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1、组合投资的收益和风险问题摘要本文讨论了组合投资的收益和风险问题。首先，根据题中表一给出的数据用目标规划的方法建立数学模型，然后用lingo求其最优解，得到了五年内的最佳投资方案，并得第五年末所得最大利润为174140. 5万元，问题一得到了解决。根据表二所给数据用灰色预测对这八个项目独立投资时今后五年各项目的到期利润率、风险损失率进行了预测，具体数据见文中表2；接着根据表三所给数据用灰色预测和灰色关联度对这八个项目在同时投资情况下今后五年的到期利润率和风险损失率进行了预测,具体数据参考文中表3。此时问题二得到了解决。对于问题三，我们用第二问得到的结果：表2的前两行和表3，用含参变量的非线性规划
2、及整数规划、整数0，1规划综合对此问题建立了数学模型，之后再次用lingo对此模型进行了求解，得第五年末可得最大利润452525万元。对于问题四，我们m主要应用了多目标非线性规划，对此规划进行解决时我们又用了偏好系数加权法，最终在lingo上针对此模型编程序，得到了不同权系数下的最佳投资方案。当取值属于0.012,0.3之间时，最大利润R的取值比较稳定，大致处于43.47,43.8之间。当取值在0.5附近如0.51、0.55时R的值出现了反常现象,有一个峰顶和特低谷,可能是因为在利润和风险的注重程度相当时不好做决策。从0.7之后R的取值与大致成反比,开始下降。对于问题五，采用与问题四类似的方法
3、解决。题中采用银行利率0.025，贷款利率0.07，取权重为0.2时得的最大利润R=516256万元。关键字：目标规划 灰色预测 灰色关联度 偏好系数加权法一、背景 现在投资成了人们的热门话题，就连普通的市民都热衷于各种投资，对持有大量资金的企业来说更是如此。但，在现有资金一定的情况下怎样才能使得所得利润最大？怎样应对风险，或在利润和风险同时较大的情况下如何合理安排投资？这成了人们越来越关注的问题。二、问题重述(1) 根据附件1中表一的数据对问题一进行分析，即在现有资金20亿、共有可投资 项目八个的情况下对这笔资金进行合理安排，使得五年内所得利润最大。(2) 根据附件2中表二和表三的数据,预测
4、今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率和风险损失率。(3) 未来5年的投资计划中，还包含一些其他情况。a.对投资项目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。b.项目5的投资额固定，为500万，可重复投资 其中各投资项目的投资上限见表4。在此情况下，根据问题二预测结果，确定5年内如何安排20亿的投资？使得第五年末所得利润最大？(4) 考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量。如果考虑投资风险，问题三的投资问题
5、又应该如何决策？(5) 为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司又应该如何对5年的投资进行决策?三、 问题的分析1.我们对风险损失率一词的理解为：实际到期利润率预测到期利润率。2.我们对重复投资一词的理解为：对于项目5，若投其资金额固定为500万，且一年之内可以对项目5进行多次投资。即若某年项目5投资，则此年内项目5的投资金额必是500万的整数倍。3.所谓总体风险我们定义为：项目i第j年的投资额与相应的风险率乘积即=*，q=（），q即为我们所说的总体风险。（符号的具体含义见符号说明）四、 模型假设1.我们假设财务分析人员给的数据
6、相对准确。2.对于问题三我们假设不考虑风险。3.假设公司每年年初从银行贷款额不超过公司现有资金。设每年年初贷款额为 ,j=1,54.假设5年之中不管哪一年贷款均在第五年年末还。5.假设每年的银行存款都是在该年年末取回本金和利息。6.假设五年内银行存款率和贷款利率不变，分别为r=0.025,t=0.07五 符号说明1.表示项目 i (i=1,8)在第 j(j=1,5)年的投资额。其中、i=4,8, ,i=3,8,都为0.2.表示第j（j=1,5）年末公司的现有资金，即可用于投资的资金数额。 其中，=2000003.表示项目i的到期利润率 i=1,.,81） 4.表示项目i第j年的到期利润率 i=
7、1,8；j=1,5.5.表示项目i第j年单独投资时的到期利润率，表示项目i第j年与相应的项目同时投资时的到期利润率。所谓与相应的项目同时投资是指，如项目3和项目4，项目5和项目6，项目5，6和项目86.表示项目i第j年的投资额与相应的风险率的乘积，即=*7.q为我们所说的总体风险，即q=（）8.与的大小有关，当=20000时，=1；当=20000时，=0。9.是项目5第j年一年内的投资次数。10.R表示第五年末所得总利润。11.题中所有、的单位都为万元。五 模型的建立及求解对于问题一1.公司在第j年末的资金：=本年年初的资金额 本年用于投资的金额 + 往年投资在今年收回的金额（包括本金和利息）
8、即=+;=+;=+;=+;=-+（1+）+（1+）第五年末本公司可收回的本利和为，利润为-，经以上分析可得问题一的数学模型：目标函数 max R=-st,j=1,5060000, j=1,5030000, j=1,5040000, j=1,5030000, j=1,5030000 , j=1,5020000 , j=1,5040000, j=1,5030000 , j=1,5(2)对问题一模型的求解对我们所建的模型用lingo进行求解,所得结果如表1表示(其中表格中第i行第j列的元素表示第i个项目第j年的投资额).表1 单位:万元 j i12345151545.4500055218.59230
9、00000350030000338454.550040000043000006168.18230000053000030000300000062000020000200000070400000008003000000R=174140. 5，即第五年所得利润为174140.5万元2对于问题二首先，根据题目中表2和表3所给数据用MATLAB编程计算出每个项目各年投资到期利率,然后再作图观察利率的逐年变化趋势和变化范围，发现在各项目单独投资时利率的变化呈上下波动现象。 项目 1、项目2、项目3和项目4的波动相对较为平稳，且没出现亏损现象，即几乎没有风险，但利率却普遍不是很高。而项目5、项目6、项目7
10、和项目8波动很大，且经常有亏损现象，但获得利润时的利率也会很高。从中可以看出单独投资时利润与风险总是成正比的。而对于项目同时投资的情况，由于每个项目的利润还会受到同时投资项目的影响，较上述情况会有所不同。因为题目中要求根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。并且经过以上观察与分析，我们对上面所得到的各项目每年的利润率用灰色预测的方法进行处理，并预测出今后五年的到期利润率，并得到各年实际利润率与预测利润率之间的差值，即残差。因为残差直接反映真实值与预测值之间的差别，即可用来反映风险损失率。因此，我们对上面所得到残差再进行一次灰色处理，就能预测出
11、今后五年的风险损失率，并对项目在相互影响下的投资用灰关联分析的方法给出了相互影响的灰关联度。此外，为了便于投资者能很直观的去权衡利润与风险，我们又定义了相对风险系数，即其中 ：相对风险系数 : 风险损失率 : 利润率以上计算的具体数据见表2和表3。表2 各项目独立投资时今后五年的预测到期利润率、风险损失率年份项目20062007200820092010项目1利润率0.1425210.141830.1411420.1404580.139777风险损失率0.0015970.001830.0020640.0022970.002531相对风险系数0.0015790.0018070.0020340.00
12、2260.002486项目2利润率0.2183670.2253750.2326070.2400710.247775风险损失率0.0020530.0021540.0022550.0023560.002458相对风险系数0.0020340.0021340.0022340.0023340.002433项目3利润率0.3306710.3283730.326090.3238240.321573风险损失率0.0083420.0096760.0110120.012350.013689相对风险系数0.0081370.0093990.0106530.0118960.01313项目4利润率0.3997830.41
13、73290.4356460.4547670.474726风险损失率0.0007220.000840.0009580.0010770.001195相对风险系数0.000720.0008380.0009560.0010740.001192项目5利润率0.8116140.7798940.7484510.7172820.686385风险损失率2.7121462.6940052.6759852.6580852.640306相对风险系数0.6246780.6048070.5848680.5648560.544765项目6利润率1.7172361.8740822.0368482.2057572.381041风险损失率2.4809432.4868142.4926992.4985982.504511相对风险系数1.0148131.0687011.1209181.1715321.220608项目7 利润率3.1780913.3227953.4690173.6167743.766083风险损失率10.6928610.7120310.7312210.7504410.76969项目8利润率1.7920241.8239781.8561391.8885091.921088风险损失率3.2421153.2594613.2768683.2943353.311864相对风险系数1.1541091.16
