、e the data into K roughly equal parts (typically K=5 or 10) for each k = 1,2,K, fit a candidate model to the other K-1 parts, and compute its error in predicting the kth part: This gives the cross-validation error do this for many models and choose the model that makes smallest.,10,二、 时间序列分析预测法,时间序列

6、：系统中某一变量或指标的数值或统计观测值，按时间顺序排列成一个数值序列，就称为时间序列(Time Series) ，又称动态数据。,某市六年来汽车货运量（亿吨公里）,11,二、 时间序列分析预测法,系统预测中讨论的时间序列，一般是某随机过程的一个样本。通过对其分析研究，找出动态过程的特性、最佳的数学模型、估计模型参数，并检验利用数学模型进行统计预测的精度，是时间序列分析的内容。,某市六年来汽车货运量（亿吨公里）,12,二、 时间序列分析预测法,某市六年来汽车货运量,13,时间序列特征： 趋势性T：总体上持续上升或下降的总变化趋势，其间的变动幅度可能有时不等。 季节性S：以一年为周期，四个季节呈

7、某种周期性，各季节出现波峰和波谷的规律类似。 周期性C：决定于系统内部因素的周期性变化规律，又分短周期、中周期、长周期等几种。 不规则性I：包括突然性和随机性变动两种。,二、 时间序列分析预测法,任一时间序列可表示为几种变动的不同组合的总结果，且可表示为： 加法模型：Y=T+S+C+I 乘法模型：Y=TSCI,14,二、 时间序列分析预测法,某市六年来汽车货运量时间序列分解, 趋势项, 周期项, 随机项,15,平滑预测法 包括移动平均法和指数平滑法两种，其具体是把时间序列作为随机变量，运用算术平均和加权平均的方法做未来趋势的预测。这样得到的趋势线比实际数据点的连线要平滑一些，故称平滑预测法。

8、趋势外推预测法 根据预测对象历史发展的统计资料，拟合成预先指定的某种时间函数，并用它来描述预测目标的发展趋势。 平稳时间序列预测法 由于平稳时间序列的随机特征不随时间变化，所以可利用过去的数据估计该时间序列模型的参数，从而可以预测未来。,二、时间序列分析预测法-分类,16,1 移动平均法,移动平均法：在原时间序列内依次求连续若干期的平均数作为其某一期的趋势值，如此逐项递移求得一系列的移动平均数，形成一个新的、派生的平均数时间序列。 在新的时间序列中偶然因素的影响被削弱，从而呈现出现象在较长时间的基本发展趋势。,17,把时间序列连续 N 期的平均数作为最近一期（第t期）的趋势值:,N 期移动平均

9、数,18,把时间序列连续 N 期的平均数作为 N 期的中间一期的趋势值。 如果N为奇数，则把N期的移动平均值作为中间一期的趋势值。 如果N为偶数，须将移动平均数再进行一次两项移动平均，以调整趋势值的位置，使趋势值能对准某一时期)。相当于对原序列进行一次N+1 项移动平均，首末两个数据的权重为0.5，中间数据权重为1。,中心化移动平均,19,Example 1,新卫机械厂的销售收入（万元）：,20,中心移动平均法,21,移动平均的结果,22,移动平均法一般用来消除不规则变动的 影响，把序列进行修匀（smoothing)， 以观察序列的其他成分。 如果移动平均的项数等于季节长度则可以消除季节成分的

10、影响； 如果移动平均的项数等于平均周期长度的倍数则可以消除循环变动的影响。 由于区分长期趋势和循环变动比较困难，在应用中有时对二者不做区分，而是把两项合在一起称为“趋势循环”成分（trend-cycle)。,移动平均法的应用,23,指数平滑方法的基本原理,指数平滑是一种加权移动平均，既可以用来描述时间序列的变化趋势，也可以实现时间序列的预测。 指数平滑预测的基本原理是：用时间序列过去取值的加权平均作为未来的预测值，离当前时刻越近的取值，其权重越大。,24,式中：,表示时间序列第t+1期的预测值；,表示时间序列第t期的实际观测值；,表示时间序列第t期的预测值；,表示平滑系数，0,1。,单参数指数

11、平滑的模型为：,25,适用场合,单参数（一次）指数平滑适用于不包含长期趋势和季节成分的时间序列预测 如果原序列有增长趋势，平滑序列将系统的低于实际值 如果原序列有下降趋势，平滑序列将系统的高于实际值,26,平滑系数的确定,选择合适的平滑系数是提高预测精度的关键。 如果序列波动较小，则平滑系数应取小一些，不同时期数据的权数差别小一些，使预测模型能包含更多历史数据的信息； 如果序列趋势波动较大，则平滑系数应取得大一些。这样，可以给近期数据较大的权数，以使预测模型更好地适序列趋势的变化。 统计软件中可以根据拟合误差的大小自动筛选最优的平滑系数值。,27,初始预测值的确定,初始预测值的确定 等于第一个

12、观测值 等于前k个值的算术平均 适用场合：单参数（一次）指数平滑适用于不包含长期趋势和季节成分的平稳时间序列预测,28,案例分析,新卫机械厂销售额的单参数指数平滑预测 分析预测创建模型方法选择“指数平滑”;根据需要设置“条件”。 拟合情况与2年的预测值（下页图）。 SPSS Statistics 估计的a=0.689. 拟合数据的MAPE=12.847%.,29,单参数指数平滑的图形结果,30,二、时间序列分析预测法-平稳时间序列,时序图检验 根据平稳时间序列均值与方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、无明显趋势及周期特征 自相关图

13、检验 平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自相关系数来描述就是随着延迟期数的增加，平稳序列的自相关系数对很快地衰减向零。 纯随机性检验（白噪声检验）,平稳性检验,31,AR(p)模型 MA(q)模型 ARMA（p，q）模型,平稳时间序列分析模型： ARMA模型的全称是自回归移动平均（auto regression moving average）模型，它是目前最常用的拟合平稳时间序列的模型。ARMA模型又可细分为AR模型、MA模型和ARMA模型三大类。,二、时间序列分析预测法-平稳时间序列,32,确定性时间序列分析（平滑法、趋势外推拟合法） 通常这种非平稳的时间序列显示出非常明显的规律性，比如有

14、显著的趋势或有固定的变化周期 。 随机性时间序列分析（ARIMA模型 ） 由随机因素导致的的非平稳时间序列，通常这种随机波动非常难以确定和分析 。通过差分法或适当的变换使非平稳序列的化成为平稳序列 。,在实际情况中，绝大部分序列都是非平稳的，因而对非平稳序列的分析更普遍、更重要，相应地各种分析方法也更多。通常包含下列两种方法：,二、时间序列分析预测法-非平稳序列,非平稳序列分析法,33,ARIMA(Autoregressive Integrated Moving Average)模型，差分自回归滑动平均模型（滑动也译作移动），又称求合自回归滑动平均模型。 ARIMA（p，d，q）中，AR是“自

15、回归“，p为自回归项数；MA为“滑动平均“，q为滑动平均项数，d为使之成为平稳序列所做的差分次数（阶数）。 ARIMA（p，d，q）模型是ARMA（p，q）模型的扩展。,二、时间序列分析预测法-非平稳序列,34,Box-Jenkins法-时间序列分析法,35,例：建立国际航线旅客月度人数的ARIMA模型。我们已有一组1949年至1961年国际航线旅客月度人数的144条记录。使用ARIMA过程进行建模和预测。其数据列于下表所示。,二、时间序列分析预测法实例分析,36,（1）绘制时序图,二、时间序列分析预测法实例分析,37,（2）对平稳性和季节性的识别,对平稳性和季节性的识别通常有时序图和自相关图

16、两种方法，或两者结合起来一起判断。 时序图，是通过直接观察时间序列折线图来检验序列是否平稳。如果时间序列有某种趋势或呈现出增加或减少范围的扩散现象，则序列是不平稳的。 自相关图。如果序列的折线图并不明显地呈现上述现象，而我们又无法直接判断序列究竟平稳与否，通常可以利用自相关图来检测序列是否平稳。,二、时间序列分析预测法实例分析,38,二、时间序列分析预测法实例分析,39,（3）变换不平稳序列为平稳序列,如果时间序列呈线性趋势，均值不是常数，利用一阶差分将产生一个平稳序列。 如果时间序列呈二次趋势，均值不是常数，利用二阶差分将产生一个平稳序列。 如果时间序列呈现出随时间的上升或下降而偏差，方差不是常数，通常可利用取自然对数转化为平稳序列。 如果时间序列呈现指数趋势，均值和方差都不是常数，通常也可利用取自然对数转化为平稳序列。 如果时间序列呈现“相对环”趋势，通常将数据除以同时发生的时间序列的相应值转化为平稳序列。,二、时间序列分析预测法实例分析,40,a）取对数消除振幅变大趋