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1、第五篇 向量代数与空间解析几何第8章 向量代数与空间解析几何 解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化. 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位.本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第1节 空间直角坐标系1.1 空间直角坐标系 用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实
2、现.1.1.1 空间直角坐标系过定点，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x轴(横轴）、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)，它们都以为原点且具有相同的长度单位. 通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住轴，当右手的四指从x轴的正向转过角度指向y轴正向时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样就建立了一个空间直角坐标系（图8-1），称为直角坐标系，点叫做坐标原点.图8-1在直角坐标系下，数轴Ox,Oz统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为，三个坐标平面将空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限（图8-2），分别用、表示.图8-2 1
3、.1.2 空间点的直角坐标设为空间中的任一点，过点分别作垂直于三个坐标轴的三个平面，与轴、轴和轴依次交于、三点，若这三点在轴、轴、轴上的坐标分别为，于是点就唯一确定了一个有序数组，则称该数组为点在空间直角坐标系中的坐标，如图8-3，分别称为点的横坐标、纵坐标和竖坐标 图8-3反之，若任意给定一个有序数组，在轴、轴、轴上分别取坐标为，的三个点、，过这三个点分别作垂直于三个坐标轴的平面，这三个平面只有一个交点，该点就是以有序数组为坐标的点，因此空间中的点就与有序数组之间建立了一一对应的关系注：、这三点正好是过点作三个坐标轴的垂线的垂足1.2 空间中两点之间的距离 设两点，则与之间的距离为 （8-1
4、-1）事实上，过点和作垂直于平面的直线，分别交平面于点和，则 ，显然，点的坐标为，点的坐标为（如图8-4）图8-4由平面解析几何的两点间距离公式知，和的距离为：过点作平行于平面的平面，交直线于，则，因此的坐标为，且，在直角三角形中，所以点与间的距离为例1 设与为空间两点，求与两点间的距离解 由公式（8-1-1）可得，与两点间的距离为例2 在轴上求与点和等距的点解 由于所求的点在轴上，因而点的坐标可设为，又由于，由公式（8-1-1），得从而解得，即所求的点为习题8-11讨论空间直角坐标系的八个卦限中的点的坐标的符号2在坐标轴上的点和在坐标平面上的点的坐标各有何特点？3在空间直角坐标系中，画出下列
5、各点： ；4求点关于各坐标平面对称的点的坐标5求点关于各坐标轴对称的点的坐标6求下列各对点间的距离：(1) 与；(2) 与7在坐标平面上求与三点、和等距的点8求点与原点、各坐标平面和各坐标轴的距离9. 证明以为顶点的三角形ABC是一等腰三角形.第2节 空间向量的代数运算2.1 空间向量的概念在日常生活中，我们经常会遇到一些量，如质量、时间、面积、温度等，它们在取定一个度量单位后，就可以用一个数来表示这种只有大小没有方向的量，叫做数量（或标量）但有一些量，如力、位移、速度、电场强度等，仅仅用一个实数是无法将它们确切表示出来，因为它们不仅有大小，而且还有方向，这种既有大小又有方向的量，叫做向量（或
6、矢量）在数学上，我们用有向线段来表示向量，称为向量的起点，称为向量的终点，有向线段的长度就表示向量的大小，有向线段的方向就表示向量的方向通常在印刷时用黑体小写字母，来表示向量，手写时用带箭头的小写字母来记向量.向量的长度称为向量的模，记作或，模为的向量叫做单位向量，模为的向量叫做零向量，记作0，规定：零向量的方向可以是任意的本章我们讨论的是自由向量，即只考虑向量的大小和方向，而不考虑向量的起点，因此，我们把大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，记作.规定：所有的零向量都相等.与向量大小相等，方向相反的向量叫做的负向量(或反向量)，记作平行于同一直线的一组向量称为平行向量（或共线向量）平行于同一
7、平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量组共面. 2.2 向量的线性运算 2.2.1 向量的加法我们在物理学中知道力与位移都是向量，求两个力的合力用的是平行四边形法则，我们可以类似地定义两个向量的加法定义1 对向量，从同一起点作有向线段、分别表示与，然后以、为邻边作平行四边形，则我们把从起点到顶点的向量称为向量与的和（图8-5），记作这种求和方法称为平行四边形法则 图8-5 图8-6若将向量平移，使其起点与向量的终点重合，则以的起点为起点，的终点为终点的向量就是与的和(图8-6），该法则称为三角形法则多个向量，如、首尾相接，则从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量就是它们的和
8、 （图8-7）图8-7对于任意向量，满足以下运算法则：(1) (交换律)(2) (结合律)(3) 2.2.2 向量的减法定义2 向量与的负向量的和，称为向量与的差，即 特别地，当时，有.由向量减法的定义，我们从同一起点作有向线段，分别表示，则也就是说，若向量与的起点放在一起，则，的差向量就是以的终点为起点，以的终点为终点的向量（图8-8） 图8-82.2.3数乘向量定义3 实数与向量的乘积是一个向量，记作，的模是，方向： 当时，与同向；当时，与反向；当时，对于任意向量，以及任意实数，有运算法则：(1) (2) (3) 向量的加法、减法及数乘向量运算统称为向量的线性运算，称为，的一个线性组合 特
9、别地，与同方向的单位向量叫做的单位向量，记做，即. 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量. 例1 如图8-9，在平行六面体中，设,试用来表示对角线向量图8-9解 ； .由于向量与平行，所以我们通常用数与向量的乘积来说明两个向量的平行关系.即有,定理1 向量与非零向量平行的充分必要条件是存在一个实数，使得.2.3 向量的坐标表示2.3.1向量在坐标轴上的投影设为空间中一点，过点作轴的垂线，垂足为，则称为点在轴上的投影(图8-10)图8-10若为空间直角坐标系中的一点，则在轴、轴、轴上的投影为、，如图8-11所示图8-11设向量的始点与终点在轴的投影分别为、，那么轴
10、上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影，记作，轴称为投影轴.图8-12当与轴同向时，投影取正号，当与轴反向时，投影取负号注 (1) 向量在轴上投影是标量(2) 设为空间直角坐标系中的一个向量，点的坐标为，点的坐标为，显然，向量在三个坐标轴上的投影分别为， 2.3.2向量的坐标表示 取空间直角坐标系，在轴、轴、轴上各取一个与坐标轴同向的单位向量，依次记作，它们称为坐标向量空间中任一向量，它都可以唯一地表示为数乘之和事实上，设，过、作坐标轴的投影，如图8-13所示由于与平行，与平行，与平行，所以，存在唯一的实数，使得，即 (8-2-1)图 8-13我们把(8-2-1)式中系数组成的有序数组叫做向量的
11、直角坐标，记为，向量的坐标确定了，向量也就确定了显然，(8-2-1)中的是向量分别在轴、轴、轴上的投影因此，在空间直角坐标系中的向量的坐标就是该向量在三个坐标轴上的投影组成的有序数组例2 在空间直角坐标系中设点，求向量及的直角坐标解 由于向量的坐标即为向量在坐标轴上的投影组成的有序数组，而向量的各投影即为终点坐标与起点坐标对应分量的差所以向量的坐标为，向量的坐标为例3(定比分点公式) 设和为两已知点，有向线段上的点将它分为两条有向线段和，使它们的值的比等于数，即，求分点的坐标. 图8-14解 如图8-14，因为与在同一直线上，且同方向，故，而 ， 所以 ， 解得 当l=1, 点的有向线段的中点
12、, 其坐标为 , , .2.3.3向量的模与方向余弦的坐标表示式向量可以用它的模与方向来表示，也可以用它的坐标式来表示，这两种表示法之间的是有联系的.设空间向量与三条坐标轴的正向的夹角分别为，规定： ,称为向量的方向角. 图8-15因为向量的坐标就是向量在坐标轴上的投影，因此 (8-2-2) 公式(8.2.2)中出现的称为向量的方向余弦.而 是与向量同方向的单位向量.而 ，故向量的模为 (8-2-3)从而向量的方向余弦为 (8-2-4)并且 . 例4 已知两点和,求向量的模、方向余弦和方向角. 解 ；. 例5 已知两点和，求与同方向的单位向量. 解 因为 所以 于是 2.4 向量的数量积在物理中我们知道，一质点在恒力的作用下，由点沿直线移到点，若力与位移向量的夹角为，则力所作的功为类似的情况在其他问题中也经常遇到由此，我们引入两向量的数量积的概念定义1 设，为空间中的两个向量，则数叫做向量与的数量积(也称内积或点积)，记作，读作“点乘”即 （8-2-5）其中表示向量与的夹角，并且规定 两向量的数量积是一个数量而不是向量，
