数模(差分方程模型)

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1、第七章第七章 差分方程模型差分方程模型 第一节第一节 差分方程基本的基本概念与性质差分方程基本的基本概念与性质 第二节第二节 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型 第三节第三节 简单的鹿群增长模型简单的鹿群增长模型 第四节第四节 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动 第五节第五节 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型 第六节第六节 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长 第七章第七章 差分方程模型差分方程模型 第一节第一节 差分方程的概念及性质差分方程的概念及性质 一一.差分的定义与运算法则差分的定义与运算法则 . , ) 1()() 1 ()0( : ).( 1 1 1210

2、nnn nn nn yyy yyy yyyyy nfnfff xxfy 也称为一阶差分，记为 的差分，为函数称函数的改变量 ， 将之简记为 ， 列函数值可以排成一个数 取非负整数时，当设函数 1.差分的定义差分的定义 nnn nnnn nnnn yyy yyyy yyyy ynfy 12 112 1 2 2 )()( )()( , )( 即差分 的一阶差分的的二阶差分为函数函数 .以上的差分以上的差分高阶差分：二阶及二阶高阶差分：二阶及二阶 )(),( 3423 nnnn yyyy 差分：同样可定义三阶、四阶 例例 1 1 求求 )(),(),( 23222 nnn . . 解解 ，则设 2

3、ny 12) 1()( 222 nnnnyn 2) 12(1) 1(2 ) 12()( 222 nn nnyn 022)( 233 nyn 解解 !)!1(nn .!2的一阶差分，二阶差分求例ny nnn yyy 1 ! nn ! 2 nnyy nn !) 1( !)!1() 1( 2 nnn nnnn )()() 1 (为常数CyCCy nn nnnn zyzy)()2( 2. 差分的四则运算法则差分的四则运算法则 nnnnnnnnnn yzzyyzzyzy 11 3 1 4 nn nnnn n n zz zyyz z y 可参照导数的四则运算法则学习可参照导数的四则运算法则学习 二二 差分

4、方程的基本概念差分方程的基本概念 1.差分方程与差分方程的阶 . , 2 称为差分方程 的函数方程含有未知函数的差分 nn yy 0),( 2 n m nnn yyyynF形式： 定义定义1 定义2： ., 1 的方程，称为差分方程 个以上时期的符号含有未知函数两个或两 nn yy ) 1(0),( 0),( 1 1 kyyynG yyynF knnn mnnn 或 形式： .称为差分方程的阶称为差分方程的阶 大值与最小值的差大值与最小值的差方程中未知数下标的最方程中未知数下标的最 注：由差分的定义及性质可知，差分方程的注：由差分的定义及性质可知，差分方程的 不同定义形式之间可以相互转换。不同

5、定义形式之间可以相互转换。 是三阶差分方程；如0234 235 nnn yyy . 0133 1 12 ttt yyy nt，即可写成事实上，作变量代换 程，但实际上是二阶差分方 ，虽然含有三阶差分，01 3 nn yy ，因此它是二阶差分方程 由于该方程可以化为 0133 123 nnn yyy 2.差分方程的解差分方程的解 . )( 该差分方程的解边恒等，则称此函数为 两代入差分方程后，方程如果函数ny 含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的 阶数相同的差分方程的解阶数相同的差分方程的解. . 差分方程的通解差分方程的通解 为了反映某一事物在变化过

6、程中的客观规律为了反映某一事物在变化过程中的客观规律 性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对 差分方程所附加的条件差分方程所附加的条件. . 通解中任意常数被初始条件确定后的解通解中任意常数被初始条件确定后的解. . 初始条件初始条件 差分方程的特解差分方程的特解 引例引例1： Fibonacci 数列数列 问题问题 13世纪意大利著名数学家世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作在他的著作算盘书算盘书 中记载着这样一个有趣的问题：中记载着这样一个有趣的问题： 一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，

7、成兔再经过一 个月后可以繁殖出一对幼兔个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之若不计兔子的死亡数，问一年之 后共有多少对兔子？后共有多少对兔子？ 月份月份 0 1 2 3 4 5 6 7 幼兔幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 成兔成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 总数总数 1 1 2 3 5 8 13 21 将兔群总数记为将兔群总数记为 fn, n=0,1,2,，经过观察可以发现，数列，经过观察可以发现，数列fn 满足下列递推关系：满足下列递推关系： f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2, 这个数列称为这个数列称为Fibonac

8、ci数列数列. Fibonacci数列是一个十分有趣数列是一个十分有趣 的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用. Fibonacci数列的一些实例数列的一些实例. 1. 蜜蜂的家谱蜜蜂的家谱 2. 钢琴音阶的排列钢琴音阶的排列 3. 树的分枝树的分枝 4. 杨辉三角形杨辉三角形 引例引例2：日常的经济问题中的差分方程模型：日常的经济问题中的差分方程模型 1）. 银行存款与利率银行存款与利率 假如你在银行开设了一个假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利元的存款账户，银行的年利 率为率为7%. 用用an表示表示n年后你账户上的存

9、款额，那么下面的数列年后你账户上的存款额，那么下面的数列 就是你每年的存款额：就是你每年的存款额： a0, a1, a2, a3, , an, 设设r为年利率，由于为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型因此存款问题的数学模型 是：是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3, 2）. 家庭教育基金家庭教育基金 从从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度年开始，我国逐步实行了大学收费制度. 为了保障子女为了保障子女 将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向 银行存入银行存入x元

10、作为家庭教育基金元作为家庭教育基金. 若银行的年利率为若银行的年利率为r，试写出第，试写出第 n年后教育基金总额的表达式年后教育基金总额的表达式. 预计当子女预计当子女18岁入大学时所需的岁入大学时所需的 费用为费用为100000元，按年利率元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存计算，小张夫妇每年应向银行存 入多少元入多少元? 设设n年后教育基金总额为年后教育基金总额为an，每年向银行存入，每年向银行存入x元，依据复利元，依据复利 率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为： a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3, 3）

11、. 抵押贷款抵押贷款 小李夫妇要购买二居室住房一套，共需小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元万元. 他们已经筹他们已经筹 集集10万元，另外万元，另外20万元申请抵押贷款万元申请抵押贷款. 若贷款月利率为若贷款月利率为0.6%， 还贷期限为还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？年，问小李夫妇每月要还多少钱？ 设贷款额为设贷款额为a0，每月还贷额为，每月还贷额为x，月利率为，月利率为r，第，第n个月后的欠个月后的欠 款额为款额为an，则，则 a0=200000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3, 例例3 )( )

12、,(),( , 31 2111 nfayy nfayynfayy ZUy nn nnnn nnn 解分别是下列差分方程的 是差分方程求证 nnnn ZUyV .)()()( 3211 的解nfnfnfayy nn 证明证明 由题设知：由题设知： )( )( )( 31 21 11 nfaZZ nfaUU nfayy nn nn nn nnnnnnnn aZZaUUayyaVV 1111 )()()( 321 nfnfnf .是所给差分方程的解 n V 三三. 线性差分方程解的结构线性差分方程解的结构 1111 0( )( )( ) x nx nnxnx ya x yax yax y n阶齐次线

13、性差分方程的标准形式阶齐次线性差分方程的标准形式 n阶非齐次线性差分方程的标准形式阶非齐次线性差分方程的标准形式 1111 ( )( )( ) x nx nnxnx ya x yax yax yf x 1 2 0 xf 1111 0( )( )( ) x nx nnxnx ya x yax yax y 1.n阶齐次线性差分方程解的结构阶齐次线性差分方程解的结构 1 定理定理 1 1 如果函数如果函数)( 1 xy, ,)( 2 xy, , )( xy k ， 是是 方程方程(1)(1)的的 k k 个解个解, ,那末那末kk yCyCyCy 2211也也 是是(1)(1)的解的解. .（k C

14、CC， 21,是任意常数）是任意常数） 问题问题: : 一定是通解吗？一定是通解吗？ kk yCyCyCy 2211 ，则，则若若nk 注： 设注： 设 n yyy, 21 为定义在区间为定义在区间I内的内的n 个函数如果存在个函数如果存在 n 个不全为零的常数，个不全为零的常数， 使得当使得当 x在该区间内有恒等式成立 在该区间内有恒等式成立 （ 是任意常数）是任意常数） 定理定理 2 2：如果：如果)( 1 xy, , )()( 2 xyxy n ， 是方程是方程(1)(1) 的的 n n 个线性无关的特解个线性无关的特解, , 那么那么 nn yCyCyCy 2211就是方程就是方程(1)(1)的通解的通解. . n CCC， 21, 0 2211 nn ykykyk 那么称这些函数在区间内那么称这些函数在区间内线性相关；线性相关； 否则称否则称线性无关线性无关. 2.n阶常系数非齐次线性差分方程解的结构阶常系数非齐次线