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1、 函数 综合问题概述 赵老师教你打通关 七大函数 1、一次函数2、二次函数3、反比例函数4、指数函数5、对数函数6、幂函数7、三角函数七大性质 1、定义域2、值域3、最值4、周期性5、奇偶性6、单调性7、对称性壹一次函数（正比例函数）1、定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，即：y=kx （k为常数，k0） 则此时称y是x的正比例函数。2、一次函数的性质：（1） 在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2） 一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过
2、原点。（3) k，b与函数图像所在象限： 当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b0时，直线必通过一、二象限； 当b0时，直线必通过三、四象限。 当b=0时，直线通过原点。 (4)特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。这时，当k0时，直线只通过一、三象限；当k0时，直线只通过二、四象限。3、一次函数和正比例函数的图象和性质贰二次函数1函数叫做一元二次函数。其图象是一条抛物线。2根与系数的关系-韦达定理（1）若一元二次方程中，两根为，。 求根公式， 补充公式 。 韦达定理，。（2）以，为两根的
3、方程为（3）用韦达定理分解因式3任何一个二次函数都可配方为顶点式：，性质如下：（1）图象的顶点坐标为，对称轴是直线。（2）最大（小）值 当，函数图象开口向上，有最小值，无最大值。 当，函数图象开口向下，有最大值，无最小值。（3）当，函数在区间上是减函数，在上是增函数。 当，函数在区间上是减函数，在上是增函数。 4二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式二次函数的图象一元二次方程的根有两个相异实数根 有两个相等实数根没有实数根不等式的解集 叁反比例函数1、定义：一般地，形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：（1）x是自变量，y是x的反比
4、例函数；（2）自变量x的取值范围是的一切实数，函数值的取值范围是；（3）反比例函数有三种表达式：（）， （）， （定值）（）。（4）函数（）与（）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反比例函数。2、反比例函数解析式的特征：反比例函数（）的符号图像 定义域和值域，；即（，0）U（0，+），即（，0）U（0，+）单调性图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。肆指数函数（一）指数与指数幂的运算1根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中1，且*2实数指数幂的运算性质（1） （2） （
5、3） 均满足（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中定义域为xR2、指数函数的图象和性质条件a10a10a1图像定义域x0 x0值域RR单调性在R上递增在R上递减奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数特性过定点（1，0）过定点（1，0）指数函数与对数函数 的比较记忆表1指数函数对数数函数定义域值域图象性质过定点过定点减函数增函数减函数增函数陆幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义, 并且图象都过点（1，1）；（2）当时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸
6、； 当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴3、幂函数的图像 幂函数（1) 幂函数（2) 幂函数（3) 函数的应用一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。 即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点 3、函数零点的求法： （代数法）求方程的实数根； （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点二
7、、二次函数的零点：二次函数（1），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点柒三角函数正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数性质 图象1、定义域2、值域3、最值当时，；当时，当时， ；当时， 既无最大值也无最小值4、周期性5、奇偶性奇函数偶函数奇函数6、单调性在上，是增函数；在上，是减函数在上，是增函数；在上，是减函数在上，是增函数7、对称性对称中心对称轴对称中对称轴对称中心无对称轴三角函数（记忆）1、 同角三角函数
8、的基本关系式： ， ， ， ， 注意：提高解题速度。勾股数（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）2、诱导公式： “奇变偶不变，符号看象限”。 公式组二 公式组三 公式组四 公式组五 公式组六 积化和差 公式sincos=sin(+)+sin(-)，cossin=sin(+)-sin(-)coscos=cos(+)+cos(-)，sinsin= -cos(+)-cos(-)3、三角函数公式：两角（和与差）的三角函数关系sin()=sincoscossincos()=coscossinsin半角 公式，=倍角 公式sin2=2sincoscos2=cos2-sin
9、2 =2cos2-1 =1-2sin2升幂 公式1+cos=，1-cos=1sin=()21=sin2+ cos2，sin=降幂公式sin2，cos2sin2+ cos2=1，sincos=三倍角公式 ；和差化积 公式sin+sin= sin-sin=cos+cos=cos-cos= -tan+ cot=tan- cot= -2cot2， 1sin=()21+cos=， 1-cos=三角恒等变换：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：是的二倍； 是
10、的二倍； 是的二倍； 是的二倍； 是的二倍； 是的二倍； 是的二倍。； ； ；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： （4） 幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。常用形式转换（1）； （2） （3）= （4）（5） （6）（7） （8）cos20cos40cos80 = （9），其中1、正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
