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1、Latent Interaction潜潜潜潜变量交互效应变量交互效应变量交互效应变量交互效应分析分析分析分析温 忠 麟温 忠 麟13th CCP Extended Course SHNU Shanghai Nov 19, 2010提要（一）提要（一）显变量方法方差分析回归分析部分潜变量方法2SLS多组 SEM完全潜变量方法有交互项的SEM乘积指标方法的主要议题Latent Interaction Wen ZL 2提要（二）提要（二）产生乘积指标的策略乘积指标类型指标配对策略参数约束方法及其演变约束方法部分约束方法无约束方法非正态分布：方法的稳健性Latent Interaction Wen Z
2、L 3提要（三）提要（三）指标中心化与结构方程的均值结构原始指标中心化指标正交化指标双重中心化指标简化建模标准化估计及其尺度不变性标准化估计的计算公式尺度不变性Bootstrap 方法计算SELatent Interaction Wen ZL 4提要（四）提要（四）例子分布分析方法（Distribution-analytic Approaches）Latent-moderated structural equation (LMS)Quasi-Maximum Likelihood (QML)Bayesian方法总结建议Latent Interaction Wen ZL 5交互效应例子交互效应例子
3、教育心理：教学方法与学生个性对教学效果发展心理：年龄与某个给定的变量对因变量期望值理论：期望与价值对动机自我概念：自我概念分量与对该分量的重视程度对整体自尊Latent Interaction Wen ZL 6显变量交互效应显变量交互效应自变量(X1, X2) 对结果 (Y)当 X1, X2是类别变量，方差分析（ANOVA）当 X2类别变量, X1是连续变量, 对 X2的不同类别，做Y对X1的回归分析，比较回归系数。或者，将X2编码成虚（dummy)变量，当作连续变量，做回归分析当X1, X2是连续变量， 回归分析eXXXXY+=21322110Latent Interaction Wen Z
4、L 7交互效应与分组回归交互效应与分组回归Latent Interaction Wen ZL 8两个斜率相等检验两个斜率相等检验原假设检验统计量表示残差平方和表示样本容量表示离均差平方和2II2I2II2IIIIIIIIII4SSSSnnSSESSEbbt+=III0:bbH=III,SSESSEIII,nn2II2I,SSLatent Interaction Wen ZL 9交互效应与回归模型交互效应与回归模型Latent Interaction Wen ZL 10潜变量交互效应潜变量交互效应使用潜变量的优点：较好地区分测量误差， 提高检验力（ power），对结果的解释更加明确例子：Lat
5、ent Interaction Wen ZL 11潜变量及其指标潜变量及其指标Latent Interaction Wen ZL 12部分潜变量方法部分潜变量方法A. 使用因子得分B. 两步最小二乘回归（2SLS）C. 多组SEM文献综述：温忠麟，侯杰泰，Marsh（心理科学进展，2003）Latent Interaction Wen ZL 13A. 用因子得分用因子得分(化潜为显化潜为显)用子量表分（指标的均值）作为潜变量的观测值回归分析用斜交因子得分作为潜变量的观测值（两步估计）因子分析（EFA）回归分析用CFA（允许因子相关）计算因子得分（两步估计）因子分析（CFA）回归分析仅推荐用于初
6、步分析Latent Interaction Wen ZL 14B. 两步最小二乘回归两步最小二乘回归 (2SLS)交互效应方程的类比交互效应方程的类比Latent Interaction Wen ZL 152SLS（续）（续）Bollen & Paxton（1998）优点：SPSS、LISREL都有现成指令缺点：精确度差，因变量不能是潜变量Latent Interaction Wen ZL 162SLS (续续)假设 y是可观测变量（1）由将代入 (1)写成（2）其中111+=x2122+=x323+=x4244+=x111= x332= x+=2132211y+=)()()(33113332
7、111xxxxyexxxxy+=3133211+=)(xxe31133133211Latent Interaction Wen ZL 172SLS (续续)e 与x1, x3相关，与 OLS矛盾Bollen引入工具变量（ instrumental variable）x2, x4, x2x4，使用两步估计;Step 1: 分别做x1，x3 ，x1x3对 x2,x4,x2x4的 OLS 回归，得到，和Step 2: 在（2）中用，代替 x1, x3, x1x3(变成了 x2, x4, x2x4的函数); 这样就可以用OLS估计 (2) 评论: 估计效率低如果因变量也是潜变量，还是只能用显变量Mou
8、lder & Algina(2002): 2SLS 有大的偏差, 较低的检验力, 特别是当测量信度较低的时候两步估计，测量误差没有很好控制13 x13 x1 x1 x3 x3 xLatent Interaction Wen ZL 18C. 多组多组SEM适合：一个自变量是潜变量，另一个是可观测的类别变量(Bagozzi & Yi, 1989; Rigdon, Schumacker & Wothke, 1998)检验: 结构方程系数的跨组不变性，将两组的系数约束为相等时，拟合明显变差，则存在交互效应问题: 两个自变量都是潜变量时，需要人为分组；各组样本容量可能不大；第II类错误率较高；不能估计交
9、互效应的大小除非有一个自变量是可观测的类别变量，否则不推荐Latent Interaction Wen ZL 19完全潜变量方法完全潜变量方法+=2132211Kenny & Judd (1984) 提出乘积指标方法分析潜变量交互效应Latent Interaction Wen ZL 20主要议题主要议题如何建构乘积项如何建构乘积项12的指标？有多种方法产生乘积指标（的指标？有多种方法产生乘积指标（product indicator)，哪种较好？，哪种较好？Kenny & Judd (1984) 模型有许多参数约束（模型有许多参数约束（constraints），建模复杂、易错，那些约束是必须的
10、吗？），建模复杂、易错，那些约束是必须的吗？即使即使1、2的均值为零，其乘积的均值为零，其乘积12的均值不等于零（除非的均值不等于零（除非1与与2无关），使得模型有均值结构。如何才能避免均值结构、简化模型？无关），使得模型有均值结构。如何才能避免均值结构、简化模型？统计软件会提供标准化解，但对潜变量交互效应模型而言，软件提供的是不对的。应当如何计算标准化估计？统计软件会提供标准化解，但对潜变量交互效应模型而言，软件提供的是不对的。应当如何计算标准化估计？文献综述：温忠麟，吴艳（心理科学进展，2010）乘积指标的类型乘积指标的类型当每个潜变量有多个指标时，有多种产生乘积指标的策略Marsh, W
11、en, & Hau (2002,2004) 通过系列模拟研究，比较了：所有可能乘积配对乘积 x1x4, x1x4, x2x5,x3x6 只有一对乘积 x1x4不同的配对组合，不同的一对乘积结果说明配对乘积策略比较好Latent Interaction Wen ZL 22产生乘积指标的策略产生乘积指标的策略交叉乘积交叉乘积尽可能使用每个指标尽可能使用每个指标不要重复使用指标（避免误差相关）不要重复使用指标（避免误差相关）指标一样多的配对策略：大配大、小配小指标一样多的配对策略：大配大、小配小指标不一样多的情形指标不一样多的情形留高去低后配对留高去低后配对小组打包后配对小组打包后配对(Marsh,
12、 Wen, & Hau, 2004;2006) Latent Interaction Wen ZL 23约束方法的演化（一）约束方法的演化（一）Kenny & Judd（2004）提出对乘积项的负荷、方差和误差方差进行约束Latent Interaction Wen ZL 24约束方法的演化约束方法的演化(二二)约束负荷示例x2x4在12上的负荷约束为由于需要的非线性约束太多，容易导致错误，难以应用42224412214242+=xx42111+=x4244+=x323+=x2122+=x+=2132211Latent Interaction Wen ZL 25约束方法的演化约束方法的演化(三
13、三)Jaccard & Wan (1995)将乘积指标写成(I) x2x4在12上的负荷( )约束为(II)一般地，每加入一个乘积指标，需要两个 约束：一个约束负荷，一个约束误差方差容易导致错误，因而很少应用到实际研究中24214242+=xxvar()var()var()var()var()var()var(22224412224+=244242224412+=24)4Latent Interaction Wen ZL 26约束方法的演化约束方法的演化(四四)Jreskog & Yang (1996) 提出了一般的模型，其中的观测变量可以有常数项即使的均值为零，一般也不是零，因而模型总是需要
14、有均值结构Kenny-Judd 模型 和Jaccard-Wan模型因为没有均值结构是不妥的，除非很小。加入截距项需要更多非线性约束，模型变得更加复杂。1111+=x21222+=x3233+=x42444+=x),cov()(21213= E),cov(2121,Latent Interaction Wen ZL 27约束方法的演化约束方法的演化(五五)Algina & Moulder (2001)修订了Jreskog-Yang模型，所有指标都是中心化的，但象Joreskog-Yang模型那样需要有均值结构模型容易收敛即使都能收敛，模拟结果还是中心化模型较好Moulder & Algina (
15、2002) 比较了六种方法，发现中心化方法：偏差较小第一类错误率与给定的显著性水平较接近检验力较高Latent Interaction Wen ZL 28完全潜变量方法完全潜变量方法约束、部分约束和无约束方法约束、部分约束和无约束方法Latent Interaction Wen ZL 29+=2132211分析潜变量交互效应的结构方程(A) 约束方法约束方法需要约束等式（Algina & Moulder，2001）缺点：实施困难，容易出错528=639=213=221221133+=411224117+=5222225511228+=6332226611239+=Latent Interact
16、ion Wen ZL 30(B) 部分约束部分约束当数据是非正态时，以下约束是不妥的Wall & Amemiya (2001) 提出部分约束方法（GAPI，generalized appended product indicator)，没有上面的关于潜变量之间协方差的约束优点: 纠正了约束方法的部分错误约束缺点: 还是复杂0),cov(12131=032=221221133+=Latent Interaction Wen ZL 31(C) 无约束方法无约束方法Marsh, Wen, & Hau (2002, 2004) 正式推出并评价无约束方法除了不加约束外，其他假设都与约束方法相同至少有两个
17、乘积指标时，无约束模型是可以识别的用矩法估计，可以证明无约束方法和约束方法得到的涉及交互效应的那些方程是相同的Latent Interaction Wen ZL 32(C) 无约束方法无约束方法Marsh, Wen, & Hau(2004) 模拟研究显示无约束方法与部分约束和约束方法在以下方面相当:拟合优度拟合优度; 收敛到适当解的比例收敛到适当解的比例; 主效应和交互效应估计的偏差主效应和交互效应估计的偏差; 估计的精确度估计的精确度简单得多但对N较小的正态数据，无约束方法的精确度比约束方法的略低Latent Interaction Wen ZL 33三种方法的稳健性三种方法的稳健性当正态假
18、设不成立时当正态假设不成立时:ML需要正态假设，然而，这是CFA、SEM等都面临的问题，不是交互效应模型才有的即使 1,2正态，乘积项也不是正态所有三种方法的ML估计都面临同样问题然而, ML估计对分布有稳健性，通常都优于替代的估计方法（如无分布假设估计ADF, 加权最小二乘估计） ，特别是N不大的时候（如小于2000）尽管如此，当正态不满足时，应当用校正的SE和卡方Latent Interaction Wen ZL 34稳健性稳健性: 只影响约束方法的问题只影响约束方法的问题约束方法需要 对的约束(但部分约束和无约束方法不需要):关于的约束，在关于的约束，在1,2 正态时才成立正态时才成立如
19、果上述正态性不满足，约束等式是错误的如果上述正态性不满足，约束等式是错误的即使即使 N很大，约束等式的错误没有稳健性很大，约束等式的错误没有稳健性相比之下，导致无约束方法的分布问题只有一个，而导致约束方法的分布问题有两个1,2 非正态时, 无约束和部分约束的估计偏差相对要小，并且当N很大时，偏差会减少，但约束方法的偏差不会减少Latent Interaction Wen ZL 35参数约束方法小结参数约束方法小结无约束方法胜出无约束方法胜出建模简单建模简单稳健性（稳健性（robust）高）高基本上不降低精确性基本上不降低精确性自无约束方法（自无约束方法（ Marsh, Wen, & Hau，2
20、004）面世以来已被国际上）面世以来已被国际上100多篇论文引用多篇论文引用Latent Interaction Wen ZL 36交互效应模型的均值结构交互效应模型的均值结构结构方程模型均值参数的类型结构方程模型均值参数的类型y-指标测量方程中的截距项，指标测量方程中的截距项，TYx-指标测量方程中的截距项，指标测量方程中的截距项，TX结构方程的截距项，结构方程的截距项，AL外生潜变量的均值项，外生潜变量的均值项，KA交互效应模型需要均值结构的根源交互效应模型需要均值结构的根源即使两个潜变量的均值为零，其乘积项的均值也不等于零即使两个潜变量的均值为零，其乘积项的均值也不等于零KA是需要的是需
21、要的TY是需要的是需要的Latent Interaction Wen ZL 37指标变换与均值结构的关系（一）指标变换与均值结构的关系（一）原始指标需要均值结构（原始指标需要均值结构（ Jreskog & Yang ，1996)中心化指标需要均值结构（中心化指标需要均值结构（ Algina & Moulder, 2001)正交化乘积指标无需均值结构（正交化乘积指标无需均值结构（Marsh, Wen, Hau, Little, Bovaird, & Widaman, SEM，2007）乘积指标对所有的单个指标的回归残差，作为下面交互项的指标乘积指标对所有的单个指标的回归残差，作为下面交互项的指标
22、需要二步估计，并且有所谓结构不一致问题，使得参数估计有很大的偏差（需要二步估计，并且有所谓结构不一致问题，使得参数估计有很大的偏差（Lin, Wen, Marsh, & Lin, 2010）)(2211021+Latent Interaction Wen ZL 38指标变换与均值结构的关系（二）指标变换与均值结构的关系（二）双重中心化指标无需均值结构（双重中心化指标无需均值结构（ Lin, Wen, Marsh, & Lin, SEM, 2010）在所有指标中心化的基础上，将乘积指标再次中心化作为潜变量交互结构的指标在所有指标中心化的基础上，将乘积指标再次中心化作为潜变量交互结构的指标Late
23、nt Interaction Wen ZL 39实际建模实际建模建模简化建模简化: 中心化指标无需均值结构（吴艳，温忠麟，林冠群，中心化指标无需均值结构（吴艳，温忠麟，林冠群，2009 ）先将所有指标中心化产生乘积指标建立无均值结构的模型第二次中心化，如以及潜变量交互项的中心化软件会自动完成第二次中心化，如以及潜变量交互项的中心化软件会自动完成)(2121E()CCCCCCCxxExxxx424242)(=Latent Interaction Wen ZL 40例例例例子子子子设是数学成绩, 1是数学能力,2是数学动机每个潜变量有3个指标y1 , y3；x1 , , x6中心化产生乘积指标建立
24、无均值结构的模型LISREL程序635241,xxxxxx+=)(212132211ELatent Interaction Wen ZL 41例例例例子子子子Path diagram and estimatesLatent Interaction Wen ZL 42例例例例子子子子显著的交互作用（显著的交互作用（0.163）说明）说明对高动机的学生，数学能力的正效应对高动机的学生，数学能力的正效应(i.e., 0.418+0.163动机动机)更强；或者更强；或者对高能力的学生，数学动机的正效应对高能力的学生，数学动机的正效应(i.e., 0.431+0.163能力能力)更强更强Latent I
25、nteraction Wen ZL 43标准化估计简介标准化估计简介通常标准化估计方程中的变量都是标准化变量得到的估计结构方程（SEM）：完全标准化解性质：尺度不变性（ scale-free)，即与测量单位无关作用?比较效应大小?比较负荷大小?解释模型Latent Interaction Wen ZL 44显变量交互效应标准化估计显变量交互效应标准化估计回归模型通常标准化估计合适的“标准化”估计(Friedrich ,1982)eXXbXbXbbY+=21322110+=2121321XXXXYZZZZeZZbZbZbbZXXXXY+=21213210Latent Interaction We
26、n ZL 45用用SPSS求求 “标准化标准化”估计的步骤估计的步骤（1）用菜单下的命令，计算Y, X1, X2的Z-分数ZY, ZX1,ZX2（要击选）（2）用菜单的命令，计算乘积项ZX1*ZX2（3）用菜单下的命令，以为ZY因变量，以ZX1，ZX2和ZX1*ZX2为自变量，做回归分析。只看原始估计的结果，ZX1*ZX2的系数就是交互效应的“标准化”估计，如果显著，则交互效应显著。Latent Interaction Wen ZL 46潜变量交互效应标准化估计潜变量交互效应标准化估计结构方程模型通常标准化估计合适的“标准化” 估计+=2132211+ + + + =2132211+=)(21
27、32211Latent Interaction Wen ZL 47潜变量交互效应标准化估计（二）潜变量交互效应标准化估计（二）合适的“标准化” 估计（温忠麟，侯杰泰，Marsh，2008）LISREL符号11= 22= )()()(212133sdsdsd= 33221133= Latent Interaction Wen ZL 48“标准化标准化” 估计的尺度不变性估计的尺度不变性主效应和交互效应的“标准化”估计是尺度不变的，标准误和t-值也是尺度不变的负荷的“标准化”估计是尺度不变的（Wen, Marsh, & Hau, 2010）Latent Interaction Wen ZL 49不
28、变性的含义不变性的含义Latent Interaction Wen ZL 50其他方法其他方法多个解决潜变量交互效应的方法，如耀眼的新星，已经出现在地平线上，有待在通常的SEM软件中实现Latent Moderated Structural Equations (LMS，Klein & Moosbrugger, 2000)Quasi-Maximum Likelihood (QML,Klein & Muthn, 2002 )two-step method of moments (2SMM, Wall & Amemiya, 2000 ) Bayesian method (Arminger & Mu
29、thn,1998; Lee, Song, & Poon, 2004; Lee, Song, & Tang, 2007; Lee & Zhu, 2000) Exact maximum likelihood (Lee, Song & Poon, 2004; Lee & Zhu, 2002）Latent Interaction Wen ZL 51Latent Moderated Structural Equations (LMS)Klein的博士论文发展了LMS 不需要使用乘积指标结构方程外源潜变量和误差项仍然假设是正态分布；指标的联合分布被近似地表示成有限混合分布（finite mixture d
30、istribution），用EM算法最大化对数似然函数（ log likelihood function ）模拟研究发现: 参数估计效率较高，SE 相对无偏已经在Mplus 3.0上面实现+=Latent Interaction Wen ZL 52Quasi-Maximum Likelihood (QML)QML (Klein & Muthen, 2002；2007) ) 比LMS计算量少，估计效率更高QML和LMS都是分布分析方法，结构方程相同经过系列的变换和计算，指标的联合分布近似表示成一个正态分布和一个条件正态分布的乘积QML2.30以前的版本，当正态性假设不成立时， SE 的估计是有篇
31、的，导致第一类错误率偏高；QML2.30以后的版本，解决了这一个问题剩下的问题是软件的流行Latent Interaction Wen ZL 53Two-Step Method of Moments (2SMM)Wall and Amemiya (2000) 发展了 2SMM 方法分析很一般的多项式SEM 是内生潜变量, 是 (k 1) 潜变量向量, h() 是 (r 1) 潜变量向量，它是的元素的函数，是 (r 1) 未知系数，是残差项QML模型是其中的特例+=)(hLatent Interaction Wen ZL 54Two-Step Method of Moments (2SMM)在第
32、一步，用CFA估计参数在第二步，计算潜变量乘积的条件矩，用于矩法估计参数正态性假设可以放松理论上，2SMM 可以处理更加复杂的非线性模型Latent Interaction Wen ZL 55Bayesian方法方法Lee, Song & Tang (2007；also see Lee, Song, & Poon, 2004) 发展出Bayesian方法不需要使用乘积指标假设所有参数都是随机的，有一个先验分布用到Markov Chain Monte Carlo (MCMC)表现良好，特别是在小样本情形需要较多的统计知识、小心地考虑参数的先验分布需要专门软件WinBugs (Spiegelhal
33、ter, Thomas, Best, & Nunn, 2004)Latent Interaction Wen ZL 56总结总结方法方法优点优点缺点缺点假设和做法假设和做法部分潜变量方法部分潜变量方法因子得分因子得分简单、易理解简单、易理解忽略测量误差，参数估计不精确；忽略测量误差，参数估计不精确；因子分析回归分析因子分析回归分析2SLS容易执行，在容易执行，在SPSS中可实现，不涉及中可实现，不涉及SEM，不用正态假设，不用正态假设因变量只能使用一个指标；偏差大，检验力低于潜变量方法，特别是测量信度较低的时候因变量只能使用一个指标；偏差大，检验力低于潜变量方法，特别是测量信度较低的时候引入工
34、具变量（引入工具变量（instrumental variables ）Latent Interaction Wen ZL 57总结（一）总结（一）多组多组SEM容易理解，当其中有一个自变量是类别变量时，是一种合适的方法容易理解，当其中有一个自变量是类别变量时，是一种合适的方法需要比较大 的需要比较大 的N ；不能估计交互效应的大小；不能估计交互效应的大小多组多组SEM分析分析完全潜变量方法完全潜变量方法约束方法约束方法考虑了测量误差，估计偏差小，第一类错误率与显著性水平接近，检验力较高考虑了测量误差，估计偏差小，第一类错误率与显著性水平接近，检验力较高约束等式很复杂，极易出错，非正态情形交互效
35、应偏差较大 ，稳健性差约束等式很复杂，极易出错，非正态情形交互效应偏差较大 ，稳健性差潜变量和指标都正态潜变量和指标都正态Latent Interaction Wen ZL 58总结（二）总结（二）部分约束部分约束比约束方法少一个约束，而这个约束对外源潜变量的正态性依赖性大，缺少稳健性比约束方法少一个约束，而这个约束对外源潜变量的正态性依赖性大，缺少稳健性约束等式很复杂，极易出错约束等式很复杂，极易出错与约束方法类似，但少了一个约束与约束方法类似，但少了一个约束无约束方法无约束方法不需要约束等式，简单易用，稳健性反而高于约束方法不需要约束等式，简单易用，稳健性反而高于约束方法在小样本正态情形，
36、估计偏差比约束方法大在小样本正态情形，估计偏差比约束方法大除了不需要约束外，与约束方法类似除了不需要约束外，与约束方法类似Latent Interaction Wen ZL 59总结（三）总结（三）LMS/ QML 不需要乘积指标，正态情形比约束、部分约束和无约束方法精确不需要乘积指标，正态情形比约束、部分约束和无约束方法精确在严重非正态情形，稳健性不是很好；通常的在严重非正态情形，稳健性不是很好；通常的SEM软件还不能实现软件还不能实现QMLQML使用专门的软件使用专门的软件2SMM最广泛的模型；无需正态假设最广泛的模型；无需正态假设没有商业化软件可用没有商业化软件可用两步估计两步估计Bay
37、esian方法方法不需要乘积指标，表现良好，特别是小样本不需要乘积指标，表现良好，特别是小样本需要较多统计知识；通常的需要较多统计知识；通常的SEM软件还不能实现软件还不能实现参数是随机的，有先验分布；使用专门的软件参数是随机的，有先验分布；使用专门的软件Latent Interaction Wen ZL 60建议建议当测量信度较高时，可以用量表分（均值）或因子得分适当的时候可用多组SEM使用完全潜变量分析方法前，检验指标的正态性，非正态情形，避免使用约束方法样本不是很小时，使用无约束方法，或新版本的QML （如QML 2.63，2009）小样本（小于200）时，考虑使用Bayesian方法方
38、法Latent Interaction Wen ZL 61谢 谢Latent Interaction Wen ZL 62LISREL: interaction - constrained FI LY 1 1FR LX 2 1 LX 3 1 LX 5 2 LX 6 2 LX 8 3 LX 9 3VA 1 LY 1 1 LX 1 1 LX 4 2 LX 7 3 VA 0 LX 7 1 LX 7 2 LX 8 1 LX 8 2 LX 9 1 LX 9 2 FR GA 1 1 GA 1 2 GA 1 3FI KA(1) KA(2)VA 0 KA(1) KA(2)CO LX 8,3 = LX 2 1 *
39、 LX 5 2CO LX 9,3 = LX 3 1 * LX 6 2CO KA(3)=PH(2,1)CO PH 3 3 = PH(1,1)*PH(2,2)+ PH(2,1)* 2CO TD 7 7 = TD(4,4)+ TD(1,1)+TD(1,1)*TD(4,4)CO TD 8 8 = TD(5,5)*LX(2,1)*2+ TD(2,2)*LX(5,2)*2+TD(2,2)*TD(5,5)CO TD 9 9 = TD(6,6)*LX(3,1)*2+ TD(3,3)*LX(6,2)*2+TD(3,3)*TD(6,6)PDOU ND=3 AD=off EP=0.0001 IT=500 XMCON
40、STRAINED APPROACHINDEP INDICATORS CENTEREDML ESTIMATIONDA NI=12 NO=500 CM .ME .LAy1 y2 y3 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x1x4 x2x5 x3x6MO NY=3 NE=1 NX=9 NK=3 LY=FU,FR PS=SY,FR TE=DI,FR TD=DI,FR TY=FR KA=FRLEetaLK ksi1 ksi2 ksi1*ksi2PA PH11 10 0 1Latent Interaction Wen ZL 63LISREL: Interaction - Partially Constra
41、inedFI LY 1 1FR LX 2 1 LX 3 1 LX 5 2 LX 6 2 LX 8 3 LX 9 3VA 1 LY 1 1 LX 1 1 LX 4 2 LX 7 3 VA 0 LX 7 1 LX 7 2 LX 8 1 LX 8 2 LX 9 1 LX 9 2 FR GA 1 1 GA 1 2 GA 1 3FI KA(1) KA(2)VA 0 KA(1) KA(2)CO LX 8,3 = LX 2 1 * LX 5 2CO LX 9,3 = LX 3 1 * LX 6 2! see Constraint (i) under constrained Approach CO KA(3)
42、=PH(2,1)! see Constraint (ii) under constrained Approach CO TD 7 7 = TD(4,4)+ TD(1,1)+TD(1,1)*TD(4,4)CO TD 8 8 = TD(5,5)*LX(2,1)*2+ TD(2,2)*LX(5,2)*2+TD(2,2)*TD(5,5)CO TD 9 9 = TD(6,6)*LX(3,1)*2+ TD(3,3)*LX(6,2)*2+TD(3,3)*TD(6,6)! see Constraint (iv) under constrained Approach PDOU ND=3 AD=off EP=0.
43、0001 IT=500 XMPartially Constrained ApproachIndependent indicators were centered ML ESTIMATIONDA NI=12 NO=500 CM.ME.LAy1 y2 y3 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x1x4 x2x5 x3x6MO NY=3 NE=1 NX=9 NK=3 LY=FU,FR PS=SY,FR TE=DI,FR TD=DI,FR TY=FR KA=FRLEetaLK ksi1 ksi2 ksi1*ksi2PA PH11 11 1 1! freely estimate PH 3 1 and P
44、H 3 2Latent Interaction Wen ZL 64LISREL: Interaction - unconstrainedPA PH11 11 1 1FI LY 1 1FR LX 2 1 LX 3 1 LX 5 2 LX 6 2 LX 8 3 LX 9 3VA 1 LY 1 1 LX 1 1 LX 4 2 LX 7 3 VA 0 LX 7 1 LX 7 2 LX 8 1 LX 8 2 LX 9 1 LX 9 2 FR GA 1 1 GA 1 2 GA 1 3FI KA(1) KA(2)VA 0 KA(1) KA(2)PDOU ND=3 AD=off EP=0.0001 IT=50
45、0 XMUnconstrained APPROACHIndependent indicators were centeredML ESTIMATIONDA NI=12 NO=500 CM.ME.LAy1 y2 y3 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x1x4 x2x5 x3x6MO NY=3 NE=1 NX=9 NK=3 LY=FU,FR PS=SY,FR TE=DI,FR TD=DI,FR TY=FR KA=FRLEetaLK ksi1 ksi2 ksi1*ksi2Latent Interaction Wen ZL 65LISREL: Unconstrained Approach(with
46、out mean structure)All indicators have been centeredProduct indicators x1x4 x2x5 x3x6 were multiplied after each indicator was centeredML EstimationDA NI=12 NO=500 CM LAy1 y2 y3 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x1x4 x2x5 x3x6MO NY=3 NE=1 NX=9 NK=3 PS=SY,FR PH=SY,FR TE=DI,FR TD=DI,FRLE; etaLK; ksi1 ksi2 ksi1*ksi2 VA 1 LY 1 1 LX 1 1 LX 4 2 LX 7 3FR LY 2 1 LY 3 1FR LX 2 1 LX 3 1 LX 5 2 LX 6 2 LX 8 3 LX 9 3FR GA 1 1 GA 1 2 GA 1 3PDOU SC ND=3 AD=off EP=0.0001 IT=500 XMLatent Interaction Wen ZL 66
