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1、第十三章 质点运动微分方程第十三章 质点运动微分方程 题 13-1 质点的运动微分方程和运动方程有何区别？ 解 答 在牛顿第二定律 ma = F 中，用质点对固定点 O 的矢径 r 对时 间的二阶导数 2 2 d d t r 代替质点的加速度 a，则第二定律可写为 F r = 2 2 d d t m 上式称为矢量形式的质点运动微分方程。将此矢量方程投影到直角坐标轴上，就 得到直角坐标形式的质点运动微分方程 z y x F t z m F t y m F t x m = = = 2 2 2 2 2 2 d d d d d d 若将牛顿第二定律投影到质点运动轨迹的自然轴系：切线方向、主法线方向 和
2、副法线方向，则可得到自然形式的质点运动微分方程： nn F s m v mma F t s m t v mma = = 22 2 2 d d d d ? bb Fma = 0 同样，若将牛顿第二定律投影到质点运动轨迹的径向和横向，可得平而极坐 标形式的质点运动微分方程 F tt r t rmma F t r t r mma rr = = = = d d d d 2 d d d d d d 2 2 2 2 2 由此可见， 将牛顿第二定律表示为包含质点坐标对于时间的导函数的方程称 为质点的运动微分方程，它建立了质点的运动与所受的力之间的关系，属于质点 动力学的范畴。 质点的运动方程表达了质点位置随
3、时间变化的规律， 它从几何的角度描述了 质点的运动规律。例如 r = r(t)称为矢量形式的质点运动方程；x = x(t)、y = y(t)、 z = z(t)称为直角坐标形式的质点运动方程；s = s(t)称为弧坐标形式的质点运动方 程等等，它属于质点运动学的范畴。 所以，质点的运动微分方程和质点的运动方程是不同的。但是，两者之间又 存在密切的关系。质点的运动微分方程并没有给出质点的运动规律，为了获得质 点确定的运动规律，必须对质点的运动微分方程在给定的初始条件下进行积分， 这个积分（又称为运动微分方程的解）就是质点的运动方程。对于一个质点动力 学问题，建立了运动微分方程并没有使问题获得完全
4、解决，只有求出运动微分方 程的积分，即得到了质点的运动方程，问题才算完全解决了。 题 13-2 已知质点的运动是否就可以确定作用于质点上的力？已知作用于 质点上的力是否就可以确定质点的运动？ 解 答 若已知点的运动，比如运动方程，那么，只要对时间求二阶导数即可 求得质点的加速度。 将质点的加速度乘以质点的质量就可以完全确定出作用在质 点上的力，这就是所谓质点动力学第一类基本问题。 已知作用于质点上的力，是否就可以确定质点的运动呢？还不能确定。所谓 确定质点的运动就是要求出运动微分方程的积分， 这就是所谓质点动力学第二类 基本问题。运动微分方程的积分中包含着积分常数，这些积分常数要由质点运动 的
5、初始条件来决定。 只有在积分中的积分常数确定以后， 质点的运动才算确定了。 所以，要完全确定质点的运动，除了要已知作用于质点上的力以外，还必需知道 质点运动的初始条件。两个相同的质点，受相同的力的作用，它们的运动方程相 同，但它们的运动规律（指运动方程）不一定相同，还要看其运动的初始条件。 若运动初始条件也相同，则其运动规律也相同，否则运动规律就不相同。 题 13-3 “质点运动的方向就是作用在质点上的合力的方向” 。这种说法对 不对？ 解 答 这种说法不对，至少是不全面的。质点的运动方向，即速度方向， 是沿着质点运动轨迹的切线方向的。 而作用在质点上的合力方向则与质点加速度 的方向一致（题
6、13-3图1） 。例如，在地面上发射导弹，当导弹进入稀薄大气层 后，空气阻力可忽略不计。这时导弹的重力就是作用在导弹上的合力，其方向铅 直向下（题13-3图2） ，而导弹的运动方向即速度方向，则沿着抛物线轨迹的切 线方向。 只有当质点在力的作用下沿直线作变速运动时， 质点运动方向才与作用在其 上的合力的方向线在同一直线上（二者均沿水平方向，如题13-3图3所示） 。 题 13-3 图 1 题 13-3 图 2 题 13-3 图 3 题 13-4 图 出现题中错误说法的原因在于：把直线运动的特殊情况当称了一般情况，将 速度（而不是速度的变化率加速度）与受力联系起来了。 题 13-4 “质点的速度
7、越大，所受的力也越大。 ”这种认识对吗？ 解 答 这种认识是错误的。例如，质点在弹簧力F的作用下沿水平光滑轨 道作往复直线运动简谐振动（题13-4图a） ，当质点处在两个极端位置A和A1 点时（题13-4图b） ，质点所受的弹簧力F的大小虽然达到最大值Fmax=k|xmax|。但 此时质点的速度却为零。以后，随着质点的水平向左运动，速度逐渐增大，当质 点经过平衡位置（振动中心）O时，速度增加到最大值vmax。而在此时，弹簧力 减小为零。由此可见“质点速度越大，所受的力也越大”的说法是不正确的。 产生这种错误认识的原因在于，分析问题时没有以牛顿第二定律为理论根 据。牛顿第二定律告诉我们，质点受力
8、后，沿着力的方向产生加速度，此加速度 的大小与作用力成正比，与质量成反比。因此，不要总是将运动速度与受到的力 相联系，而应当将加速度与受到的力相联系。 题 13-5 “设P = 2Q， 滑轮及绳子的质量忽略不计， 在题13-5图1及题13-5 图2所示的两种情况中，重物A的加速度是一样的，绳中的张力也是一样的。 ” 这种看法对吗？ 解 答 这种看法不对。由于滑轮质量忽略不计，由刚体定轴转动微分方程 MJ=? ?可知，滑轮两边绳子张力相等。 题 13-5 图 1 题 13-5 图 2 题 13-5 图 3 题 13-5 图 4 （1）对于（题13-5图1）中的系统：绳中张力（题13-5图3） T
9、 = P = 2Q 重物A的加速度 g g Q Q TQ Qg QT a= = （2）对于（图13-5图2）中的系统：设绳中张力为T，由重物A、B的受 力图（题13-5图4a、b)，可列出以下两个运动微分方程 QTa g Q = (1) TPa g P = (2) 将P = 2Q代入(2)式，并与（1）式联立，解得 ga QT 3 1 3 4 = = 由此得知，在该两种情况中，重物A的加速度以及绳中张力都不一样。 通过此题可见：在绳端悬挂重为P的重物和施加大小等于P的力，其力学 效果是不相同的，原因是重物除受到重力外，本身在运动中还具有惯性。 题 13-6 质点动力学第一类基本问题和第二类基本
10、问题，在数学上分别属 于微分问题和积分问题。那么，是不是所有质点动力学的两类问题都一定要进行 微分运算和积分运算呢？ 解 答 不一定。 我们说质点动力学第一类基本问题反映在数学上是微分问 题，是指已知质点的运动方程（运动规律） ，求质点所受的力。在这种情况下， 将运动方程对时间求二阶导数得到加速度， 乘以质量即得到质点所受的力。 同样， 我们说质点动力学第二类基本问题是积分问题，是指已知作用在质点上的力，反 过来求质点的运动方程。 但是，如果在所给定的质点动力学第一类问题中，已知量不是质点的运动规 律，而是质点的运动加速度，那么，在这种情况下，就不需要进行微分运算，只 需列出动力学基本方程，就
11、能立即求出质点所受的力。同样，如果在给定的动力 学第二类基本问题中，面对作用在质点上的已知力，要求的并不是质点的运动规 律而是质点的加速度，在这种情况下，一般不需要进行积分运算，根据质点的运 动微分方程，只要将作用在质点上的已知力除以质点的质量，就得到了质点的加 速度。当然，这也并不是绝对的。 举例来说， 假设圆锥摆中小球M的质量为m， 被系于长为l的无重绳的一端， 绳的另一端连在固定点O上，绳与铅垂线间成固定的角（题13-6图a） ，为了 求出绳子对小球的拉力T和小球的加速度a，我们根据小球的受力图（题13-6 图b） ，列出其自然形式的运动微分方程 =0 Fma (1) =sinTFma
12、nn (2) =mgTFma bb cos0 (3) 由于已知小球沿副法线方向的加速度ab = 0，故由(3)式求得 cos mg T = 这样，通过上述的代数运算，便由已知的加速度求出了作用力。 题 13-6 图 然后，再根据(2)式求得小球的法向加速度 tg sin g m T an= 这样，通过代数运算，由已知的作用力求出了加速度。另外，由于 sin 2 l v an=， 因此，还可以进一步根据上式求出小球M的运动速度 cos sin 2 gl v = 通过此题可见， 在质点动力学两类基本向题中， 如果属于已知加速度求力 （而 不是已知运动方程求力） ，或者已知力求加速度（而不是已知力求
13、运动方程）方 面的问题，那么，在某些情况下只要列出质点的运动微分方程，然后进行一些代 数运算，就可以求得问题的答案，而不要进行微分和积分。这是因为，对于这些 简单的质点动力学问题，其运动微分方程实际上表现为代数方程，因此，求解微 分方程的问题实际上简化为求解代数方程的问题了。 题 13-7 质量为m的滑翔机（可视为质点）作水平直线飞行，飞行中受到 与速度 v 的一次方成正比的空气阻力 R， 比例系数为， 取坐标轴x向右为正 （题 13-7图） ，试问下列三式中哪一个才是飞机正确的运动微分方程？ xxm xxm xxm ? ? ? ? ? ? = = = 解 答 滑翔机在空气阻力R的作用下作直线
14、飞行，其矢量形式的动力学基 本方程为ma = R， 由于空气阻力R的方向与速度v的方向相反， 而大小与速度的一 次方成正比，因此，可以将空气阻力R表示为R =v，于是滑翔机矢量形式的 动力学基本方程可以写为ma = v，两边同时向x轴投影得max = vx，或写为 xxm? ?=，因此，上述三个方程中，第二个式子是正确的，其他两个式子都有 正负号方面的错误。 通过此题可见：在列写投影形式的质点运动微分方程时，最好先写出矢量形式 的动力学基本方程，然后再写出投影式，则可避免正负号方面的错误。 =Fam 题 13-8 质点的运动微分方程和质点的运动方程的形式与坐标系的选取有 关系吗？质点的速度和加
15、速度呢？ 题 13-8 图 1 题 13-8 图 2 解 答 质点的运动微分方程是质点动力学基本方程 =Fam的投影式。 当坐标系的选取不同时，运动微分方程的形式也有所不同。而质点的运动方程是 运动微分方程的通解， 自然也随着坐标系的不同而不同。 例如， 质量为m的小球， 连接在刚度为k的弹簧（原长为l0）的一端，在弹簧力的作用下沿光滑水平直线轨 道作往复运动（题13-8图1） 。若选取小球的静平衡位置为坐标系的原点，建立 坐标系Ox，则小球的运动微分方程为 kxFxm=? ? 即 (1) 0 2 =+xx? ? （1）式是小球作简谐振动的标准形式的微分方程，其中 m k = 2 。 （1）式
16、的通解为 )sin(+=tAx (2) （2）式是小球简谐振动的运动方程。 若以弹簧的固定端为坐标原点建立坐标系OX（题13-8图2） ，则小球的运 动微分方程为 )( 0 lXkFXm= ? ? 即 (3) 0 22 lXX=+ ? ? (3)式是小球作简谐振动的非标准形式的微分方程，其中 m k = 2 。 (3)式的通解为 特 XtAX+=)sin( 式中X特为非齐次方程(3)的一个常数特解。将其代入(3)式，定出X特=l0，故 0 )sin(ltAX+= (4) (4)式是小球对以弹簧固定端为坐标原点的OX轴的运动方程。 可见，对不同的坐标系来说，质点的运动微分方程和运动方程的形式都不相 同，但由于(2)式与(4
