球面渐开线圆锥齿轮的几何原理

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1、球面渐开腺圆雄齿翰的几何原理 李华敏 提要 本文就成而渐开扬圆必仁齿输的几何原理作了分析研究 , 封圆雄齿偷嘀合的基本定律 、 瑜而渐 开摄的性臂 、 襟拳球而渐开探齿愉的基本尺寸 、 俄而渐开摄齿输正摧嘀合的像件 、 制造方法 、 无 菌侧简隙嗡合方程式 、 矍量指襟包活重叠系数 、 磨揖系数和几何壑力系数 、 曲润亩白勺干涉及遇渡 圆半侄的选择以及砍而渐开操曲翰的段舒等方而逃行了较系梳的甜渝 。 利用本文所提出的方法殷 副 一曲币 俞傅动 , 较用常量茵数的方法可以得到更人的嘀合角 , 因而可以得到更好的指量指漂 。 本文 遗举例靓明了整个的言算遏程 。 应用球面渐开腺于圆雄禽输 , 是十

2、九世耙列魏福尔 中 一提出来的 。 但 是到砚在为止 , 对于这种禽输的几何原理 , 尚无系就的研先 , 特别是关于球面渐开腺圆维亩 翰的修正补算及其毅升方法 , 六未兑褚文献 。 本文的目的是对球面渐开貌圆雄禽输的菌廓曲腺 、 制造方扶 、 箕量指标和敲补方法等作 一系 就的探甜 。 一 、 圆雄亩蝙喃合的基本定律 为了选择圆雄亩输的禽廓曲腺 , 必须首先知道窗廓曲腺与傅动比 一 会 之简的关系 。 投雨平滑的球面曲粮禽廓喷合于任意点圈 。 过点作禽廓的公法腺球面的 , 与雨亩输中心联徐相交于点 。 如球的半理为 , 雨亩输的角速度各为 。 和 。 , 雨禽廓在点的速度 劝 和 。 为 刀

3、, 刃 久 因禽输上的点按轴腺迥搏 , 故 公 垂直于平面 , 郎叭垂直于对同理 , 刃 也乖直于 。 过点作齿廓的公祛腺平面的 , 郎为球面公祛腺的 一切腺。 顺 然 , 也垂直于 以 。 因此 , 速度向量劝刃和公法叙在同一的垂直于的平面 内 。 由于亩廓不能互相嵌入 , 同时我们又不考虑禽廓的量形 , 故 刃, 和 刃 在公祛腺为万上 的投影应当相等 , 即 刃刃 , 如 由此得雨侮输的瞬时傅动此 伪 口 一一 叨 一 吻 一 一 口 以上各式中 , 及各为叭和仇与祛镍的爽角 。 由球面三角形 可得 岛 王刃 乙尸一一一 一 由此得 资二王 之 同理 , 由三角形尸可得 场 内二乙岛 久

4、 乙 书以雨式之值代入式中 , 最后得瞬时傅动此为 迎工 式轰明 , 中心腺久球面的被菌廓公法腺球面的所分成的雨徐段的正 弦 , 与禽翰的角速度成反此例 。 为了使傅动比 等于常数 , 则此值 岛 必须在任何瞬简都等于常数 。 这就是甜 , 齿廓的公祛腺在任何瞬简都必须通过中心腺上的一个固定点箭点 尸 。 如果希望傅动此按 一定的规律燮化 , 比值 应按一定的规律燮化 。 一 也必须按一定的规律燮化 , 郎筋点在中心腺上的位置 度 。 二 以和为 中心过箭点作雨圆 , 此雨圆称为箭圆 。 雨曲翰的筋圆具有相同的腺速 以 五 和犷表示雨亩翰的球面筋圆半视 , 因球面 中心距 二 犷、 , 同时

5、场 伪 二 几 ” 冗 故得 ” , 馆 兄 , 滋 二 、 球面渐朋粽及其性直 当平面在圆雄上滚动时 , 平面上一点 的帆胁称为球面渐开腺 。 敲圆罐称为基圆雄 。 如圆 所示 , 球面渐开腺是平面 二 在基圆雄上滚动时 , 其上点的轨胁 。 它之所以是球面 曲腺 , 是 因为平面在基圆雄上滚动的过程中 , 点到维顶 琳合 点的距离始籽不 夔的原故 。 球面渐开腺的成形 , 也可以韶为是一条球面直腺在基圆上滚动时 , 道徐上一点的轨娜 。 这条球面道徐又称为臂生腺 , 如圆中的亥万就是聆生腺 。 与平面渐开腺相类似 , 球面渐开腺的祛腺球面的亥刀也切于基圆 , 同时其球面曲 率半视也等于点到

6、癸生腺与基圆的切点的距离亥刀 。 现在来看球面渐开振的 方程式 。 取基圆 中心为坐标原点 ,。 为拯轴 , 以表示 拯角 , 以尺 表示 向便 。 由球面渐开腺的成形过程可知 , 丫 但由球面三角形 可得 。 二旦匹卫 一 一 , 此较 、 雨式 , 得 一, , 丫 、, 二兀二丁而一一一 万 万 又由三角形可得 尺 公式和就是球面潮开腺的拯坐标参燮数方程式 , 其中 丫 为参燮数角 。 应当指 出 , 与平面渐开腺不同 , 角不是压力角 。 如圆所示 , 压力角应当是速度与不补摩 擦的压力 的央 角 , 即向攫刀 的垂直徐与法腺的夹角 , 其值为 “二 一尽 。 由于 球面三角形 的三内

7、角之和一般均大于 ” 在 。与 之简 , 故 十丫 , 因而 , 。 事实上 , 由三角形可得 , 向视尺与压力角之简的关系 , 也可由三角形得出 , 尺二 , 犷, 如前所述 , 点的球面曲率半役为 。 以兀刃 为半视作出的圆的实际半搜 平面的为 戈万 产 舒算强度时 , 需要知道曲腺在力的作用方 向的曲率半视 。 为此 , 取平面通过力业与平面 二 相垂道 , 以万万 户 为半搜的圆在敲平面上的投影为一椭圆圆 , 此椭圆的是朝等 于万可 , , 而短轴 等于死天 ,。 椭圆短轴上点的曲率半攫就是球面渐开腺在力的 作用腺方 向的 曲率半径 。 砂 牙 贾可 , 贾刃 , 灭贡飞可万 二 而互

8、灭万 代入万天 , 之值 , 得 “丫 当平面 二 在基圆维上滚动时圈 , 可以同时豁为 , 歌平面又在另一与墓圆雄相对而推角相等的假想基圆维 上 滚动 。 这就是羡 , 可以韶为球面癸生腺亥刀 。 一方面在以 为中心的基圆上滚动 , 同时又在以 , 为中心的基圆上滚动 。 颖 而易觅 , 由于基圆以内没有渐开腺 , 点的轨赫 弋 球 面衡开腺应当在上述雨基圆之简 。 在假想的基圆上 , 球面衡开 貌有一回 归点 。 。 点 。 的位置对于基圆 来戏为 丫 , 郎亥刃或尺尸 。 而对于基圆 , 来税 , 点的位置 为 丫二 , 良或尺一 ,。 如果 丫角 撇擅靖加 , 具】 癸生腺上的 点俘沿

9、另一支球面撕开腺 坑 向移动 , 而当角和时 , 又回到 原来的基圆上 。 由上述可见 , 球面渐开腺的畏度 坑 随基圆半理的增大而精短 , 当尸时 , 凡瓜 , 此 时球面渐开腺燮为一点 。 由公式和可兑 , 当时 , 得兀刃二 , 或 贾刃 , 此时球面渐开 腺的曲率半视最大 , 因此 , 在处的渐开腺有一搏折点 。 圆中的点 瓜 就是这样 一个点 。 球面渐开腺禽翰的傅动比等于常数 , 可以靓明如下 敲有雨任意的球面渐开腺省廓圆 , 其基圆半理各为 ” 和尹 。 如果齿廓在 点喻合 , 颖然 , 过点可以作一条 禽廓的公法腺 从 。 根据球面渐开腺 的法腺切于基圆的性臂 , 这条公法银必

10、然 是雨禽廓基圆的公切腺付 。 由于基 圆半攫不会改燮 , 故公切摄也不会改燮 , 因而在喷合过程中 , 雨菌廓的 公祛腺恒为 , 韭永远通过 中心腺上的一 固定点 。 由嚼合的基本定律可知 , 雨 省翰的傅动比为一常数 。 由三角形及可得 “ 一 乙 兀尹尹 乙 仇 乙 , 由此得傅动比 卫互岛 兀 二 兀 尹 常数 。 由公式 雨轴交角 可兑 无关 。 傅动此谨 一与雨 菌翰球面基圆半视的正弦有关 , 而与球面 中心距伍 由此可知 , 球面渐开腺禽输与平面晰开腺禽输有相 同的优点 , 郎中 、少 圆 心距 的改燮不影馨傅动比 。 换言之 , 雨轴交角的敲差不影馨傅动此 。 由于这个原因 ,

11、 球 面撕开腺亩翰也可以准行修正 。 由于喷合点必在公法腺上 , 故雨基圆的公切腺刀一方面是雨商廓的公扶摄 , 同时 文是雨禽廓的喻合腺 。 过点作中心腺的锥直腺 , 其与喷合腺的交角 二 称为喷合角 , 二 又 是球面渐开腺在筋圆上的压 力角 。 三 、 镖准球面渐朋腺曲编的基本尺寸 圆雄亩翰的标准与圆柱曲翰的标准相同 。 这里首先衬益圆雄禽翰的腺性尺寸 。 为 了使 豁算更为准榷 , 通常是补算 圆雄禽翰的大端尺寸 。 毅大端漠数 为邢 一与圆 柱商翰相同 , 以公 厘升 , 则分度圆禽距丁可按下式补算圆 二 二 而分度圆半视剧按下式补算 刀忿 其中为亩翰的禽数 。 应当指 出 , 圆雄菌

12、翰的分度圆模数一般不是标准模数 , 因为模数与球的半视成正比 , 郎 在不同的球面上具有不 同的模数 。 不过 , 在大端上的模数通常取为标 准值 , 因而大端的分度 圆可以韶为是标准模数的圆 。 圈 球面渐开腺在分度圆上的压力角 。 与圆柱禽翰相同 , 郎对于直禽圆维窗翰来改 , 二 、 或晋 。 标准 圆维省输的分度圆禽厚万和禽简言各为分度圆禽距下之半 , 即 一 兀刀 “ 一丁 、飞犷 沿背雄量度的窗顶高矛和商顶高 , 为 矛力 陇 京二 方力 。 其中方 。 为禽顶系数 , 方 。 为攫向简隙系 数 , 其标准与圆柱曲翰相同 , 方 。 对于短禽 力 , 方 。二 即对于正常禽 力 。

13、 , 菌顶圆毕视 万和禽根圆半理衍为 , 二十 弓 , 本文凡是在符号的上方加一横的 , 均表示操性尺寸 , 例如下 、 矛 、 万 、 元等等 。 , , 一 , , 了 。 以上雨式中为球面分度圆半攫 , 即分度圆雄角 。 雨标准圆雄菌翰喻合时 , 为了保靓没有菌侧 简隙 , 应使雨齿翰的分度圆雄相切 , 因而此 时分度圆雄就是筋圆雄 。 由公式 和 , 雨曲翰的球面分度圆半视为 才 , 一艺月 球面分度圆半视与腺性分度圆半视芬之简有以下的关系 出 厂 一了 驭 一 , 其 中为大端球面 的半握 。 由于分度圆压力角已知为标准值 , 故求出以后 , 由公式 得 , 球面雷顶高 , 部商滇角

14、为 不难求得球面基圆半视 , 郎共圆罐角 仁 , 矛 忍一二一 球面菌根高 , 郎菌根角为 京,万一 各 球面禽顶圆半诬和禽根圆半诬 , 却菌顶圆雄角 尺 和禽根圆雄角 尺 “ 各为 尺 , 尺 “ 一 “ 现在甜渝任意半握上的禽距 , 没以斤表示任意圆的球面伞视 , 则此 圆的 圆周等于 二 尺几 因分度圆的圆周 为 兀 二 下 热以上式相除 , 得任意半视上的禽距 , 刀 刀 犷 由公式及可知 , 尺 , 其中 “ 为球面渐开腺在华握为夕的圆上的压 力角 , 牌尺及代入公式得 诊 盆 兀优 丙 任 舒算球面渐开腺省输时 , 常常需要升算其省厚 。 例如 , 为 了制造省输 , 需耍升算共基

15、圆 禽厚为了偷查禽滇是否燮尖 , 需耍针算窗顶厚度等等 。 敲已知球面基圆半径 及分度圆菌厚丁 , 需要补算任意半视尺 的圆上的菌厚孔 。 为 此 , 由禽翰中心过分度圆禽厚丢的雨端引 向褪与半视为尺 的圆相交于点 一 和 才圈 。 由圈可兑 二万交,一 月亥 因向理与 的夹角 甲 为 月 甲 蕊而万幻石反 由此得 一 刀 月月 又 万 贾尺一 。 牌万万 及 万 灵 之值代入式中 , 得 尺 一尺一 。 其中拯角 。 和各为晃前第二饰 一 又 , 。 了 一 。 丝迷些华翼旦些 一, 万 盯 一 上雨式中 , 球面渐开腺的参燮数角 孔 不口可按下式扑 算 或 二 尺 如欲补算基圆窗厚 , 则

16、因球面撕开腺在基 圆上的点的拯角为 “ , 故 尸 , 。 声 。 屿 劝 填 圆禽厚可按下述公式卦算 一丝业二 一 。 尺 , 一 , 其 中渐开腺在顶圆上 的点 的捶角 士罗丫 一 下 亏 二二万百 一 了 , 万 菌顶 圆参燮数角 可按下式舒 算 乍 , 二 。 尺 四 、 球面渐阴腺曲蝙正榷喷合的像件 与平面渐开腺禽输相同 , 雨球面晰开腺菌输必获具有相同的基圆菌距沪 , 才能正滩地喷 合 。 如 圆所示 , 敲喻合腺汀与禽输的雨左菌廓相交于 、 雨点 , 与菌翰的右 省廓相交于 、 雨点 。 根据球面渐开摄的成形过程可知腺段刃二砂 , 刃 矿 如果矿 矿 , 雨刃 。 由圆可兑 , 此时牌 崖生干涉现象 , 因为菌翰上的点将嵌入禽输的 禽内 , 使 禽翰楔住而不能搏动或引起拯大的摩擦力 。 如 果 艺 , 不 , 剧 石刃 。 由圆可晃 , 此时的 粘果是 , 当前一对菌喷合时 , 后一对菌不能接触 , 而 当前一对禽离开时 , 后一对禽牌