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1、第二章习题. 2.1 求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为,所对的圆心角为 2 a ，并证半圆片的质心 离圆心的距离为 a 3 4 。 2.2 如自半径为的球上，用一与球心相距为的平面，切出一球形帽，求此球形冒的质心。 a b 2.3 重为W的人， 手里拿着一个重为的物体。 此人用与地平线成w角的速度 向前跳去， 跳的距离增加了多少？ 0 v 2.4 质量为的质点，沿倾角为 1 m的光滑直角劈滑下，劈的本身，质量为 ，又可在光滑 水平面自由滑动。试求 2 m 质点水平方向的加速度； ( )a 1 x ? ? 劈的加速度； ( )b 2 x ? ? 劈对质点的反作用力； ( )c 1 R 水平面
2、对劈的反作用力； ( )d 2 R 2.5 半径为a，质量为M的薄圆片，绕垂直于圆片并通过圆心的竖直轴以匀角速转动， 求绕此轴的动量矩。 2.6 一炮弹的质量为，射出时的水平及竖直分速度为 21 MM +U及V。当炮弹达到最高点 时，其内部的炸药产生能量E，使此炸弹分为及两部分。在开始时，两者仍沿原方 向飞行，试求它们落地时相隔的 距离，不计空气阻力。 1 M 2 M 2.7 质量为M，半径为的光滑半球，其低面放在光滑的水平面上。有一质量为 的 质点 沿此半球面滑下。设质点的初位置与球心的连线和竖直向上的直线间所成之角为 am ，并且 起始时此系统是静止的， 求此质点滑到它与球心的连线和竖直向
3、上直线间所成之角为时? 之值。 2.8 一光滑球A与另一静止的光滑球B发生斜碰。 如两者均为完全弹性体， 且两球的质量相 等，则两球碰撞后的速度互相垂直，试证明之。 2.9 一光滑小球与另一相同的静止小球相碰撞。在碰撞前，第一小球运动的方向与碰撞时两 球的联心线成角。求碰撞后第一小球偏过的角度以及在各种值下角的最大值。设 恢复系数e为已知。 2.10 质量为的光滑球用一不可伸长的绳系于固定点 2 mA。另一质量为 的球以与绳成 1 m 角的速度 1 v 与 2 m 正碰。试求 1 m 与 2 m 碰后开始运动的速度 1 v 及 2 v 。设恢复系数e为已知。 1 BA 1 m 2 m 1 1
4、v 2 v 1 1 v 2.11 在光滑的水平桌面上，有质量各为的两个质点，用一不可伸长的绳紧直相连，绳长 为。设其中一质点受到一个为绳正交的冲量 m a I 的作用，求证此后两质点各做圆滚线运动， 且其能量之比为 1 2 cot2= am It ，式中t为冲力作用的时间。 2.12 质量为的球以速度 1 m 1 v 与质量为 2 m 的静止球正碰。求碰撞后两球相对于质心的速度 1 V 和又起始时，两球相对于质心的动能是多少？恢复系数为已知。 2 V e 2.13 长为 的均匀细链条伸直地平放在水平光滑桌面上，其方向与桌边缘垂直，此时链条的 一半从桌上下垂。起始时，整个链条是静止的。试用两种不
5、同的方法，求此链条的末端滑到 桌子边缘时，链条的速度。 l v 2.14 一柔软、 无弹性、 质量均匀的绳索， 竖直地自高处下坠至地板上。 如绳索的长度等于l， 每单位长度的质量等于。求当绳索剩在空中的长度等于x( x 时，绳索的速度及它 对地板的压力。设开始时，绳索的速度为零，它的下端离地板的高度为。 )l h 2.15 2.15 机枪质量为M，放在水平地面上，装有质量为 M 的子弹。机枪在单位时间内射出的质 量为m.其相对地面的速度则为u，如机枪与地面的摩擦系数为，试证当 M 全部射出后， 机枪后退的速度为 () g mM MMM u M M 2 2 2 + 2.16 2.16 雨滴落下时
6、，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比例，求雨滴速度与时间的关系。 2.17 2.17 设用某种液体燃料发动的火箭， 喷气速度为 2074 米/秒， 单位时间内所消耗的燃料为 原始火箭总质量的 60 1 。如重力加速度的值可以认为是常数，则利用此种火箭发射人造太 阳行星时，所携带的燃料的重量至少是空火箭重量的 300 倍。试证明之。 g 2.18 2.18 原始总质量为的火箭， 发射时单位时间内消耗的燃料与正比， 即 0 M 0 M 0 M （ 为比例常数） ，并以相对速度 v喷射。已知火箭本身的质量为M，求证只有当 gv 时， 火箭才能上升; 并证能达到的最大速度为 2 0 0 1 M Mg
7、M M vIn 能到的最大高度为 + M M In M Mv M M In g v 0 0 0 2 1 2 2.19 试以行星绕太阳的运动为例，验证维里定理。计算时可利用 1.9 中所有的关系和公式， 即认为太阳是固定不动的。 第二章习题解答 2.1 解 均匀扇形薄片，取对称轴为x轴，由对称性可知质心一定在x轴上。 dr r 2 x 题2.1.1图 有质心公式 = dm xdm xc 设均匀扇形薄片密度为，任意取一小面元dS， drrddSdm= 又因为 cosrx = 所以 sin 3 2 a drrd drrdx dm xdm xc= 对于半圆片的质心，即 2 = 代入，有 3 a aax
8、c 3 4 2 2 sin 3 2sin 3 2 = 2.2 解 建立如图 2.2.1 图所示的球坐标系 y z O ab 题2.2.1图 把球帽看成垂直于轴的所切层面的叠加（图中阴影部分所示） 。设均匀球体的 密度为 z 。 则 )( 222 zadzydvdm= 由对称性可知，此球帽的质心一定在轴上。 z 代入质心计算公式，即 )2( )( 4 3 2 ba ba dm zdm zc + + = 2.3 解 建立如题 2.3.1 图所示的直角坐标，原来与共同作一个斜抛运动。 人 W 4 y x 0 v O 当达到最高点人把物体水皮抛出后，人的速度改变，设为，此人即以 的速 度作平抛运动。由
9、此可知，两次运动过程中，在达到最高点时两次运动的水平距 离是一致的（因为两次运动水平方向上均以 x v x v cosv0= 水平 v 作匀速直线运动，运动 的时间也相同） 。所以我们只要比较人把物抛出后水平距离的变化即可。第一次 运动：从最高点运动到落地，水平距离 1 s tavs=cos 01 gtv=sin 0 cossin 2 0 1 g v s = 第二次运动:在最高点人抛出物体，水平方向上不受外力，水平方向上动量守 恒，有 )(cos)( 0 uvwWvvwW xx +=+ 可知道 u wW w avvx + +=cos 0 水平距离 sin )( cossin 0 2 0 2 u
10、v gWw w g v tvs x + += 跳的距离增加了 12 sss= = sin )( 0 uv gwW w + 2.4解 建立如图 2.4.1 图所示的水平坐标。 1 m 2 m 1 1 v v xO x 题2.4.1图 1 m 2 m 2 2 v v sinmg 惯 F F 1 a 以，为系统研究，水平方向上系统不受外力，动量守恒，有 1 m 2 m 0 2211 =+xmxm? 5 对分析；因为 1 m 相对绝 aaa+= 1 m 在劈上下滑， 以为参照物， 则受到一个惯性力 2 m 2 m 1 m 21x mF? ?= 惯 （方向与 2 m 加速度方向相反） 。如图 2.4.2
11、 图所示。所以 1 m 相对 2 m 下滑。由牛顿第二定律有 cossin 21111 xmgmam? ?+= 所以水平方向的绝对加速度由可知 1 m 2 1 1 cos/xaa= 绝 2 2 1 coscossinxxgx = 联立，得 g m x sinmm 2 12+ = cossin 2 1 把代入，得 g mm sm x 2 12 1 2 sin cossin = = 负号表示方向与x轴正方向相反。求劈对质点反作用力。用隔离法。单独考察 质点的受力情况。因为质点垂直斜劈运动的加速度为 0，所以 1 R 1 m 0sincos 2111 = +xmgmR 把代入得， g mm mm R
12、 2 12 21 1 sin cos + = 水平面对劈的反作用力。仍用隔离法。因为劈在垂直水皮方向上无加速度， 所以 2 R 0cos 122 =RgmR 于是 g mm mmm R 2 12 212 2 sin )( + + = 6 2.5解 因为质点组队某一固定点的动量矩 = = n 1i ii mvrJvrJ i i 所以对于连续物体对某一定点或定轴，我们就应该把上式中的取和变为积分。如 图 2.5.1 图所示薄圆盘，任取一微质量元， O dr d drrddm= 2 a M = 所以圆盘绕此轴的动量矩J J =rrdrdr)vrvrdmJ( = 2 2 1 Ma 2.6 解炮弹达到最
13、高点时爆炸，由题目已知条件爆炸后，两者仍沿原方向飞行 知，分成的两个部分，速度分别变为沿水平方向的，并一此速 度分别作平抛运动。由前面的知识可知，同一高处平抛运动的物体落地时的水 平距离之差主要由初速度之差决定。进而转化为求，。炮弹在最高点炮炸 时水平方向上无外力，所以水平方向上的动量守恒： 1 M 2 M 1 v 2 v 1 v 2 v () 221121 VMVMUMM+=+ 以( ) 21 MM + 质点组作为研究对象，爆炸过程中能量守恒： ()EVMVMUMM+=+ 2 22 2 11 2 21 2 1 2 1 2 1 联立解之，得 7 () 221 1 1 2 MMM EM Uv +
14、 += () 221 1 2 2 MMM EM Uv + = 所以落地时水平距离之差 s s = += 21 2121 11 2 MM E g V tvtvss 2.7 解 建立如题 2.7.1 图所示的直角坐标系。 Ox y M m V 当m沿半圆球M下滑时，M将以V向所示正方向的反向运动。以M、m组成系 统为研究对象，系统水平方向不受外力，动量守恒，即 x mvMV = m相对于地固连的坐标系 的绝对速度 xy O 牵相绝对 VV +=V V 相 V 为相对 m M 的运动速度 ?au = 故水平方向 Vuvx=cos 竖直方向 usiavy= 在m下滑过程中，只有保守力（重力）做功，系统
15、机械能守恒： （以地面为重力零势能面） 8 22 MV 2 1 2 1 coscos+= 绝 mvmgamga 2 绝 v = 22 yx vv + 把代入 2 绝 v = cos2 22 uVVu+ 把代入 2 cos1 coscos2 Mm m a a g + = ? 2.8证 以AB连线为x轴建立如题 2.8.1 图所示的坐标。 OAB mm0 v x 1 A B x 1 v 2 v O 设A初始速度为与x轴正向夹角 0 碰撞后，设A、B运动如题 2.8.2 图所示。A 、B速度分别为 1 v 、 2 v ，与x轴正向夹角分别为 1 、 2 。以A、B为研究对象， 系统不受外力，动量守恒。x方向： 22110 coscosmvmvmv+= 垂直x轴方向有： 2211 sinsin0mvmv= 可知 () 2121 2 2 2 1 2 0 cos2
