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1、第2章质点运动学习题解答 78 第2章质点运动学习题解答第二章基本知识小结基本概念 （向右箭头表示求导运算，向左箭头表示积分运算，积分运算需初始条件：）直角坐标系 与x,y,z轴夹角的余弦分别为 .与x,y,z轴夹角的余弦分别为 .与x,y,z轴夹角的余弦分别为 自然坐标系 极坐标系 相对运动 对于两个相对平动的参考系 （时空变换） （速度变换） （加速度变换）若两个参考系相对做匀速直线运动，则为伽利略变换，在图示情况下，则有： y y V o x o x z z2.1.1质点运动学方程为：,求质点轨迹并用图表示.解：轨迹方程为的直线.xy5xy5/35/4，消去参数t得轨迹方程2.1.2 质
2、点运动学方程为.求质点轨迹；求自t= -1到t=1质点的位移。解：由运动学方程可知：，所以，质点是在z=2平面内的第一像限的一条双曲线上运动。所以，位移大小：2.1.3质点运动学方程为. 求质点轨迹；求质点自t=0至t=1的位移.解：，消去参数t得：R2.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为0.75s后测得，R1,R2均在铅直面内，求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向（角）1R1R2R12解：，在图示的矢量三角形中，应用余弦定理，可求得：据正弦定理：yx0x1x22.2.2 一圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为y=x2/200(长度：毫米)。第一次观察到圆柱体在x=249mm处，经过时间2ms后，
3、圆柱体移到x=234mm处。求圆柱体瞬时速度的近似值。解：由于t很小，所以，其中，。其大小；与x轴夹角2.2.3一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者17m；另一人在广州听同一演奏的转播，广州离北京2320km，收听者离收音机2m，问谁先听到声音？声速为340m/s，电磁波传播的速率为3.0108m/s.17m340m/s2320km,3108m/s340m/s2m解：声音传播情况如图所示，北京人听到演奏声音所需时间：广州人听到演奏声音所需时间：v230v1=90km/hv2=70km/hv西北2.2.5火车进入弯道时减速，最初列车向正北以90km/h速率行驶，3min后以70km/h速率向北偏西
4、30方向行驶，求列车的平均加速度。解：对矢量三角形应用余弦定理：，由正弦定理：2.2.6 ，R为正常数，求t=0,/2时的速度和加速度。，求t=0,1时的速度和加速度（写出正交分解式）。解： ；10203010203045120-10-200x(m)t(s)abc2.3.1图中a、b和c表示质点沿直线运动三种不同情况下的x-t图像，试说明每种运动的特点（即速度，计时起点时质点的位置坐标，质点位于坐标原点的时刻）解：质点直线运动的速度，在x-t图像中为曲线斜率。由于三种图像都是直线，因此三种运动都是匀速直线运动，设直线与x轴正向夹角为，则速度对于a种运动：对于b种运动：对于c种运动：2.3.2质
5、点直线运动的运动学方程为x=acost,a为正常数，求质点速度和加速度，并讨论运动特点（有无周期性，运动范围，速度变化情况等）解：显然，质点随时间按余弦规律作周期性运动，运动范围：2.3.3跳伞运动员的速度为，v铅直向下，,q为正常量，求其加速度，讨论时间足够长时（即t）速度、加速度的变化趋势。解：因为v0，a0，所以，跳伞员做加速直线运动，但当t时，v，a0，说明经过较长时间后，跳伞员将做匀速直线运动。v(km/h)v=v0cosx/5x(km)1.5v02.3.4 直线运行的高速列车在电子计算机控制下减速进站。列车原运行速率为v0=180km/h，其速率变化规律如图所示。求列车行至x=1.
6、5km时的加速度。解：，将v0=180km/h,x=1.5km代入ABaA0.5g0x2.3.5在水平桌面上放置A、B两物体，用一根不可伸长的绳索按图示的装置把它们连接起来，C点与桌面固定，已知物体A的加速度aA=0.5g，求物体B的加速度。解：设整个绳长为L，取图示坐标o-x，则3xA+(-4xB) = L对时间求两次导数，3aA=4aB，所以aB = 3aA/4=30.5g/4 = 3g/82.3.6质点沿直线的运动学方程为x=10t+3t2. 将坐标原点沿o-x正方向移动2m，运动学方程如何？初速度有无变化？将计时起点前移1s，运动学方程如何？初始坐标和初速度发生怎样的变化？加速度变不变
7、？解：x=10t+3t2，v=dx/dt=10+6t，a=dv/dt=6，t=0时，x=0,v=10将坐标原点向x轴正向移动2m，即令x=x-2，x=x+2，则运动学方程为：x=10t+3t2-2，v=dx/dt=10+6t，v=v将计时起点前移1s，即令t=t+1，t=t-1，则运动学方程变为：x = 10(t-1) + 3(t-1)2 = 10t 10 + 3t2 - 6t + 3 = 4t + 3t2 7v=dx/dt=4+6t，t=0时，x= -7，v=4，加速度a不变。2.4.1质点从坐标原点出发时开始计时，沿x轴运动，其加速度ax = 2t (cms-2)，求在下列两种情况下质点的
8、运动学方程，出发后6s时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程。初速度v0=0；初速度v0的大小为9cm/s，方向与加速度方向相反。解：令vx=0，由速度表达式可求出对应时刻t=3，由于3秒前质点沿x轴反向运动，3秒后质点沿x轴正向运动，所以路程：2.4.2质点直线运动瞬时速度的变化规律为：vx = -3 sint，求t1=3至t2=5时间内的位移。解：2.4.3 一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为ax= -A2cost.在t=0时，vx=0,x=A，其中A,均为正常数。求此质点的运动学方程。解：，2.4.4飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动，刚着陆时，t=0时速度为v0，且坐标x=0
9、，假设其加速度为 ax = - bvx2，b=常量，求飞机速度和坐标随时间的变化规律。解：2.4.5在195m长的坡道上，一人骑自行车以18km/h的速度和-20cm/s2的加速度上坡，另一自行车同时以5.4km/h的初速度和0.2m/s2的加速度下坡，问：经多长时间两人相遇？两人相遇时各走过多长的路程？解：以上坡者出发点为原点沿其前进方向建立坐标o-x，用脚标1表示上坡者，用脚标2表示下坡者。两人的加速度实际上是相同的：x0195a1a2v10v20根据匀变速直线运动公式：令x1=x2，可求得相遇时间：5t=195-1.5t, t=195/6.5=30s对于上坡者，在相遇期间做的不一定是单方
10、向直线运动，据上坡者的速度表达式：v1=5-0.2t，令v1=0，求得对应时刻t=25s，所以，上坡者在25s前是在上坡，但25s后却再下坡。因此，上坡者在30s内走过的路程：对于下坡者，因为做单方向直线运动，所以30s内走过的路程：210x2.4.6站台上送行的人，在火车开动时站在第一节车厢的最前面，火车开动后经过t=24s，火车第一节车厢的末尾从此人的前面通过，问第七节车厢驶过他面前需要多长时间?火车做匀加速运动。解：设每节车厢长为L，以地为参考系，以人所在点为原点建立图示坐标o-x，以第一节车厢的前端点为研究对象，t=0时，前端点的坐标x=0，速度v=0，据匀加速运动公式：，令x=L，求
11、得：，令x=6L，可求得第6节车厢尾端通过人时所需时间t6：令x=7L，可求得第7节车厢尾端通过人时所需时间t7：因此，第7节车厢通过人所需时间：yh02.4.7 在同一铅直线上相隔h的两点以同样速率v0上抛二石子，但在高处的石子早t0秒被抛出，求此二石子何时何处相遇？解：以地为参考系，建立图示坐标o-y。据题意，设t=0时，上面石子坐标y1=h,速度v1=v0；t=t0时，下面石子坐标y2=0，v2=v0解法1：根据匀变速直线运动的规律，可知解法2：可根据速度、加速度的导数定义和初始条件，通过积分得到、，然后求解。2.4.8电梯以1.0m/s的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板0.50m高，问
12、当小孩再次落到地板上时，电梯下降了多长距离？解：以电梯为参考系，小孩相对电梯做竖直上抛运动，他从起跳到再次落到地板所需时间，是他从最高处自由下落到地板所需时间的2倍。由自由落体运动公式：，可求得从最高出落到地板所需时间：，所以小孩做竖直上抛所需时间为0.64s，在此时间内电梯对地下落距离：L = 1.00.64 = 0.64 m2.5.1质点在o-xy平面内运动,其加速度为，位置和速度的初始条件为：t=0时，求质点的运动学方程并画出轨迹。解：xy2.5.2 在同一竖直面内的同一水平线上A、B两点分别以30、60为发射角同时抛出两球，欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最高点，求A、B两点间的距离。
13、已知小球在A点的发射速度vA=9.8米/秒。 Y vAO vBO 30 60 A S B x解：以A点为原点建立图示坐标系，取发射时刻为计时起点，两点间距离为S，初始条件如图所示。据斜抛规律有：满足题中条件，在最高点相遇，必有vAy=vBy=0,xA=xB xyA6030v02.5.3迫击炮的发射角为60发射速率150m/s，炮弹击中倾角为30的山坡上的目标，发射点正在山脚，求弹着点到发射点的距离OA.解：以发射点为原点，建立图示坐标o-x，斜抛物体的轨迹方程为（见教材）： 本题，=60，v0=150m/s，A点坐标xA,yA应满足轨迹方程，所以： 另外，根据图中几何关系，可知：，代入中，有：2.5.4轰炸机沿与铅直方向成53俯冲时，在763m的高度投放炸弹，炸弹在离开飞机5.0s时击中目标，不计空气阻力：轰炸机的速率是多少？炸弹在飞行中通过的水平距离是多少？炸弹击中目标前一瞬间的速度沿水平和铅直方向的分量是多少？xy0v053解：以投放点为原点，建立图示坐标o-xy,设炸弹初速度（即轰炸机速度）为v0
