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1、苏科版数学网 免费提供优秀苏科版初中数学教案、课件和试卷。关节三函数知识的三个支点函数是“数与代数”部分最重要的内容之一，它在实际问题及综合性问题中都有着极为广泛的应用，而且在以后的数学乃至其他学科的学习中，也都发挥着基础性与工具性的作用。那么，怎样才算较好地掌握了函数知识呢？从一道简单的数学题说起。题目：若满足不等式组 那么，代数式最大值和最小值分别是多少？简解：由所给的不等式组解得又 可将其中，看作是一段抛物线，该抛物线的对称轴为且开口向上，可知原式在时有最大值，21，在时有最小值15。 析评：以上解法的思考基础可分为三层：第一层，认识到这是个求函数最值的问题；第二层，求得这个函数的标准
2、表示式为第三层，用二次函数的性质解决原来的问题。由此可以看出：把未指明的函数总题恰当地归为函数问题。再定出其表达式，进而应用函数的性质解决问题，正是掌握与运用函数知识的三大支点。函数知识的三个支点：一、明意义：指总能在需要的情况下恰如其分地将问题归结为函数，即形成“函数思想”；二、定表达式；三、用性质：指恰当地运用函数的性质解决相应的问题。一、明意义1、函数“明意义”的基本体现对函数相关的问题，能够从以下两个方面来观察、认识和把握：能从“总体感知”和“具体对应方式”两个视角来认识与考虑问题；能从“整体过程”和某些“特殊值的对应情况”来认识与考虑问题；例1 如图所示：边长分别为1和2的两个正方形
3、，其一边在同一水平纸上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为，大正方形内除去小正方形部分的面积为（阴影部分），那么与的函数图象大致应为（ ）ABCD减至433定值4增值 【观察与思考】“总体感知”：大正方形的面积为4，小正方形的面积为1，在小正方形平移的整个过程中阴影部分面积变化的过程是解：选A。GCDEFH 例2 已知：如图（1），点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒的速度沿图（1）的边线运动，运动路径为：相应的的面积关于运动时间的函数图象如图（2），若则下列四个结论中正确的个数有（ ）A、 图（1）中的BC边长是8 B、 图（2）中的M点表示第4秒时的值为24
4、24712NMC、 图（1）中的CD长是4， D、 图（2）中的N点表示第12秒时的值为18ABGCEFDH（2） （1）A、 1个 B、2个 C、 3个 D、 4个GCDEFH 【观察与思考】若把点 P由对应的图象分别记为第段、第段、第段、第段、第段，则从图（1）和图（2）的对应情况可知：（1）由的两端点横坐标，知由G到C运动2秒，可得GD=4，即BC=8；（2）M点的纵坐标等于 （3）图象两端点横坐标为2和4，可知；（4）由的两端点横坐标为4和7，知DE=6，而EF=ABCD=2，可知的右端点的横坐标为8，再由的两端点横坐标为8和12，推得FH=8，从而所以，N点的纵坐标等于解：应选D。
5、【说明】对函数“明意义”，就要善于从自变量与函数值的对应关系入手，从原背景、关系式、图象三者的统一来认识和解决问题。2、“明意义”的更高体现 对于函数意义的掌握，不仅是指对给定的函数能从恰当的角度对其进行研究，更为重要的是遇到具体问题时，能够而且善于把函数作为研究与解决的工具，即确立了这样的意识： 凡是涉及变化的量之间的对应关系的问题，就要想到用函数来研究和解决，这才是“明意义”的更高体现，才是“函数思想”深刻与强烈的表现。例3 在五环图案内，分别填写五个数，如图，其中，是三个连续24657偶数是两个连续奇数，且满足例如请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入下图： 【观察与思考】可以看作
6、一个函数问题，因为：设表示的三个连续偶数为表示的两个连续奇数为均为整数）。则有，得，只需和都是整数，如此一来，满足要求的、有无穷多对（只需取偶数即可）。如（这就得到题目中所举的例）；而使五个数均在0和20之间的,除例子之外,就只有这两种情况了.1012214217219268101113 解: 或 例4 如图,四边形ABCD为边长等于4的菱形,点M为边AD上一点,点N为边DC上一点,且AM=DN. (1)当AM=DN=3时,求的面积.ABCDMN （2）是否存在点M和点N，使的面积等于？若存在，请指出点M和点N的位置；若不存在，请说明理由。 【观察与思考】问题（1）和问题（2）都涉及到的面积和
7、AM（相应地DN）之间的对应关系，而的面积和AM的值具有函数关系，因此如果把它们之间的函数关系搞清楚了，问题（1）、（2）就可迎刃而解了。解：菱形的长为4，菱形的高为。设AM的长为的面积为S。则 （1）当时，由S与的函数关系式得（2）由S与的函数关系得。这说明的面积最小值为，因此不存在点M，N使正是函数意识我们看到问题（1）、（2）的共同基础，并借助函数将问题顺利而明快地解决。 由以上诸可知： 时时刻刻都注意从函数的角度来认识研究问题中变量之间的关系，恰当地建立函数关系，并运用函数的性质将问题解决，这样的“主动精神”和“自觉行动”正体现了“函数思想”的极好确立。 二、定关系式要用函数，就要善于
8、确定函数关系式，而确定函数关系式的方法，基本上有三种：1、 用待定系数法；2、 用直接列式法；3、 借助等式导出法。1、用待定系数法确定函数关系式 用待定系数法确定函数关系式，应具备以下两个条件：条件一，已知知道这个函数是一次函数、二次函数、或是反比例函数；条件二，知道该函数满足的若干组对应值；一次函数需两组；二次函数需三组，反比例函数需一组。 实际上，待定系数法就是通过构造关于函数关系表达式中各项系数的方程，求出它们的值，从而使函数关系的表达式确定下来。 用待定系数法求函数关系地表达式，可分为这们两个层次：基本形式与复合形式。（1）基本形式的待定系数法 这类问题的条件是直接地给出了确定函数所
9、需要的对应值。现仅举一例。 例1 为了迎接暑期旅游，某旅行社推出了一种价格优惠方案：从现在开始，各条旅游线路的价格每人（元）是原来价格每人（元）的一次函数。现知道其中两条旅游线段原来旅游价格分别为每人2100元和2800元，而现在旅游的价格为每人1800元和2300元。（1）求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）（2）王老师想参加该旅行社原价格为5600元的一条线路的暑期旅游，请帮王老师算出这条线路现在的价格。【观察与思考】满足这个一次函数的两组数值为（1800，2100）和（2300，2800）。可用待定系数法求得解析式。解：（1）设与的函数关系式为，由题意，得 解之，得与的函数关系式为（
10、2）当时，元。王老师旅游这条线路现在的价格是4300元（2）复合形式的待定系数法所谓复合形式的待定系数法是指满足函数关系的“对应值”组，并未直接悉数给出，而是要先从条件中求出需要的“对应值”，而后再由待定系数求出函数关系表达式；或者通过其他条件直接构造关于函数系数的方程，得出表达式。CABFE 例2 如图，已知双曲线经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则 。【观察与思考】因为点F，E均在双曲线上，则。设点F的坐标为解：应填2 。 【说明】本题的解答需要对反比例函数性质以及与之相关矩形及其面积间的关系有深入的认识。例3 如图，是一张放在平面直角坐标系中的直角
11、三角形纸片，点O与原点重合，点A在轴上，点B在轴上，。将折叠，使BO边落在BA边上，点O与点D重合，折痕为BC； （1）求直线BC的解析式；CDBA （2）求经过B，C，A三点的抛物线的解析式；若抛物线的顶点为M，试判断点M是否在直线BC上，并说明理由。 【观察与思考】对于（1），先求出点C的坐标，再用待定系数法求BC的解析式； 对于（2），用待定系数法求出过B，C，A三点的抛物线的解析式，再验证它的顶 点是否在BC上。解：（1） ,点C的坐标为（1，0）。设直线BC的解析式为，则由 解得（2）设过点B（），C（1，0），A（3，0）的抛物线的解析式为，由，解得所以抛物线的解析式为，其顶点M的
12、坐标为，点M不在直线BC上。【说明】由以上两例可以看出，用待定系数法求函数关系式的多种变化与复合形式，解法的恰当选择基于对相关知识的融会贯通。2、用“列式法”确定函数关系式 所谓用列式法确定函数关系的表达式，就是根据问题中的数量关系直接列出用自变量的代数式来表示函数，这样的情况也是很多的。 例4 学校体育室准备添置20副乒乓球拍和若干乒乓球，两家体育用品商店的零售价都是每副乒乓球拍20元，每个乒乓球元，且都表示对集体购买优惠：甲店买一副乒乓球拍赠送5个乒乓球，再对总价打9折；乙店统一按定价的8折出售。 （1）设体育室外除了买20副乒乓球拍外，再需购买个乒乓球，若在甲店购买付款数额为（元），在乙
13、店购买付款数额为（元），分别写出，关于的函数关系式。 （2）就购买乒乓球数讨论在哪个店购买较合算？ 【观察与思考】对于（1），可用直接列式法求出，关于的函数关系式。对于（2），实际是比较在什么范围时，两个函数中哪个函数值较小。 解：（1）（2）假设购买个乒乓球时，甲商店合算，即，也即，解得。同理可得 。这就是说，当购买的乒乓球个数不超过233个时，在甲商店买合算；当购买的乒乓球个数超过233个时，在乙店买合算。 【说明】与实际相关的问题需建立函数关系式时，大都需要借助直接列式法。ACBQPR 例5 如图，在P为AC上一个动点，四边形PQRC为矩形，其中点Q，R分别在AB，BC上，设AP的长为，矩形PQRC的周长为，求关于的函数关系式。【观察与思考】只需用表示出QP和PC即可。解：。【说明】相当多的几何图形中变量的对应关系，在建立函数关系式时，也多是利用“直接列式法”。3、从某个等量关系中导出函数关系式 有时不易用自变量及已知数量把函数直接表示出来，可根据所给条件先建立包括“函数”、自变量、与已知数量的某个（或某些）等式，再从中导出函数关系式来。
