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1、投资收益和风险问题提出随着经济的发展，人们的生活水平越来越高，于是就有了剩余的资金，为了让剩余的资金获得更多的利润，所以人们就把剩余的资金进行投资，市场上有n种资产si进行投资，某公司有一大笔资金M进行投资，于是公司财务人员对市场上这n种资产进行评估，估算出在这一时期内购买Si的平均收益率为，并预测出购买Si的风险损失率为。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司规定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的Si中最大的一个风险来度量。购买Si要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险（=5%
2、）。于是公司要求设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。问题分析 由题目可得，该公司财务人员对这n种资产进行评估投资，使得净收益最大，总体风险最小，于是就得到投资模型 变量定义 M=总投资金额 Si=第i种资产（i=1,2,3n） ri=购买Si的平均收益率qi=购买Si的风险率pi=购买Si的交易费率r0=银行存款利率Mi=购买Si的金额Di=所需交易费y=净收益Ui=Si的交易定额=衡量资产优劣的指标模型假设1.投资数额M足够大，设为1，假设购买额Si都大于ui，；2.各种资产不相互影响，相互独立的，且不受外界因素影响
3、；3.投资方不会中途撤离或追加资金；4.投资越分散，总的风险越小。5.总体风险可用投资Si的中最大的一个风险来度量。6.净收益和总体风险不受意外因素的影响。模型建立1.总体风险可用投资Si的中最大的一个风险来度量，即MaxMiqi/i=1,2,n2.各项投资净收益可表示为： - （MiuI）y= 0 (Mi=0)- （Mi=a;M0+1.01*M1+1.02*M2+1.045*M3+1.065*M4=1;a=0.12;end取步长为0.02，将从0.12到0.26依次赋值，可以得出如下结果收益投资金额0.120.140.160.180.200.220.240.26M00.5380.4060.0
4、2750.1430.1070.0000.0000.000M10.1100.1410.1720.2040.2350.4120.6560.901M20.1830.2350.2870.4000.3920.5720.3310.089M30.0500.0640.7830.9260.1070.0000.0000.000M40.1050.1360.1660.1960.2260.0000.0000.000总风险Z10.0020.0030.0040.0050.0060.0100.0160.023模型一分析：在获取净收益尽可能大的同时，保持投资风险尽量小，才是最佳的投资方案。根据模型一求解结果可以得出：若保守投资
5、，使投资风险最小，那么就无法获得可观的收益；如果追求净收益最大，则投资金额会较为集中，投资就会面临较大的风险；将风险和收益综合考虑，根据上表格可以得出一个理想的投资方案应为银行存款占总投资金额的10.7%，投入资产S1的金额占总投资金额的23.5%，投入S2的金额占总投资金额的39.2%，投入资产S3的金额占总投资金额的10.7%，投入资产S4的金额占总投资金额的22.6%。此时的最优解为（0.006,0.20）。模型二求解（运用MATLAB）：r=-0.05 0.27 0.19 0.185 0.185q=0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0
6、0 0 0 0.026Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.056; beq=1; lb=zeros(5,1); vb=1;1;1;1;1; i=1;for z=0.001:0.002:0.05 b=z;z;z;z; x,fval=linprog(r,q,b,Aeq,beq,lb); x y(i)=-fval; i=i+1;endz=0.001:0.002:0.05;plot(z,y,r);xlabel(z 风险);ylabel(y 收益);title(风险收益图1)hold on plot(0.007,0.2066,g*);运行后得到的结果如下图：风险Z2投资金额0.0010.00
7、30.0050.0070.0090.011M00.83200.49600.15990.00000.00000.0000M10.04000.12000.20000.28000.36000.4400M20.06670.20000.33330.46670.60000.5447M30.01820.05450.09090.12730.02330.0000M40.03850.11540.19230.10250.00000.0000净收益y0.07550.12660.17770.20680.21550.2223模型二分析： 图形中绿色标记处为所求最优解（0.007,0.2068），即总体风险为0.007时，
8、总体收益尽可能最大为0.2068，与之对应的投资方案应为在银行投资金额占总投资金额的0%，投入资产S1的金额占总投资金额的28.0%，投入S2的金额占总投资金额的46.67%，投入资产S3的金额占总投资金额的12.73%，投入资产S4的金额占总投资金额的10.25%。对于一般模型n=15进行求解模型的求解对于一般情形下的，下面进行计算。由于一般情形中假设投资额较小时，可以忽略，验证该情况下的交易费：可以看出，对于相当大的M，该值不计是符合的。运用相同的方法计算得到最佳抉择与收益及其风险见表2：表2：时的投资组合方案00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1
9、10.00000.00000.00000.00000.00000.00000.05180.00000.00000.00000.00000.00000.04530.04250.04030.00000.94340.04980.04560.04270.04070.03830.03620.00000.00000.00000.00000.06110.05820.05470.05180.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.05890.05580.00000.00000.043
10、90.04020.03770.03590.03380.03200.00000.00000.00000.08180.07680.07320.06870.06510.00000.00000.05600.05130.04810.04590.04310.04080.00000.00000.07460.06830.06410.06110.05740.05440.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.74640.68340.641
11、10.61110.57390.54360.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0000存银行S00.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00001.0000净收益y0.40940.32070.31660.31070.30310.29090.27940.0500风险值z0.56600.02990.02730.02560.02440.02300.02170.00004、问题的结果上表中投资组合表中的收益与风险值之间的关系见图2：图2：时收益与风险关系由图可以看到，收益值增加的同时，风险也在增大。我们可以通过简单的曲线拟合来建立收益风险函数，找到最优情况下的组合。问题分析.一般情况下的分析当投资相当大时，我们可以忽略给定值ui
