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1、中考数学专题圆的位置关系第一部分 真题精讲【例1】已知：如图，AB为O的直径，O过AC的中点D，DEBC于点E（1）求证：DE为O的切线；（2）若DE=2，tanC=，求O的直径【解析】（1）证明：联结OD D为AC中点， O为AB中点， OD为ABC的中位线 ODBC DEBC， DEC=90.ODE=DEC=90. ODDE于点D. DE为O的切线 （2）解：联结DB AB为O的直径，ADB=90 DBAC CDB=90. D为AC中点， AB=AC在RtDEC中，DE=2 ，tanC=， EC=. 由勾股定理得：DC=.在RtDCB 中,BD=由勾股定理得：BC=5.AB=BC=5. O
2、的直径为5. 【例2】已知：如图，O为的外接圆，为O的直径，作射线，使得平分，过点作于点.（1）求证：为O的切线；（2）若，求O的半径. 【解析】证明：连接. ， . ， . . . , . . 是O半径， 为O的切线. （2） ,， .由勾股定理，得. . 是O直径， . .又 , , . 在Rt中，=5.O的半径为. 【例3】已知：如图，点是的直径延长线上一点，点 在上，且（1）求证：是的切线；（2）若点是劣弧上一点，与相交 于点，且，求的半径长.【解析】（1）证明：连接.，.是等边三角形.，. . 又点在上，是的切线 . （2）解：是的直径，. 在中， , 设则， . . , . .,
3、.【例4】如图，等腰三角形中，以为直径作O交于点，交于点，垂足为，交的延长线于点（1）求证：直线是O的切线；（2）求的值【解析】（1）证明：如图，连结，则 ， 是的中点是的中点，于F是O的切线 ( 2 ) 连结，是直径, 设，则在中，在中，解得即在中 【例5】如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆交AD于F，交BC于G，延长BA交圆于E.（1）若ED与A相切，试判断GD与A的位置关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件不变的情况下，若GCCD5，求AD的长. 【解析】（1） 结论：与相切 （2） 证明：连接点、在圆上，四边形是平行四边形， 在和 与相切与相切 （2），四边形是
4、平行四边形， . 如图ABC中，AB=AC，点O是BC的中点，与AB切于点D，求证：与AC也相切。如图，中，AB=AC，=，O、D将BC三等分，以OB为圆心画，求证：与AC相切。第二部分 发散思考【思考1】如图，已知AB为O的弦，C为O上一点，C=BAD，且BDAB于B. （1）求证：AD是O的切线；（2）若O的半径为3，AB=4，求AD的长.【思考2】已知：如图，AB为O的弦，过点O作AB的平行线，交 O于点C，直线OC上一点D满足D=ACB.（1）判断直线BD与O的位置关系，并证明你的结论；（2）若O的半径等于4，求CD的长.【思考3】已知：如图，在ABC中，AB=AC,AE是角平分线，B
5、M平分ABC交AE于点M,经过B,M两点的O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为O的直径.（1）求证：AE与O相切；（2）当BC=4,cosC=时，求O的半径. 【思路分析】这是一道去年北京中考的原题，有些同学可能已经做过了。主要考点还是切线判定，等腰三角形性质以及解直角三角形，也不会很难。放这里的原因是让大家感受一下中考题也无非就是如此出法，和我们前面看到的那些题是一个意思。【思考4】如图，等腰ABC中，AC=BC，O为ABC的外接圆，D为上一点， CEAD于E. 求证：AE= BD +DE【思路分析】 前面的题目大多是有关切线问题，但是未必所有的圆问题都和切线有关，去年西城区这道模拟题就是
6、无切线问题的代表。此题的关键在于如何在图形中找到和BD相等的量来达到转化的目的。如果图形中所有线段现成的没有，那么就需要自己去截一段，然后去找相似或者全等三角形中的线段关系。【思考5】如图，已知O是ABC的外接圆，AB是O的直径，D是AB延长线的一点，AECD交DC的延长线于E，CFAB于F，且CECF（1） 求证：DE是O的切线；（2） 若AB6，BD3，求AE和BC的长【思路分析】又是一道非常典型的用角证平行的题目。题目中虽未给出AC评分角EAD这样的条件，但是通过给定CE=CF，加上有一个公共边，那么很容易发现EAC和CAF是全等的。于是问题迎刃而解。第二问中依然要注意找到已知线段的等量
7、线段，并且利用和，差等关系去转化。第三部分 思考题解析【思考1解析】1）证明: 如图, 连接AO并延长交O于点E, 连接BE, 则ABE=90. EAB+E=90. E =C, C=BAD， EAB+BAD =90. AD是O的切线. （2）解：由（1）可知ABE=90. AE=2AO=6, AB=4, . E=C=BAD, BDAB, . 【思考2解析】解：（1）直线BD与O相切 证明：如图3，连结OB- OCB=CBD +D ，1=D， 2=CBD ABOC ， 2=A A=CBD OB=OC， ， ， OBD=90 直线BD与O相切 （2）解： D=ACB ， 在RtOBD中，OBD=90，OB = 4， ， OBGECMAF123【思考3解析】1）证明：连结，则平分 在中，是角平分线，与相切（2）解：在中，是角平分线，在中，设的半径为，则，解得的半径为【思考4解析】证明：如图3，在AE上截取AF=BD，连结CF、CD 在ACF和BCD中， ACFBCD CF=CD. CEAD于E， EF=DE. . 【思考5解析】证明：（1）连接OC, 6
