《数理统计第四章区间估计4.3节非正态总体参数的置信区间》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数理统计第四章区间估计4.3节非正态总体参数的置信区间（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 若枢轴变量的精确分布易求若枢轴变量的精确分布易求，可用小样可用小样 本方法获得精确的置信区间本方法获得精确的置信区间. 4.3 枢轴变量法枢轴变量法非正态总体参数的置信区间非正态总体参数的置信区间 若枢轴变量的精确分布不易求若枢轴变量的精确分布不易求，或若其或若其 精确分布虽可以求精确分布虽可以求，但是表达式复杂使但是表达式复杂使 用不方便用不方便，则可用枢轴变量的极限分布则可用枢轴变量的极限分布 来构造有关参数近似的置信区间来构造有关参数近似的置信区间. 2 1 指数分布指数分布 参数的置信区间参数的置信区间 4.3.1 小样本方法小样本方法 1/UMVUE解： 是的无偏估计(且是)，由
2、推论2.4.5X 2 122 2 ()2 nn GXXXn X 2因此，取作为枢轴变量Gn X 设总体设总体 ，且且 ( )Xf x ,0, ( )0 0,0. 其中未知 x ex f x x 1利用枢轴变量法构造参数 的置信系数为的置信区间 为抽自总体为抽自总体 X 的样本的样本 12 , n X XX 3 (01)ab对给定，只要取 和 满足 (2)1 P an Xb 满足上式的 和 有无穷对，其中有一对 和 使得区间长度最短.但是这样一对 和 不易求 得且表达式复杂，应用不方便.通常采用下列 方法，一般令 和 满足 abab ab ab 2/2Pn Xa2/2 Pn Xb 2 2 (1/
3、2)其中 n a 2 2 ( /2) n b 4 22 22 (1- /2)2( /2)1 nn Pn X 1-利用不等式等价变形得 的置信系数的置信区间 22 22 (1-/2)( /2) , 22 nn nXnX 2 这样找到的 和 虽不能使置信区间的精度最高， 但是表达式简单，可通过分布的上 分位数表 求得，应用上很方便.因此有 ab 5 1-同理得到 的置信系数的置信下限为 2 2 (1- ) 2 n nX 1-同理得到 的置信系数的置信上限为 2 2 ( ) 2 n nX 6 15 45 50 53 60 65 70 83 90， ， ， ， ， ， ， ， 求平均寿命1/ 的置信系
4、数90%的置信区间和 置信上限、置信下限 ( ), 9 设某电子产品的寿命服从指数分布 现从此分布的一批样本中抽取容量为 的样本， 测得寿命 例4.3.1 为(单位：千小时) Exp 7 则g( )=1/ 的置信系数90%的置信区间为 9,59,21062,解：由样本算得查表得nXnX 22 1818 (0.05)=28.869(0.95)=9.390， 2222 221818 2222 , ( /2)(1-/2)(0.05)(0.95) nn nXnXnXnX 22 1818 (0.10)=25.989(0.90)=10.865， 36.787,113.099 8 则g( )=1/ 的置信系
5、数90%的置信上限和下限为 UL gg 22 1818 (0.10)=25.989(0.90)=10.865， 22 218 22 97.745 (1- )(0.90) 千小时 U n nXnX g 22 218 22 40.863 ( )(0.10) 千小时 L n nXnX g 9 2 2 均匀分布参数的置信区间均匀分布参数的置信区间 12 (0, ),0, 1- 设，为抽自 总体 的样本，利用枢轴变量法构造参数 的置信系数为的置信区间. n XUXXX X ( )是 的极大似然估计又是充分 计，解：统量 n X 因此取 1, 01 ( ) 0, ， 其它. n ntt f t ( ) (
6、 ) (, ) n n X Tg X 作为枢轴变量 ( ) / 的密度函数为 n X 10 (01)ab对给定，只要取 和 满足 ( )1 1 b nnnn a X P abntdtba 即 1 nn ba 考虑区间平均长度最短的要求得到 ( )n X ab 而等价变形为 ( )( )nn XX ba 1, n ba 1-因此 的置信水平的置信区间为 ( ) ( ), n n n X X 11 4.3.24.3.2 大样本方法大样本方法 1.1.总体比值总体比值 p p 的置信区间的置信区间 总体比值是指总体中具有某种特征的总体比值是指总体中具有某种特征的 个体所占的比率个体所占的比率, ,记
7、为记为 p. 例如例如, ,总体的次品率就是指总体中次品总体的次品率就是指总体中次品 所占的比率所占的比率. . 随机变量随机变量X表示个体的某种特征指标表示个体的某种特征指标, 规定当一个体具有某种特征时规定当一个体具有某种特征时, ,则则X=1, 否则否则,X=0. X 服从服从0-1分布分布: : P(X=1)=p, P(X=0)=1-p. 并且并且 EX=p, DX=p(1-p) 12 1 , ( , )：令可知解 n nin i SXSb n p 1 (1),0,1 xx P Xxppx 1 两点分布参数的置信区间两点分布参数的置信区间 12 , (1, ),01 设是抽自总体 的样
8、本，且 ，即 n XXXX Xbpp 1-p求参数 的置信区间 ,根据中心极限定理，对于充分大的 有n (0,1) (1)(1)/ 当 L n SnpXp TN nppppn n 13 , (1) (0,1). 当 充分大时 随机变量的极限分布是 ，与未知参数 无关 n Snp nT npp Np .于是取 作为枢轴变量T 当 充分大时有n /2/2 1 (1)/ Xp Puu ppn 14 /2/2 1 (1)/ Xp Puu ppn p的置信水平的置信水平1-的近似置信区间为的近似置信区间为 2222 /2/2 ()(2)0 nupnXupnX /2/2 (1)/ 不等式等价于 Xp uu
9、 ppn 2 2 /2 12/2/2 22 /2 1(1) , 24 unXX ppXuu nunnn 15 /由 和 P n pSnp 实用中可采用下列更简单的方法：实用中可采用下列更简单的方法： 将上述两式相乘，按照依分布收敛的性质，有 (1) 1 (1) 得到 P pp pp (1) (0,1) (1)/(1)/(1) L pppppp N ppnppnpp (0,1) (1)(1)/ L n SnpXp TN nppppn (0,1) (1)/ L pp N ppn 16 即即 (0,1) (1)/ L pp TN ppn T.的极限分布与p无关，于是取 作为枢轴变量T 当 充分大时有
10、n /2/2 1 (1)/ pp Puu ppn 17 /2/2 1 (1)/ pp Puu ppn p的置信水平的置信水平1-的近似置信区间为的近似置信区间为 /2/2 (1)/(1)/ puppnppuppn /2/2 (1)/ 不等式等价于 pp uu ppn 12/2/2 ,(1)/ ,(1)/ p ppuppn puppn 18 例例 某地区随机调查了七岁以下的儿某地区随机调查了七岁以下的儿 童童24522452名名, ,发现患有肥胖病的发现患有肥胖病的5656名名, , 试以试以98%98%的置信度给出该地区全部七岁的置信度给出该地区全部七岁 以下儿童的肥胖发病率的区间估计以下儿童
11、的肥胖发病率的区间估计? ? 19 解解: : 0.01 2452,56/24520.023 /20.01,2.33 npX u 98%p 的近似置信区间为 0.023-2.33 0.003,0.023+2.33 0.003 即 0.016,0.03 20 例例 设自一大批产品的设自一大批产品的100100件样品中件样品中, ,得一得一 级品级品6060件件, ,求这批产品的一级品率的求这批产品的一级品率的95%95%置置 信区间信区间? ? 解解: : 0.025 100,0.6 /20.025,1.96 npX u 95%p 的近似置信区间为 0.6-1.96 0.049,0.6+1.96
12、 0.049 即 0.504,0.696. 因此因此, ,在这批产品中以在这批产品中以95%95%的可靠度的可靠度 估计一级品率在估计一级品率在50.4%50.4%至至69.6%69.6%之间之间. . 21 例例 在某电视节目收视率的调查中，随机在某电视节目收视率的调查中，随机 抽取了抽取了500户家庭，其中有户家庭，其中有200户家庭收看户家庭收看 该电视节目该电视节目. 试求收视率试求收视率 p的的95置信区间置信区间. 解：解：收视率收视率 p是两点分布的参数是两点分布的参数 0.025 500,200/5000.4 /20.025,1.96 npX u 95% p的近似置信区间为 0
13、.36,0.44 22 1 ,(),：令可解知即 n nin i SXSP n 2 Poisson分布参数的置信区间分布参数的置信区间 12 , ( ),0 设是抽自总体 的样本，且 其中未知 n XXXX XP 1-求参数 的置信区间 () (),0,1,2, ! nk n en P Skk k 当 充分大时，由中心极限定理可知n (0,1) 当 L n Sn Nn n 23 , (0,1). 当 充分大时 随机变量的极限分布是 ，与未知参数 无关 n Sn nT n N .于是取 作为枢轴变量T 当 充分大时有n /2/2 1 当 n Sn Puun n 24 /2/2 1 n Sn Puu n 2222 /2 (2)0 nn nnSnupS /2/2 解不等式 n Sn uu n 2222 /2/2/2/2 12/2/2 2222 , 2424 nnnn SuuSSuuS uu nnnnnnnn 1-参数 的置信系数近似为的置信区间为 25 实用中可采用下列更简单的方法：实用中可采用下列更简单的方法： (0,1) /
