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1、2015年11月4日5时11分1 ,0 r ,20 . z 一、利用柱面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分 的柱面坐标的柱面坐标就叫点就叫点个数个数 ，则这样的三，则这样的三的极坐标为的极坐标为面上的投影面上的投影 在在为空间内一点，并设点为空间内一点，并设点设设 Mzr rPxoy MzyxM , , ),( 规定：规定： x y z o ),(zyxM ),(rP r 2015年11月4日5时11分2 . ,sin ,cos zz ry rx 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐 标的关系为标的关系为 为常数为常数r 为常数为常数z 为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分
2、别为 圆柱面；圆柱面； 半平面；半平面； 平平面面 ),(zyxM ),(rP r z x y z o 2015年11月4日5时11分3 dxdydzzyxf),( .),sin,cos( dzrdrdzrrf d r x y z o dz dr rd 如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系 中的体积元素为中的体积元素为 ,dzrdrddv 2015年11月4日5时11分4 例例1 1 计算计算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4 222 zyx与抛物面与抛物面zyx3 22 所围的立体所围的立体. 解解 由由 zz ry rx sin cos , zr zr 3 4 2 22 , 3,
3、 1 rz 知交线为知交线为 2015年11月4日5时11分5 2 3 2 42 0 3 0 r r zdzrdrdI. 4 13 面上，如图，面上，如图，投影到投影到把闭区域把闭区域xoy .20 , 30 4 3 : 2 2 r rz r ， 2015年11月4日5时11分6 例例 计算计算 dxdydzyxI)( 22 ， 其中其中 是是曲线曲线 zy2 2 ，0 x 绕绕oz轴旋转一周而成轴旋转一周而成 的曲的曲面面与两平面与两平面, 2 z8 z所围的立体所围的立体. 解解由由 0 2 2 x zy 绕绕 oz 轴旋转得，轴旋转得， 旋转面方程为旋转面方程为,2 22 zyx 所围成
4、的立体如图，所围成的立体如图， 2015年11月4日5时11分7 : 2 D, 4 22 yx. 2 2 20 20 : 22 z r r : 1 D,16 22 yx , 8 2 40 20 : 21 z r r 所围成立体的投影区域如图，所围成立体的投影区域如图， 2 D 1 D 2015年11月4日5时11分8 ,)()( 21 2222 21 dxdydzyxdxdydzyx III 1 2 8 2 1 D r fdzrdrdI , 3 45 2 2 2 2 2 D r fdzrdrdI, 6 25 原式原式 I 3 45 6 25 336. 8 2 4 0 2 0 2 2 r dzr
5、rdrd 2 2 2 0 2 0 2 2 r dzrrdrd 2015年11月4日5时11分9 二、利用球面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分 的球面坐标的球面坐标就叫做点就叫做点 ，个数个数面上的投影，这样的三面上的投影，这样的三在在点点 为为的角，这里的角，这里段段逆时针方向转到有向线逆时针方向转到有向线 轴按轴按轴来看自轴来看自为从正为从正轴正向所夹的角，轴正向所夹的角， 与与为有向线段为有向线段间的距离，间的距离，与点与点点点 为原为原来确定，其中来确定，其中，三个有次序的数三个有次序的数 可用可用为空间内一点，则点为空间内一点，则点设设 M rxoyM POP xz zOM
6、MO rr MzyxM ),( 2015年11月4日5时11分10 ,r 0 .20 ,0 规定：规定： 为常数为常数r 为常数为常数 为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为 圆锥面；圆锥面； 球球 面；面； 半平面半平面 2015年11月4日5时11分11 .cos ,sinsin ,cossin rz ry rx 球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为 如图，如图， P x y z o ),(zyxM r z y x A ，轴上的投影为轴上的投影为在在点点 ，面上的投影为面上的投影为在在设点设点 AxP PxoyM .,zPMyAPxOA 则则 2015年11
7、月4日5时11分12 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin( 2 ddrdrrrrf 球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为 ,sin 2 ddrdrdv d r x y z o dr dsinr rd d d sinr 如图，如图， 2015年11月4日5时11分13 例例 3 3 计算计算 dxdydzyxI)( 22 ，其中，其中 是是锥面锥面 222 zyx ， 与与平面平面az )0( a所围的立体所围的立体. 解解 1 采用球面坐标采用球面坐标 az , cos a r 222 zyx , 4 ,20, 4 0, cos 0: a r
8、2015年11月4日5时11分14 dxdydzyxI)( 22 drrdd a 4 0 cos 0 34 2 0 sin d a )0 cos ( 5 1 sin2 5 5 4 0 3 . 10 5 a 2015年11月4日5时11分15 解解 2 采用柱面坐标采用柱面坐标 ,: 222 ayxD dxdydzyxI)( 22 a r a dzrrdrd 2 0 2 0 a drrar 0 3 )(2 54 2 54 aa a . 10 5 a 222 zyx , rz ,20,0,: arazr 2015年11月4日5时11分16 例例 4 4 求曲面求曲面 2222 2azyx 与与 2
9、2 yxz 所围所围 成的立体体积成的立体体积. 解解 由锥面和球面围成， 由锥面和球面围成，采用球面坐标，采用球面坐标， 由由 2222 2azyx ,2ar 22 yxz , 4 ,20, 4 0,20: ar 2015年11月4日5时11分17 由三重积分的性质知由三重积分的性质知 dxdydzV, a drrddV 2 0 2 0 2 0 sin 4 4 0 3 3 )2( sin2d a .)12( 3 4 3 a 2015年11月4日5时11分18 补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算 使用对称性时应注意：使用对称性时应注意： 、积分区域关于坐标面的对称
10、性；、积分区域关于坐标面的对称性； 、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的的 一般地， 当积分区域一般地， 当积分区域 关于关于xoy平面对称， 且被平面对称， 且被 积函数积函数),(zyxf是关于是关于z的奇函数，则三重积分为的奇函数，则三重积分为 零， 若被积函数零， 若被积函数),(zyxf是关于是关于z的偶函数， 则三重的偶函数， 则三重 积分为积分为 在在xoy平面上方的半个闭区域的平面上方的半个闭区域的三重积分三重积分 的两倍的两倍. 奇偶性奇偶性 2015年11月4日5时11分19 例 例 利用对称性简化计算利用对称性简化计算 dxdy
11、dz zyx zyxz 1 )1ln( 222 222 其中积分区域其中积分区域 1| ),( 222 zyxzyx . 解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称， 被积函数是被积函数是的的奇函数奇函数,z . 0 1 )1ln( 222 222 dxdydz zyx zyxz 2015年11月4日5时11分20 解解 2 )(zyx )(2 222 zxyzxyzyx 例例 6 6 计算计算 dxdydzzyx 2 )(其中其中 是由抛物是由抛物 面面 22 yxz 和球面和球面2 222 zyx所围成的空所围成的空 间闭区域间闭区域. 其中其中yzxy 是关于是关于y的奇函数的奇函数, 且且 关于关于zox面对称面对称, 0)(dvyzxy, 2015年11月4日5时11分21 同理同理 zx是关于是关于x的奇函数的奇函数, 且且 关于关于yoz面对称面对称, 0 xzdv 由对称性知由对称性知
