空气动力学基本方程

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1、20112011 年秋季学期年秋季学期 空气动力学空气动力学 空气动力学基本方程空气动力学基本方程 清华大学气动研究室清华大学气动研究室 20112011 年年 1010 月月 6 6 日日 目录目录 空气动力学基本方程 . 4 1 摘要 . 4 2 欧拉方程 4 2.1 欧拉方程基本形式 4 2.1.1 摘要 4 2.1.2 构成与对象 . 4 2.1.3 欧拉方程 4 2.2 欧拉方程的几种形式 5 2.2.1 守恒形式 5 2.2.2 原始变量形式 . 7 2.2.3 拉格朗日形式 . 7 2.2.4 不可压缩流动 . 8 2.2.5 能量守恒方程的几种形式 9 2.3 欧拉方程的数学推

2、导 11 2.3.1 说明 11 2.3.2 相关文献 12 2.4 欧拉方程的作用 12 2.4.1 说明 12 2.4.2 欧拉方程求解 . 12 3 NS 方程 12 3.1 NS 方程的基本形式 12 3.1.1 基本形式 12 3.1.2 与欧拉方程的比较 . 14 3.2 NS 方程的几种形式 15 3.2.1 动量方程的几种形式 . 15 3.2.2 能量方程的几种形式 . 16 3.3 对流、扩散与耗散 18 3.3.1 对流 18 3.3.2 扩散 18 3.3.3 耗散 18 4 基本方程的演化与简化 . 18 4.1 不可压缩流动 . 18 4.1.1 基本定义 18 4

3、.1.2 等价定义 19 4.2 特殊方程 . 19 4.2.1 理想等熵流动方程 . 19 4.2.2 克罗克方程 . 23 4.2.3 伯努利方程 . 25 4.3 势流基本方程 . 27 4.3.1 无旋流动 27 4.3.2 势函数 27 4.3.3 势流基本方程 . 28 4.3.4 势流方程的性质 . 28 4.4 小扰动基本方程 29 4.4.1 小扰动展开 . 29 4.4.2 超音速流动和亚音速流动 31 4.4.3 跨音速流动 . 31 4.4.4 小扰动边界条件 . 34 4.4.5 小扰动压力方程 . 35 4.4.6 小扰动基本方程总结 . 36 4.5 方程变换与相

4、似解 37 4.5.1 基本原理 37 4.5.2 小扰动仿射变换理论 . 38 4.5.3 速度图法 42 5 如何求解与封闭性问题 . 50 5.1 前言 . 50 5.2 初始条件 . 51 5.3 边界条件 . 51 5.3.1 边界类型与条件 . 51 5.3.2 无粘边界与有粘边界 . 53 5.4 状态方程 . 53 5.5 湍流模型 . 53 5.6 化学反应模型 . 53 6 参考文献 53 空气动力学基本方程空气动力学基本方程 1 摘要摘要 力学中的基本方程是从质量守恒、动量守恒和能量守恒导出的。针对流体， 在无粘和有粘情况下，分别得到欧拉方程和 NS 方程(Navier-

5、Stokes 或纳维斯托 克斯方程） 。这两个方程作为流体力学基本方程并没有在空气动力学早期发展中 直接使用。相反，是它们的简化方程如势流方程和附面层方程在构造空气动力学 早期理论过程中起了决定性作用。因此，在一般的空气动力学论著中，极少直接 从欧拉方程与 NS 方程出发来展开讨论的。 在现代空气动力学中，计算空气动力学起非常重要的作用。考虑到这点，我 们直接从基本方程开始介绍，再演化到势流和附面层方程。这从逻辑上也说得过 去。 说到基本方程有时也显得太数学味道。实际上也可以说是基本物理模型，包 含了假设、方程和适应范围讨论。 2 欧拉方程欧拉方程 2.1 欧拉方程基本形式欧拉方程基本形式 2

6、.1.1 摘要摘要 考虑没有粘性或粘性可忽略的空气流动区域。给出在这种区域，每一点每一 时刻的空气密度、动量和总能所满足的方程。这里采用欧拉坐标系，即针对空间 每一点定义的密度、动量和总能来构造方程，而不是针对空气质点构造方程（拉 格朗日法） 。 2.1.2 构成与对象构成与对象 在早期文献里，只有流动的动量方程才称为欧拉方程。这里指的欧拉方程， 包括了质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。欧拉方程描述的是在某点 某时刻空气密度、 动量, , uvw和能量E所满足的演化方程。 因此， 密度、 动量和能量都看成空间坐标和时间的函数。对于实际流动，这些基本物理量在一 般情况下确实随空间坐标和时

7、间变化，因此，所满足的本质方程必然包含对时间 和空间的导数。 2.1.3 欧拉方程欧拉方程 下面给出欧拉方程(所采用的符号全部是总符号表中的标准符号): 2.2 欧拉方程的几种形式欧拉方程的几种形式 依据写法不同，方程的物理意义的解释方式甚至数学性质是不一样的。不同 形式表面上没有差别，比如说，动量方程中的项 2 /ux也可以写成 /u uxuux + ，这表面上看是等价的，但实际上存在很大区别。这种区别 不单是体现在微分展开和合并后，导致的一些项反映了不同的物理性质，更重要 的是， 欧拉方程所描述的可压缩流动可能存在激波和接触间断等间断。早期物理 学家把含间断的解分解为光滑流区和间断（如激波

8、） 。在光滑流区用欧拉方程的 某种形式（不管如何进行数学变换都可以）描述，而在有间断的地方，看成一种 没有厚度的内边界，通过在边界上构造下游参数的一些关系式（如激波关系式） 来衔接不同光滑流区。同时，数学界则把光滑流区和间断合在一起考虑，这种带 间断的解称为弱解。由于在间断处，偏微分没有实质意义，因此，所谓的弱解是 一种积分意义下的解。此时，写成 2 /ux和/u uxuux + ，解的结果完 全不一样。正确理解这些理论，超出了本课程范围。把所有项都放在微分里面的 形式（如 2 /ux） ，就是所谓的守恒形式。这有使用这种守恒形式，才能正确 地获得间断解。这在计算空气动力学中会进一步介绍。 除

9、此之外， 如果在微分外还有项， 如/u uxuux + ， 那么就不是守恒形式。 2.2.1 守恒形式守恒形式 标量形式 前面给出的基本形式 就是欧拉方程的守恒形式。所有变量都在微分里面。 向量形式 如果采用向量表达，守恒形式的欧拉方程（组）写为 其中， 其中 amath W endamath 称为守恒变量, amath F_x,F_y,F_z endamath 称为 通量函数。通量函数是流量的广义推广。对于质量守恒方程，通量就是流量。对 于动量和能量方程，通量除了流量导致的交换外，还存在压力（做功）带来的影 响。 守恒形式意义 所谓的守恒形式，一方面它反映了物理本质上的守恒定律，另一方面所有

10、项 都在微分里面， 从而在使用空间积分后， 只存在边界上的影响， 将某守恒变量 （比 如说密度）针对某空间封闭区域的积分（比如说得到质量）不会在内部无缘无故 产生，只来源于边界处的流进流出的贡献。在空间任一点，当地变化来源于当地 流量差异（导致从所考虑的点带走的和带进的量不一样）和压力差异，使得当地 流动参数随时间演化。如果这种流量差异和压力差异处于平衡状态，那么流动参 数就不随时间变化（定常流动） 。 数学上可以证明，这种守恒形式允许激波解。在计算流体力学中，基于这种 守恒形式来构造方程，如果离散后还满足守恒形式，那么能自动捕获激波。 在激波现象介绍中我们会看到，虽然激波在连续流条件下可以看

11、成无限薄， 但微观上激波有厚度，里面有不可忽略的粘性耗散和热传导，导致熵是增加的。 可是，欧拉方程没有粘性和热传导项。基于欧拉方程进行数值求解，如果数值方 法也不丢失守恒性（见计算空气动力学部分） ，那么可以自动算出激波解，而且 通常情况下能正确反映穿越激波时熵的增加。这里面存在深奥的数学物理原理， 正确理解远远超出这里的范围。 2.2.2 原始变量形式原始变量形式 这里只就动量方程为例来给出所谓的原始变量形式。所谓的原始变量，就是 那些可测量的量，如密度、速度和压力。将守恒形式的动量方程的各个微分进行 连锁求导，在微分里面只保留原始变量，并使用质量守恒方程消去密度的时间微 分，得： 此时，方

12、程描述的是速度的当地导数与对流项及压力梯度的关系。方程各项 的物理意义是这样的，从左往右，第一项为当地导数项，即在空间某点速度随时 间的变化率，第二至第四项为所谓的对流项。右边为压力梯度项。原始变量形式 的优点是，各项的物理意义十分明确（当地变化率，对流，压力）。 对于能量方程，只有温度才称为原始变量。温度满足的方程见能量方程的几 种形式。 2.2.3 拉格朗日形式拉格朗日形式 流体力学中定义了质点导数。例如，速度 amath u endamath 的质点导数定 义为 于是，从动量方程的原始变量形式，得动量方程的拉格朗日形式 也可以写成矢量形式 反映了一个给定质点在运动过程中， 其所携带的速度

13、的变化率来源于所在地 的压力梯度。 从质量方程的守恒形式 展开空间微分，得 由此得质量守恒方程的拉格朗日形式 同理可得能量方程的拉格朗日形式： 总结而言，欧拉方程的拉格朗日形式为 2.2.4 不可压缩流动不可压缩流动 质量方程 拉格朗日形式的质量守恒方程为 不可压定义 不可压缩流动的严格定义为，流体的每一质点的密度，在流动过程中是不变 的，即 amath Drho/D t =0 endamath。 等价方程 从质量方程和不可压定义，得不可压缩流动的质量方程 上式有时也看作不可压缩流动的定义式，有时也看成质量方程的替代方程， 简称连续性方程。对于不可压缩流动，该方程往往是看成最基本的方程。例如，

14、 在不可压势流理论中，有时简单给出无旋假设，在无旋假设下，速度是势函数的 梯度， 把该速度的梯度表达式代入连续性方程，就得到描述不可压缩势流的基本 方程。它可以单独求解获得速度场。有了速度场，通过由动量方程积分出的伯努 利方程，便得到压力场。 2.2.5 能量守恒方程的几种形式能量守恒方程的几种形式 说明 这里介绍能量方程的几种形式，在不同地方有应用。 总能形式 前面给出的能量方程的形式就是总能形式： 动能方程 把动量方程 （1） 两边点乘速度，得到动能所满足的方程 （2） 动能方程用于从能量方程的总能形式推导内能方程， 本身并不能替代能量方 程。 内能方程 用总能方程的拉格朗日形式 减去动能

15、方程（2），再考虑到 得到内能满足的方程 （3） 展开以后得 (4) 温度方程 从头内能方程(5),并考虑常温空气，从而 amath e=c_vT endamath 并且由状 态方程 amath p=rho R T endamath 以及 amath R=(gamma-1)c_v endamath 得温 度所满足的方程 考虑到左端是质点温度的变化率，从上式可见，（无粘流动）质点温度的变 化来源于质点的可压缩性（速度的散度反映了质点的涨缩）。 静焓方程 将连续性方程的拉格朗日形式 代入内能方程（4），可得 （5） 按焓的定义： 上式将两边求导，代入式 （5）中可得焓满足的方程 （6） 总焓方程

16、将总焓 两边求导得 amath D H/D t=D h/D t+D K/D t endamath，代入静焓方程 （6）和动能方程(2),得 将 代入上式，得总焓方程 （7） 写成展开形式 （8） 在定常情况下，上式简化为 上式表面，对于定常流动，总焓梯度在速度方向的投影为零，也就是说，沿 流线，总焓是常数。对于大多数外流问题，流线发自无穷远，而无穷远处的总焓 到处都是一个值，因此，在定常和无穷远为均匀流前提下，总焓处处等于一个常 数，即 2.3 欧拉方程的数学推导欧拉方程的数学推导 2.3.1 说明说明 欧拉方程的数学推导是流体力学的基本内容，在这里不重复。只是交代，各 种形式的推导可以从哪些参考文献找到。 2.3.2 相关文献相关文献 2.4 欧拉方程的作用欧拉方程的作用 2.4.1 说明说明 欧拉方程的作用有两方面，一方面是可以直接用于求解（数值方法） ，获得 无粘流解。 另一方面可以演绎出其它更能揭示物理规律的方程，