《矩阵特征值估计》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵特征值估计（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第二十讲 矩阵特征值估计 1 特征值计算较困难，希望找到简便的特征值界限或分布范围的估 计方法。 一、 特征值界的估计 定理 1. 设 n n AR ，为 A 的任意特征值，则有 ( ) ()1 Im 2 n n M 其中， 1 i,j n max 2 ijji aa M = 证明： 设 x 为 A 的属于特征值的单位特征向量， 即Axx=，1 H x x =， 则 2 H x Ax= () H HHH x Axx A x= ( ) ()() 2 Im HHHT jxAAxxAAx= 将 x 写成 12 , T n x = ()() 11 nn HT iijjij ij xAAxaa = =
2、 ( )() () 11 11 2 Im nn iijjij ij nn iijjij ij aa aa = = = 3 ,1 n ijijji i j aa = = （ 表示不含 ij） ,1 2 n ij i j M = ( ) 2 2 2 ,1 Im n ij i j M = () 2 2 ,1 1 n ij i j M n n = () 2 2 2 ,1 1 n ij i j M n n = = 4 22 22424 ,1,1111 nnnnn ijijiii i ji jiii = = () 22 1 1 n ii i = = 不妨写为： ()()() 222222 1122 3 1
3、11 n ii i = =+ 5 ()() () 22 2222 1122 22 3 11 1 22 n ii i = + + 1 2 取等号的条件为 22 12 1 2 =，但 2 1x=，所以其它 2 0 i = ( ) ()1 Im 2 n n M 定理 2. 设 n n AR ，为 A 的任意特征值，则有 6 n ( ) 1 Re 2 n ( ) 1 Im 2 ns 其中， 1 i,j n max ij a =， 1 i,j n max ijji aa =+， 1 i,j n max ijji saa = 二、 盖尔圆法 定义：设 () n n ij n n AaC =,由方程 1 n
4、 iiiij j ij zaRa = =所确定的圆称 为 A 的第 i 个盖尔圆， i R称为盖尔圆的半径。 定理 3：矩阵 A 的所有特征值均落在它的所有盖尔圆的并集之中。 证明：设 () n n ij n n AaC =，为 A 的某一个特征值，x 为相应的特征 7 向量，将 x 写成 12 , T n x =，设 0 i max i = 由Axx=，考虑 0 i行 00 1 n i jji j a = = () 0 000 1 n i iii jj j aa = = () 0 ji 0 0000 00 11 nn jj i ii ji ji jj ii aaaR = = 对于 A 的特征
5、值，一定存在 0 i() 0 1in，使落在 A 的第 0 i个盖尔 8 圆中，对于每个特征值都有相同的结论。 定理4. 将矩阵A的全体盖尔圆的并集按连通部分分成若干个子集，（一 个子集由完全连通的盖尔圆组成，不同子集没有相连通的部分） ，对每 个子集，若它恰好由 K 个盖尔圆组成，则该子集中恰好包含 A 的 K 个 特征值。 说明：盖尔圆相互重叠时重复计算，特征值相重时也重复计算 证明：设 111 1 n n n nnn aa AC aa = ， 9 令( ) 1112131 2122232 3132333 123 n n n nnnnn auauaua uaauaua B uuauaaua
6、 uauauaa = 01u，( ) 1122 0 nn Bdiag aaa=，( )1BA= ( )B u的特征多项式是 u 的多项式，其特征值是 u 的连续函数，观 察 u（01u）变化的过程中( )B u特征值的变化，特征值只能在盖 尔圆连通的子集内变动，而不能跨出连通子集。 由此可见，由 K 个盖尔圆组成的连通子集恰好包含 K 个特征值。 10 应该注意到：连通的这些盖尔圆中，有些盖尔圆可能包含两个或 多个特征值，而其它盖尔圆中可能无特征值。 推论 1. 孤立盖尔圆中恰好包含一个特征值。 推论 2. 实矩阵的孤立盖尔圆恰好包含一个实特征值。 推论 3. 盖尔圆方法中盖尔圆半径可以按列求和。 （因为方阵转置后特 征值不变） 推论 4. 盖尔圆半径变为 1 n i iij j j Ra = =，两个盖尔圆定理仍然成立。 说明如下：相似矩阵 1 P AP 与 A 具有相同的特征值，取 12n Pdiag= ()0 i 11 1 1 21 2 1 0 0 1 0 1 0 ij n n BP APa = i ij j a = 根据推论 4， 选取适当的 i 使盖尔圆变大或变小， 可以对特征值进 行隔离。但有时这种隔离特征值的方法会失效，如对于那些对角线上 12 由相同元素组成的矩阵，此时盖尔圆的圆心相同。 作业：P261 2，3，4 13
