清华大学微积分讲座__刘坤林视频讲义

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1、1. ys2002090701.htm1.1 函数与基本不等式函数关系，定义域与值域，反函数与复合函数四类初等性质（广义奇偶性）1.2 极限定义与性质序列与函数极限定义与等价描述极限性质：唯一性，有界性，保号性及推论，比较性质1.3 三个极限存在准则1.4 两个标准极限1.5 无穷小量比阶等价无穷小量，同阶无穷小量与高阶无穷小量。1.6 极限相关知识点导数概念，变限积分，级数，微分方程，广义积分等。1.7 连续函数基本概念，定义，连续性与极限的关系，连续性等价描述，连续性的判别闭区间上连续函数的性质，零点定理，最大最小值定理。2. ys2002090702.htm1.1 函数与基本不等式函数关

2、系，定义域与值域，反函数与复合函数四类初等性质（广义奇偶性）1.2 极限定义与性质序列与函数极限定义与等价描述极限性质：唯一性，有界性，保号性及推论，比较性质1.3 三个极限存在准则1.4 两个标准极限1.5 无穷小量比阶等价无穷小量，同阶无穷小量与高阶无穷小量。1.6 极限相关知识点导数概念，变限积分，级数，微分方程，广义积分等。1.7 连续函数基本概念，定义，连续性与极限的关系，连续性等价描述，连续性的判别闭区间上连续函数的性质，零点定理，最大最小值定理。3. ys2002090703.htm例15. 设与在有定义，在有间断点，在上连续，且，则（A）在上必有间断点;（B）在上必有间断点;（

3、C）在上必有间断点;（D）在上必有间断点.例16.设，且至少存在一点，使，证明在上有正的最大值。例17.设，证明（1）存在； （2）收敛。例18.若，则（A）且； （B）且；（C）且； （D）且；例19.若存在, 则 B(A) 。(B) 之去心邻域, 使当时, 。(C) 之邻域, 使当时, 。(D) 。例20.设定义在, 且都在处连续,若 , 则 D(A) 且 ,(B) 且 (C) 且 ,(D) 且 例21.设当是比高阶的无穷小量, 则 A(A) , (B) (C) , (D) 4. ys2002090704.htm例15. 设与在有定义，在有间断点，在上连续，且，则（A）在上必有间断点;（B

4、）在上必有间断点;（C）在上必有间断点;（D）在上必有间断点.例16.设，且至少存在一点，使，证明在上有正的最大值。例17.设，证明（1）存在； （2）收敛。例18.若，则（A）且； （B）且；（C）且； （D）且；例19.若存在, 则 B(A) 。(B) 之去心邻域, 使当时, 。(C) 之邻域, 使当时, 。(D) 。例20.设定义在, 且都在处连续,若 , 则 D(A) 且 ,(B) 且 (C) 且 ,(D) 且 例21.设当是比高阶的无穷小量, 则 A(A) , (B) (C) , (D) 5. ys2002090801.htm第2讲 导数定义与性质 要点与习题清华大学数学科学系 刘坤

5、林 主讲2.1 导数定义导数定义作为第3标准极限 应用技巧2.2 导数性质函数可导的充要条件，可微性概念，可导与连续的关系2.3 微分与导数计算，高阶导数2.4 导数的定号性与函数增减性，局部极值，凹凸性与拐点6. ys2002090802.htm例1. 设，则在点可导的充要条件为 B(A) 存在，(B) 存在(C) 存在，(D) 存在例2. 若存在，则k ， -k ，-2k ， -k .例3. 设可导,且满足条件,则曲线在处的切线斜率为 D(A) 2, (B) -1, (C) , (D) 2例4. 设在区间内有定义, 若当时,有,则必是的 C(A) 间断点； (B) 连续而不可导的点(C)

6、可导的点, 且；(D) 可导的点, 且例5. 设曲线 在点处的切线与x轴交点为，则 例6. 若二次曲线将两条曲线,连接成处处有切线的曲线，则该二次曲线为 例7.设在点某领域内可导, 且当,已知, , 则例8. 设可导, ,若使处可导, 则必有 A(A) 。 (B) 。(C) 。 (D) 。例9. 设, 其中是有界函数,则在处有 D(A) 极限不存在; (B) 极限存在, 但不连续(C) 连续, 但不可导; (D) 可导例10. 设 在点处可导, 则 D(A); (B);(C); (D).例11.设在某邻域内可导,且，求极限 ；例12.设是内的连续奇函数，且，则在处的导数为 A(A); (B);

7、 (C); (D)不存在.例13.设在某内 存在，已知，求.7. ys2002090803.htm例14.函数的上凸区间为 (0,1)例15. 设函数 由 确定，则 ，例16.设，求.Key: +例17.求函数 的渐近线。Key:垂直；斜渐进线例18.设在的某领域内连续, 是的同阶无穷小量（），且为其极大值,则存在,当 时, 必有 C(A) . (B) .(C) .(D) .例19. 设当时，曲线与在内相切。又当取值范围为 时，上述二曲线在内恰有二个交点。例20. 设 满足, 讨论是否为的极值点.。例21.已知函数满足等式，且，则在处的二次Taylor多项式为.例22.设在某领域内连续, 且,

8、 , 则 A(A) 是的极大值.(B) 是的极小值,(C) 是的拐点.(D) 不是的极值点.也不是的拐点.例23.设对一切满足 ，若,其中，则 B(A) 是的极大值. (B) 是的极小值.(C) 是的拐点.(D) 不是的极值点, 也不是的拐点.例24. 设对一切满足 ，且,其中，则 C(A) 是的极大值.(B) 是的极小值.(C) 是的拐点.(D) 不是的极值点, 也不是的拐点.例25若内的奇函数, 在内, 且,则在内有 B .(A)； (B);(C) ； (D).8. ys2002090905.htm第3讲 用导数研究函数性态 要点与习题 清华大学数学科学系 刘坤林 主讲 3.1 导数零点定

9、理及应用技巧3.2 Fermat定理, Rolle定理, Lagrange中值定理, Cauchy中值定理。3.3 Taylor公式及应用3.4开区间与闭区间上的最大最小值问题 不等式证明技巧9. ys2002090906.htm1. 设方程 ，2. 讨论取何值时,使得（1）方程有一个实根；（2）方程有二个不同实根；（3）方程有三个不同实根。2.设在上有二阶导数，且又， 证明存在使 .3.设在某内 ，且, 则在 内(A)连续；(B)为增函数; (C)为正定函数；(D)能取到正值；4.设，证明不等式 5.设满足 ，且，证明当时存在常数，使得 ，并指明的取值范围。6.设在二阶可导，对一切有，证明在

10、内曲线 上一点处的切线与该曲线除切点外无交点。7.设二阶可导，,试问与在内有几个无交点？ 证明你的结论。10. ys2002090907.htm8设在（-1,1）内有二阶连续导数，,试证:（1）对(-1,1)内的任一存在唯一的，使. （2） .9(1)设 ,证明不等式 .(2)设 ,证明不等式.(求最大最小值)10 设可导函数 , 满足条件：.证明函数在中有不动点,即存在, 使得;证明对任意给定的初值，由迭代公式：，所确定的点列收敛于的不动点。11. 设，则 A(A) . (B) . (C) . (D) 12(1) 设，证明不等式 。(2)设，证明不等式。11. ys2002091001.ht

11、m13设在上二阶可导，且证明存在，使得 .14. 设在上二阶可导，且其中为非负常数,，证明 .15. 设在上连续，且 若，证明 . 16. 设是周期为1 的周期函数，在内可导，且 令，证明存在，使得。 17. 设证明 （1） （2） 18. 证明：当 时成立不等式 19. 证明：当 时成立不等式 20. 设函数由确定,求在处的切线方程与法线方程. Key: 切线, 法线 21. 设 ，则. 22. 设在任意点满足，若， 则.23设函数 由 确定，则， 24. 已知函数在上二阶可导。 若线段与曲线交于点， 证明：存在，使得。 12. ys2002091002.htm清华大学数学系 刘坤林 主讲并

12、提供文档资料本节课程内容：第4讲 原函数与不定积分 清华大学数学科学系 刘坤林 主讲4.1 原函数关于原函数与可积性的特别说明4.2 不定积分计算技巧凑微分法，变数替换法，分部积分法，回归法与递推法，有理分式与三角有理分式的积分1. 求下列不定积分(1); (2)；(3)； (4)； (5)；(6)； 13. ys2002091003.htm清华大学数学系 刘坤林 主讲并提供文档资料本节课程内容：(7)； (8);2. 求下列不定积分(1）； (2) ；(3); (4）；(5）；(6）；(7)； (8）； 或 (9) ; (10) ; (11) ; (12), 或3.（1）设，计算（2）设一个

13、的原函数为，求4. 设在上可导，其反函数为，若，求。Key: 5. 设, 求的表达式，并说明是否的原函数。Key: ,不是的原函数。事实上没有原函数。6. 设，则的一个原函数为 B （A） （B）（C） （D）7. 设在上可积，则下列命题中不正确的是 D （A）函数在上连续；（B）的任意两个原函数之差必为常数；（C）的任意两个原函数之和必为的原函数；（D）若为的一个原函数，为连续函数，则必为的原函数。8. 已知,则 9. 设为的一个原函数，常数，则= A （A）。（B）。（C）。（D） 10. 设为已知单调可导函数，为的反函数， 则 C （A）。 （B）。 （C）。 （D）。 11设在上连续，

14、记,试证（1）若为偶函数，则也是偶函数；（2）若单调不增，则单调不减。14. ys2002091009.htm清华大学数学系 刘坤林 主讲并提供文档资料本节课程内容：1. B （A）;（B） ;（C） ;（D） 设， 则 B （A）;（B）;（C）1; （D）1 3. 设，且，则 A （A）2;（B）3;（C）4;（D）1 . 4. 设， 当时，是的 C （A）高阶无穷小。（B）低阶无穷小。（C）同阶但不等价的无穷小。（D）等价无穷小. 5. 已知连续曲线关于点对称,则= D ; (B) ; (C) ;(D) 6. 求 （=） 7. 设连续，已知，且,求. Key:. 8. 已知上的连续曲线关于直线对称, 证明 . 9. 设，则与的关系为 A （A）。（B）。（C）。（D）不确定 . 10. D （A）;（B）0; （C）;（D） 11. 设，则极限 D （A） ;（B）;（C）0;（D）. 15. ys2002091010.ht