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1、3.3.4 简单线性规划问题的实际应用,【学习目标】,1.从实际情境中抽象出简单的线性规划问题，建立数学模,型.,2.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单,的实际问题.,线性规划的理论和方法主要用于解决以下两类问题：一是 在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完 成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能 以最少的人力、财力、物力、资金等资源来完成该项任务.,线性规划解应用题的一般步骤,x，y，z,约束条件,(1)设出_； (2)列出_，确定_；,(3)画出_；,目标函数,可行域,(4)作目标函数表示的一族平行直线，使其中某条直线与 _有交点，且使其截距最
2、大或最小； (5)判断_，求出目标函数的_，并回到原,问题中作答.,可行域,最优解,最值,z6x4y,练习：有 5 辆 6 吨的汽车，4 辆 4 吨的汽车，要运送最多 的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为_.,【问题探究】,1.简单线性规划在实际生产生活中主要解决哪些问题？ 答案：简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛， 主要解决的问题是：在资源的限制下，如何使用资源来完成最 多的生产任务；或是给定一项任务，如何合理安排和规划，能 以最少的资源来完成，如常见的任务安排问题、配料问题、下 料问题、布局问题、库存问题，通常解法是将实际问题转化为 数学模型，归结为线性规划，使用图解法解决.,
3、2.应用线性规划的图解方法，应具备哪些条件？ 答案：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： (1)根据题意，设出变量 x，y； (2)找出线性约束条件；,(3)确定线性目标函数 zf(x，y)；,(4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域)； (5)利用线性目标函数作平行直线系 f(x，y)t(t 为参数)； (6)观察图形，找到直线 f(x，y)t 在可行域上使 t 取得欲求,最值的位置，以确定最优解，给出答案.,题型 1 资源配置问题,【例 1】 某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会 标志“中国印 舞动的北京”和奥运会吉祥物“福 娃”.该厂所用的主要原料为 A，B 两种贵重金属
4、，已知生产一 套奥运会标志需用原料 A 和原料 B 的量分别为 4 盒和 3 盒，生 产一套奥运会吉祥物需用原料 A 和原料 B 的量分别为 5 盒和 10 盒.若奥运会标志每套可获利 700 元，奥运会吉祥物每套可获利 1200 元，该厂月初一次性购进原料 A，B 的量分别为 200 盒和 300 盒.问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使 该厂月利润最大，最大利润为多少？,思维突破：将文字语言转化为数学式子建立线性规划模型. 解：设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为x， y 套，月利润为z 元，由题意，得,作出可行域如图 D19 所示,图D19,目标函数为 z700x12
5、00y.,将点 A(20,24)代入 z700x1200y， 得 zmax7002012002442 800(元). 答：当该厂生产奥运会标志和吉祥物分别为 20,24 套时， 月利润最大，最大利润为 42 800 元.,【变式与拓展】,1.某糖果厂生产 A，B 两种糖果，A 种糖果每箱获利润 40 元，B 种糖果每箱获利润 50 元，其生产过程分为混合、烹调、 包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单 位：分钟).,每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用 12 小时，烹 调的设备至多只能用机 30 小时，包装的设备只能用 15 小时， 试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润.
6、,求目标函数z40x50y的最大值，作出可行域(如图D22)，其边界OA：y0，AB：3xy9000，BC：5x4y18000， CD：x2y7200，DO：x0.,图 D22,zmax401205030019 800. 即生产A 种糖果120 箱，生产B 种糖果300 箱，可得最大 利润 19 800 元.,题型 2 降低资源消耗问题,【例 2】 某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品 A，B，,C，每消耗一吨燃料与产品 A，B，C 有下列关系：,现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为 23，现需要三种 产品 A，B，C 各 50 吨，63 吨，65 吨.问如何使用两种燃料，才 能使该厂成本最低？
7、,思维突破：由于该厂成本与两种燃料使用量有关，而产品 A，B，C 又与这两种燃料有关，且这三种产品的产量也有限制， 因此这是一道求线性目标函数在线性约束条件下的最小值问 题，这类简单的线性规划问题一般都可以利用二元一次不等式 组求在可行域上的最优解.,解：设该厂使用燃料甲 x 吨，燃料乙 y 吨，甲每吨 2t 元，,则乙每吨为 3t 元.,则成本为 z2tx3tyt(2x3y). 因此，只需求 2x3y 的最小值即可.,作出不等式组所表示的平面区域(如图 3-3-4). 图 3-3-4,【变式与拓展】,2.医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种 原料每 10 g 含 5 个单位蛋白质
8、和 10 个单位铁质，售价 3 元； 乙种原料每 10 g 含 7 个单位蛋白质和 4 个单位铁质，售价 2 元. 若病人每餐至少需要 35 个单位蛋白质和 40 个单位铁质.试问： 应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？,解：设甲、乙两种原料分别用 10x g 和 10y g，,图 D23,题型 3 整数解处理 【例 3】 (2013 年湖北)某旅行社租用 A，B 两种型号的客 车安排 900 名客人旅行，A，B 两种车辆的载客量分别为 36 人 和 60 人，租金分别为 1600元/辆和 2400元/辆，旅行社要求租 车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7
9、辆，则租金最,少为(,),A.31 200 元 C.36 800 元,B.36 000 元 D.38 400 元,思维突破：设A 型客车x 辆，B 型客车y 辆.问题转化为线 性规划问题.同时应注意到题中的x，y 只能取整数. 解析：设分别租用 A，B 两种型号的客车 x 辆，y 辆(x， yN)，所用的总租金为 z 元，则 z1600x2400y，其中 x，y 满足不等式组,画出可行域如图 D20，根据线性规划中截距问题，可求得 最优解为 x5，y12，此时 z 最小为 36 800.故选 C.,图D20,答案：C,根据已知条件写出不等式组是做题的第一步； 第二步画出可行域；第三步找出最优解
10、.其中最困难的是第二步. 整数解的线性规划问题.若取最小值时不是整数点，则考虑此点 附近的整数点.,【例 4】 某沙漠地带，考察车每天行驶 200 千米，每辆考 察车可以装载供行驶 14 天的汽油.现有 5 辆考察车，同时从驻 地 A 出发，计划完成任务后，再沿原路返回驻地，为了让其中 3 辆车尽可能向更远的地方进行考察(然后再一起返回)，甲、乙 两车行至 B 处后，仅留足自己返回驻所必需的汽油，将多余的 汽油供给另外 3 辆使用，问：其他 3 辆可以行进的最远路是多 少千米？,易错分析：对线性的约束条件考虑不清不全，没考虑甲、 乙两车供油后，自己还须返回这一条件，导致约束条件出错. 解：设考
11、察行至B 处用了x 天，从B 处到最远处用了y 天， 则有 23(xy)2x145， 即 5x3y35，且 x0，y0. 同时从其余 3 辆车的载油量考虑， 145(52)x143，即 x4.,作可行域(如图D21)，则M(4,5).,图D21,作直线 l：xy0，向右平移过点 M 时，zmax9. 最远路程为 200(45)1800(千米).,方法规律小结,1.线性规划的两类重要实际问题的解题思路：,(1)应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定,线性目标函数.,(2)用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域,内求得使目标函数取最值的解.,(3)还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的,解，即结合实际情况求得最优解.,2.应用线性规划处理实际问题时应注意的问题：,(1)在求解实际问题时，除严格遵循线性规划求目标函数最 值的方法外，还应考虑实际意义的约束，要认真解读题意，仔 细推敲并挖掘相关条件，同时还应具备批判性检验思维，以保 证解决问题的准确和完美.,(2)在处理实际问题时，x0，y0 常被忽略，在解题中应,注意.,(3)在求解最优解时，一般采用图解法求解.,
