实验模态分析

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1、机械结构实验模态分析 实验任务 掌握实验模态分析的基本原理 熟悉掌握实验模态分析的一般步骤 熟悉实验模态分析仪器 撰写实验报告 模态分析概述 定义： 承认实际结构可以运用所谓“模态模型”来描述其动态响 应的前提条件下，通过特定的方法寻求其“模态参数”， 模态分析属于参数识别的范畴 模态参数 固有频率、模态阷尼比、模态矢量（振型）、模态质量、 模态刚度、 模态分析应用 建立结构动态响应的预测模型 已知输入，通过模态参数可以得到结构的响应 为结构的动强度设计及疲劳寽命的估计服务 对比虚拟样机模型的动态特性 样机模态参数与试验获得的模态参数对比 保证所建立的虚拟样机模型的准确性 结构局部损伤检测 结

2、构的局部损伤将导致整个系统模态参数的变换 通过检测模态参数实现对结构健康度的实时监控。 问题描述 两个集中质量分别为：m1，m2 集中质量间连接弹簧刚度分别为： k1，k2 集中质量相对平衡位置的位秱分别 为：X1，X2 m1 k1 k2 m2 x1 x2 模态分析应用 模态分析基本理论 运动学微分方程： 简写为： 其中： 0 0 2 1 22 221 2 1 20 01 x x kk kkk x x m m xAx KMA 1 运动方程求解 假定其解的形式为： 运动方程改写为： 上述方程有解，则必须满足（特征方程）： 展开为： 上式的根（特征值）为系统固有频率的平方值 将特征值分别带入运动方

3、程，则可得到特征向量 t X X x x sin 2 1 2 1 XXA 2 0det 2 EA 0)( 2 1 22 r r 模态分析应用 小结 多自由度系统特性参数可表示为刚度矩阵K和质量矩 阵M，他们一般都是对称矩阵，另外定义系统矩阵 A=M-1K，一般是非对称矩阵； 系统矩阵的第r阶特征值，就是系统第r阶自由振动的固 有频率的平方值，说明系统固有频率等于系统的自由度； 对于每个特征值，相应的有一列特征向量，称为特征振 型，或称为固有振型，也可以成为固有模态振型； 模态分析应用 特征向量之间的正交性特征向量之间的正交性 由前面推导可知：由前面推导可知： 第第r阶：阶： 左乘 得 (a)

4、第第k阶：阶： 转置右乘 得 (b) rrr MK 2 kkk MK 2 T k r T krr T k MK 2 r r T kkr T k MK 2 XXA 2 特征向量之间的正交性特征向量之间的正交性 (a)-(b)得：得： 故：故： 同理：同理： rkm rk M r r T k , ,0 rkk rk K r r T k , ,0 0)( 22 r T kkr M 特征向量之间的正交性特征向量之间的正交性 集合成矩阵形式得：集合成矩阵形式得： 式中：式中： 分别称为广义质量矩阵、广义刚度矩阵、特征值矩阵，均为分别称为广义质量矩阵、广义刚度矩阵、特征值矩阵，均为 对角阵对角阵 21 r

5、r r T r T MK KK MM 321 22 2 2 1 2 21 21 nr nr nr diag mkkdiagK mmmdiagM 方程解耦方程解耦 定义：定义： 设法使一组本来耦合的方程变为一组无耦合方程 采用方法：采用方法： 坐标变换 对于多自由度系统响应可由特征向量线性组合：对于多自由度系统响应可由特征向量线性组合： 即： 则运动学方程变为：则运动学方程变为： qqqqx nn 1111 0qKqM TT 方程解耦 由前面推导的特征向量的正交性，上式变为： 由于都是对角阵，因此上述方程得到解耦合。 上述解耦过程中，采用固有振型矩阵作为坐标变换矩阵， 该矩阵又称作固有振动模态振

6、型矩阵，或简称模态振型矩 阵。 采用固有振型作为变换矩阵，使动力学方程组完全解耦， 每个方程可单独求解。 0qKqM rr 频率响应函数 用付氏积分变换法求任意激励的响应 )( )( 0 0 2 1 2 1 22 221 2 1 22 221 2 1 2 1 tf tf x x kk kkk x x cc ccc x x m m 对方程两边都取付氏变换，得到 )( )( )( )()( 2 1 2 1 2 2 2222 2221 2 121 F F X X cmkck ckccmkk jj jj )( )()( )( )( 2 1 1 2 2 2222 2221 2 121 2 1 F F c

7、mkck ckccmkk X X jj jj 记为： )()()(FHX 其中H()为系统的频率响应函数矩阵： 1 2 2 2222 2221 2 121 2221 1211 )( )()( )()( )( cmkck ckccmkk HH HH jj jj H 频率响应函数 对于所讨论的两自由度系统，容易求出H() 的各个元素： )( )( 1 )( 2 2 2211 cmkH j 为第1个质量块对第1个激励的 频响函数； )( )( 1 )()( 222112 ckHH j 为第1(2)个质量块对第2(1)个激励的 频响函数； )( )( 1 )( 21 2 12122 ccmkkH j

8、为第2个质量块对第2个激励的 频响函数； 其中： 2 2 2222 2221 2 121 )( )( cmkck ckccmkk jj jj 于是系统响应在频域可表示为如下叠加关系： )()()()()( )()()()()( 2221212 2121111 FHFHX FHFHX 频率响应函数 n i ii T iNiN n 1 22 2 )( j AA H ) )( )( ()( 1 n r rr T rr rr T rr pa pa j j H 频率响应函数矩阵（实模态理论） 频率响应函数矩阵为（复模态理论） 频响函数与模态参数频响函数与模态参数 频响函数矩阵中的任一行为：频响函数矩阵中

9、的任一行为： 可见，任一行都包含所有模态参数，而该行的第r阶模 态的频响函数值之比值，即为第r阶模态振型 力锤游动，单点拾振，其实质就是测量一行频响函数， 从而进行模态参数识别。 Nrrr N r rrr ir iNii cjmk HHH 21 1 2 21 频响函数与模态参数频响函数与模态参数 频响函数矩阵中的任一列为：频响函数矩阵中的任一列为： 可见，任一列都包含所有模态参数，而该行的第r阶模 态的频响函数值之比值，即为第r阶模态振型 力锤固定，各点拾振，其实质就是测量一列频响函数， 从而进行模态参数识别。 Nr r r N r rrr jr Nj j j cjmk H H H 2 1 1

10、 2 2 1 频响函数图像频响函数图像 幅频与相频曲线幅频与相频曲线 在小阻尼情况下，幅频曲线的在小阻尼情况下，幅频曲线的 峰值对应的频率为固有频率；峰值对应的频率为固有频率； 相频曲线相频曲线- -9090o o对应的频率为固对应的频率为固 有频率。有频率。 幅频曲线功率点对应的频率满幅频曲线功率点对应的频率满 足：足： 其中：其中： 为阻尼比为阻尼比 为固有频率为固有频率 n ab 2 n 实频、虚频曲线实频、虚频曲线 单自由度系统实频曲线零点对应的单自由度系统实频曲线零点对应的 频率为固有频率；频率为固有频率； 多自由度系统，由于临近模态影响，多自由度系统，由于临近模态影响， 造成零点移

11、动，因此用虚频曲线峰造成零点移动，因此用虚频曲线峰 值作为固有频率较可靠；值作为固有频率较可靠； 实频曲线正负峰值对应频率满足：实频曲线正负峰值对应频率满足： 其中：其中： 为阻尼比为阻尼比 为固有频率为固有频率 n ab 2 n 频响函数图像频响函数图像 实验模态的基本步骤实验模态的基本步骤 频响函数测量频响函数测量 模态参数估计模态参数估计 测量系统建立测量系统建立 悬挂、支撑形式悬挂、支撑形式 激励方式选择激励方式选择 激励位置确定激励位置确定 响应位置确定响应位置确定 混叠现象混叠现象 低通滤波低通滤波 泄漏泄漏 窗函数窗函数 谱相关函数谱相关函数 误差估计误差估计 模态参数初步识别模

12、态参数初步识别 迭代优化计算迭代优化计算 模态矢量识别模态矢量识别 模态矢量归一化模态矢量归一化 模态质量刚度确定模态质量刚度确定 动画显示动画显示 实验模态测量原理图实验模态测量原理图 加速度计 力 锤 电 荷 放 大 器 力信号 加速度信号低通滤波 A/D转换 FFT变换 频 率 响 应 函 数 模 态 参 数 悬挂、支承边界条件悬挂、支承边界条件 1 悬挂或支撑点应悬挂或支撑点应 该选择处于或接该选择处于或接 近尽可能多的模近尽可能多的模 态的节点上态的节点上 2 悬挂绳或支承装悬挂绳或支承装 置要足够软，保置要足够软，保 证刚体共振频率证刚体共振频率 低于第一阶弹性低于第一阶弹性 共振频率（通常共振频率（通常 要求小于要求小于10%