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1、 1 第第二二章章 群的群的线性线性表示理论表示理论 和置换群一样，矩阵群也有资格作为样板群，且适用范围更广。 群论在物理中的应用一般都是线性表示的形式； 我们对矩阵和数更熟悉。 F. G. Fronenius, W. Burnside 开创 一、一、 群的群的线性线性表示表示（linear representation） 1 定义定义 线性表示线性表示即群 G 到 GL(n, C)的同态： 群 G 的每个元素与一个n阶非奇异复矩阵)(gT对 应， 且保持群的乘法结构，)()()(G,hgghgTTT， 象(G)f称为群 G 的一个n阶 （线 性）表示。 单位表示单位表示 所有元素均映射为 1
2、 酉(unitary)表示（幺正表示） 1, TT1 实表示实表示 表示矩阵是实矩阵（广义定义是和实数矩阵等价的表示） 忠实（fidelity）表示 群表示和原来的群同构 定理 1)(eT, (1) = 1() 2 例例 作 3 D群的线性表示。 写出 3 维空间的旋转矩阵即可。 e：不动，1 , 1 , 1diag)(eT。 a：绕 1 轴转 1800，1,1,-1-diag)(aT。 b：绕 2 轴转 1800。可以利用转动群的生成元按公式 J iexp来写（参考转动群一章） 。这里我们把b看成是 zz，且坐标x、y在平面内对 2 轴作镜像。 二维平面上的直线方程为crn ，或0)(ncr
3、n 其中n 是原点到直线的垂线方 向，c是原点到直线的距离。容易得到，任意一点 0 r 对直线的镜像为nnrncr )(22 00 。 A BC O x y 1 2 3 14-10-14, 00:07 2 对于直线 2，0c， 直线与x轴夹角为 300，n 与x轴夹角为 1200，)2/3, 2/1(n ， yx yx yx y x y x 2 1 2 3 2 3 2 1 2/3 2/1 ) 2 3 2 1 (2， 100 02/12/3 02/32/1 )(bT。 c：绕 3 轴转 1800，n 与x轴夹角为 600，)2/3, 2/1 (n ， 100 02/12/3 02/32/1 )(
4、cT。 d：绕z轴逆时针转 1200。二维空间逆时针转的转动矩阵为 cossin sincos ， 100 02/12/3 02/32/1 )(dT。 f：绕z轴逆时针转 2400， 100 02/12/3 02/32/1 )( fT。 3 性质性质 （1） 复共轭表示：群 G 的线性表示()| 的复共轭()| ，也是群 G 的线 性表示。 （2） 对偶(dual)表示： )( )( 1 ggTT （3） 酉表示的对偶表示即复共轭表示 （4） 直积表示：群表示的直积是直积群的表示。 （5） 商群的表示可以提升为群的表示。 4 表示表示空间空间 群作用空间（群作用空间（action space）
5、群表示变换的对象，又称为表示空间。 例如转动群作用空间是三维空间矢量，在函数空间的表示的作用对象是三元函数。 3 群的不变群的不变子子空间空间 作用空间中 V，在群变换下封闭的子空间 W。 invariant subspace ,() 平庸不变子空间（trivial invariant subspace） ： 零空间和 V 推论：对有限维表示，T(G)W W T(G)W = W 例如在四维时空中，转动群的不变子空间是三维空间。 群表示论的核心问题是怎样找出一个群所有的线性表示。 5 等价表示等价表示 等价表示只相差一个相似变换等价表示只相差一个相似变换：设 G 是群，(G)T和(G)T都是群
6、G 的线性表示，如 果存在一个矩阵 S，使得)( )(G, 1 gggTSST ，则称这两个表示是等价的 注：规范矩阵（ AAAA）都可以对角化，但是一般来说，对不同的群元素，变换 矩阵不会相同，)(gSS 。所以不会出现所有的酉表示均等价于对角矩阵表示这种情 形。 群的线性表示之间的等价是一个等价关系。集合群 G 的所有线性表示可按这一等价 关系分拆为等价表示类，只要找到一个代表就可以了。可以选择这个代表为酉表示： 定理定理有限群的每个等价表示类中都存在一个酉表示。 证明 设)(GT是群G的一个表示，我们把与之等价的幺正表示找出来。 相似变换矩阵S必然取决于GggT| )(， 即由)(gT来
7、构造； 但是又必须与g无关， 是一个常数矩阵，可以尝试令 Gg gTgTS)()( 2 。 由重排定理， 22 )()()()(SghTghThTShT Gg ， 从而有， 如果矩阵 2 S能够开方， 并且开方后所得矩阵S是非奇异的厄米矩阵，SS ， 0detS，则可以取 1 )()( ShSThU，)(GU是群G的幺正表示， 1)()()()( 12111 SSSShSSThTShUhU。 下面对 2 S开方： 因为 2 S是厄米矩阵，可以对角化， 122 QQDS， 其中 2 D是对角矩阵，对角元都是实数，是 2 S的本征值；Q是酉矩阵，每列都是 2 S的 归一化本征矢。 取等价表示 4
8、QgTQgT)()( 1 ， )()( 2 gTgTD Gg ， 可得对角元非负， 0)( )()( 2 2 Ggj jk Ggj jkkjkk gT gTgTD 进一步的， 对角元非 0， 如果为 0， 则Gg，)(g T 的第k列全为 0， 与表示矩阵)(gT 非奇异矛盾。 于是可以将 2 D开方，对角元取相应的正实根，则D是非奇异的实对角矩阵， 1 QDQS为非奇异厄米矩阵。 另一种证明： 群G的线性表示表示(G)是 矩阵，作用在维复线性空间V。在V上定义两个矢量 的内积 (|) 正交标准基为() 。 定义新的内积 | 1 |G| ()|() G 则这个内积在群变换下不变， ()|()
9、1 |G| ()|() G = 1 |G| ()|() G = | 设新的内积定义下，正交标准基为。 | = 设两组标准基之间的坐标变换为 = | = = (|) | = (|),| = (1|1) 现在有 (|) = | = ()|() = (1()|1() 由,的任意性知() 1()是幺正矩阵，构成群G的幺正表示。 性质性质 酉表示矩阵的本征值模为 1，|迹|n. 5 二、二、 不可约表示不可约表示 两个线性表示可以通过直和得到一个更高维数的表示 () = (1() 2() 我们认为这种表示不是“基本”的。 1 可约表示可约表示 定义：表示空间中含有群的非平庸不变子空间（真真不变子空间不变
10、子空间）W， , ,() 推论： , , ,( ,() = 0 定义：表示矩阵()等价于（把 W 中的分量排在前面） ,() ( ) 2 完全可约完全可约 正交补空间：设W是V的子空间，其正交补空间W= V| W, (,) = 0 性质：正交补空间W满足W W= 0, W W= V. 定义：表示空间中含有非平庸的不变子空间，并且其正交补空间也是不变子空间 定义：表示矩阵()可以同时准对角化， ,T() ( ) 3 不可约表示不可约表示 定义：表示空间中不存在真不变子空间 不可能把表示矩阵() = ()| 同时准对角化。 4 性质性质 （1） (Maschke)有限群的任意线性表示可约完全可约。
11、 证明 1：设T(G)可约，不变子空间为W。等价的酉表示为 () = ()1 可得 6 ,() = ,1() = ,() = 是U(G)的不变子空间。 现在W的正交补空间W也是U(G)的不变子空间： , ,(,() = (1),) = (,) = 0 ,() () 所以U(G)完全可约。 证明 2：T(G)可约，设已经通过相似变换，成为如下形式 () = (1() () 2(), ()是同态，所以 () = ()() (1() () 2() = ( 1()1()1()() + ()2() 2()2() ) 取常数矩阵 ( 1 | ( )2 ( 1) ),S1= ( 1 | ( )2 ( 1) ) 则 ()1= ( 1 | ( )2 ( 1) )(1() () 2()( 1 | ( )2 ( 1) ) = ( 1() () 1 | ( )2 ( 1) 2() 2() )( 1 | ( )2 ( 1) ) = ( 1() 1 | 1() ( )2 ( 1) + () 1 | ( )2 ( 1) 2() 2() ) 利用同态性， 1() ( )2 ( 1) = ( ) ()2()2 ( 1) =()2
