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1、八市学评2017-2018（下）高三第一次测评理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数满足,其中为虚数单位，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】 由题意得，所以，则，故选D2. 集合,若只有一个元素，则实数的值为（ ）A. 1 B. -1 C. 2 D. -2【答案】B【解析】因为只有一个元素，而， 所以 或 ，选B.3. 已知满足约束条件,则的最小值是( )A. 1 B. C. D. 【答案】C【解析】 画出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 设，则，表示可行域内点与原点的连
2、线的斜率， 由图象可知，当取点时，取得最大值， 由，解得，此时的最大值为，所以的最小值为，故选C4. 某校对高二一班的数学期末考试成绩进行了统计，发现该班学生的分数都在90到140分之间，其频率分布直方图如图所示，若130140分数段的人数为2，则100120分数段的人数为（ ）A. 12 B. 28 C. 32 D. 40【答案】B【解析】100120分数段对应纵坐标为 ，根据对应关系得，选B. 5. 已知，则( )A. B. C. D. 6【答案】A【解析】 由题意可知， 则， 所以，故选A6. 某几何体的三视图如图所示，则改几何体的体积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】
3、由给定的三视图可知，原几何体上半部分，表示一个半径为的四分一个球， 下半部分表示一个底面半径为，高为的半个圆锥， 所以该几何体的体积为，故选C7. 已知函数,若,则( )A. B. C. 或 D. 0【答案】D【解析】 由函数的解析式可知，当时，令，解得；当时，令，解得（舍去），综上若，则，故选D8. 设等差数列的首项大于0，公差为,则“”是“为递减数列”的( )A. 充要条件 B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 由题意，当时，所以，即数列为递减数列；若数列为递减数列，则，因为，所以，所以是数列为递减数列的充要条件，故选A9. 双曲线的右
4、焦点为,过点斜率为的直线为,设直线 与双曲线的渐近线的交点为为坐标原点，若的面积为,则双曲线的离心率为( )A. B. C. 2 D. 4【答案】D【解析】 过点且斜率为的直线方程为，与双曲线的渐近线联立， 得到， 因为的面积为，所以，所以， 所以双曲线的离心率为，故选D10. 设函数与且)在区间具有不同的单调性，则与的大小关系是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】 由题意，因为与在区间具有不同的单调性， 则，所以，所以，故选D11. 记实数种的最小数为,若函数的最小正周期为1，则的值为( )A. B. 1 C. D. 【答案】C【解析】 由题意，如图所示，函数和的图象关于对称，
5、则函数的周期为的周期的一半， 若的最小正周期为，则的周期为， 即，解得，故选C 点睛：本题考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的周期求解问题，解答中根据函数和的图象之间的关系，得到函数与和的关系即可求解，其中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力12. 已知函数,若函数有4个不同的零点，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 当时， 当时，作图可知， 选C.点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归
6、根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为-8，则输出的值为_【答案】4【解析】 执行如图所示的程序酷图，可得， 满足条件，；满足条件，；不满足条件，输出14. 直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为_【答案】1【解析】 由题意直线与与曲线所成围成的封闭图形，如图所示，又由，解得或，所以封闭图形的面积为15. 的展开式中，的系数是_（用数字填写答案）【答案】-280【解析】 由题意，二项式的展开式为，当时，即的系数是点睛：
7、本题主要考查二项式定理的通项与系数问题，试题比较基础，属于简单题 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用16. 已知抛物线与圆,直线与交于两点，与交于两点，且位于轴的上方，则_【答案】1【解析】圆，直线 过抛物线焦点 所以 ，由得，即.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在中，边的对角分别为，且满足.(1)求角的大小；(2)若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析
8、：（1）由正弦定理，画出，即可化简得到，再借助，即可得到角的大小；（2）由（1）和余弦定理和基本不等式，即可得到，即可求解三角形面积的最大值试题解析：（1）由及正弦定理.所以,即.所以或（舍）所以，又，所以.(2)由及余弦定理得,得，所以,当且仅当等号成立.所以面积的最大值为.18. 已知在四棱锥中，为正三角形，底面为平行四边形，平面平面，点是侧棱的中点，平面与棱交于点.(1)求证：；(2)若，求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由底面是平行四边形，利用线面平行的判定定理得面，在利用线面平行的性质定理，即可证得 (2)建立空间直角坐标系
9、，求得平面和平面的一个法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求解平面和平面的二面角的余弦值试题解析：（1）底面是平行四边形，又面面，面，又四点共面，且平面平面,.(2)取中点，连接侧面为正三角形，故，又平面平面，且平面平面,平面, 在平行四边形中，故为菱形， 且是中点，.如图，建立空间直角坐标系,因为,则,又,点是棱中点，点是棱中点，,，设平面的法向量为,则有, 不妨令,则平面的一个法向量为平面是平面的一个法向量，,平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.19. 某中学准备在开学时举行一次高三年级优秀学生座谈会，拟请20名来自本校高三(1)(2)(3)(4)班的学生参加，各班邀请的学生数如下表所示；
10、班级高三（1）高三（2）高三（3）高三（4）人数4646(1)从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一班级的概率；(2)从这20名学生中随机选出3 名学生发言，设来自高三（3）的学生数为，求随机变量的概率分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）从名学生随机选出名的方法数为, 选出人中任意两个均不属于同一班级的方法数，利用古典概型及其概率公式，即可求解(2)由可能的取值为，求得随机变量每个值对应的概率，列出分布列，利用公式求解数学期望试题解析：（1）从 20 名学生随机选出 3 名的方法数为, 选出 3 人中任意两个均不属于同一班级
11、的方法数为设 3 名学生中任意两个均不属于同一班级的事件为所以(2)可能的取值为 0,1,2,3,.所以的分布列为0123所以20. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)若不过原点的直线与椭圆相交于两点，与直线相较于点，且是线段的中点，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由椭圆的方程的离心率和椭圆上的点代入方程，列出方程组，求得的值，得到椭圆的方程；（2）当直线的斜率不存在时，的中点不在直线上，故直线的斜率存在.设直线的方程为与椭圆的方程联立，求得，进而得到点的坐标，因为在直线上，解得，以及利用，求得实数，把三角形的面积表达成实数的表示，即可求
12、解面积的最大值试题解析：(1) 由椭圆的离心率为,点在椭圆上得解得所以椭圆的方程为.(2)易得直线的方程为.当直线的斜率不存在时，的中点不在直线上，故直线的斜率存在.设直线的方程为,与联立消得,所以.设,则,.由,所以的中点, 因为在直线上，所以,解得所以,得,且,又原点到直线的距离,所以，当且仅当时等号成立，符合,且.所以面积的最大值为：.点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数的性质求解，此
13、类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等21. 已知函数.(1)若函数有一个极小值点和一个极大值点，求的取值范围；(2)设，若存在,使得当时，的值域是,求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，由函数有两个极值点，得到关于的不等式组，求得实数，再作出验算即可（2）求出的导数，通过讨论的范围确定函数的单调区间，得到关于的不等式，解出即可试题解析：(1),则令,若函数 有两个极值点，则方程必有两个不等的正根，于是 解得当时，有两个不相等的正实根，设为,不妨设,则. 当时，在 上
14、为减函数；当时,在上为增函数；当时，函数在上为减函数.由此，是函数的极小值点，是函数的极大值点.符合题意.综上，所求实数的取值范围是（2）当时，.当时，在上为减函数；当时，在上为增函数.所以，当时，的值域是.不符合题意.当时，.(i)当,即时，, 当且仅当时取等号.所以在上为减函数从而在 上为减函数符合题意(ii)当,即时，当变化时， 的变化情况如下表：1-0+0-减函数极小值0增函数极大值减函数若满足题意，只需满足,且(若，不符合题意),即,且.又,所以,此时所以实数的取值范围是点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具
